Уравнение — одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. 
Так что же такое уравнение?
То, что это слово однокоренное со словами «равный», «равенство», возражений, думаю, ни у кого не вызывает.
Уравнение — это два математических выражения, соединённых между собой знаком «=» (равно).
Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина. Или, по-другому, переменная величина. Или, сокращённо, просто «переменная». Которая обычно обозначается буквой «х».
Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более — в специальных уроках.
Что значит решить уравнение?
Идём дальше.
Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то — нет.
Так вот:
Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.
Что такое верное равенство? Это равенство, не вызывающее сомнений даже у человека, абсолютно не отягощённого глубокими математическими познаниями. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее.
Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство, называются очень красиво и научно — корни уравнения.
Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней — целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от –∞ до +∞. Да, такое тоже бывает! Всё от конкретного уравнения зависит.)
А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…
В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.
Для чего нужны уравнения?
Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.
А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)
Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение — в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные — всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)
Итак, запоминаем:
Уравнения — очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.
А какие бывают уравнения?
Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:
1. Линейные,
2. Квадратные,
3. Дробные (или дробно-рациональные),
4. Прочие.
Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные — другим, дробные — третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие — тоже решаются своими методами.
Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да…) Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций.
В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас — базовые приёмы и правила.
Называются эти правила — тождественные (или — равносильные) преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!
Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.
Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.
Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными. Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но — крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.
Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?
Итак, вперёд!
Первое тождественное преобразование:
К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.
Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки.
Например, такое крутое уравнение:
Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:
А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!
Вот что у вас происходит:
И результат получается тем же самым:
Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа — что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!
Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака — это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.
И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях — незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…
Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.
Второе тождественное преобразование:
Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.
Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:
Тут каждому ясно, что х=3. А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?
Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.
Вот так:
Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:
Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка.
И все дела.)
Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех, я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)
Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?
Применение тождественных преобразований к решению уравнений.
Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.
Пример для новичков:
1 — х = 3 — 2х
Дело нехитрое. Это линейное уравнение. Работаем прямо по заклинанию: «С иксами влево, без иксов — вправо».
Эта мантра — универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2х? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:
1 — х +2х = 3
Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос — с каким знаком? Ответ «с никаким» не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак «плюс». Так уж в математике повелось: ничего не написано — значит, плюс.)
И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:
-х + 2х = 3 — 1
Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа — считаем. И получаем:
х = 2
Это было совсем примитивное уравнение.
Теперь пример покруче, для старшеклассников:
Решить уравнение:
Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование («С иксами влево ….»). Для этого слагаемое с иксом (то есть, —log3x) переносим влево. Со сменой знака:
А числовое выражение (log34) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:
Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:
х=3
Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:
И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование — переносим sin x влево (с минусом), а -0,25 переносим вправо (с плюсом):
Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.
Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.
Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном — забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)
Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)
Решить уравнение:
7х=28
Крутяк, прямо скажем.) Ладно, это эмоции…
Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)
Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение 7х целиком — пожалуйста (вопрос — зачем?). А семёрку отдельно — никак нет.
Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка — мешает. Вот и делим левую часть на семь. «Очищаем» икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.
Ответ: х=4
Или такое уравнение:
Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично — поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…
Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 — не самая трудная работа.)
Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога — меньше ошибок!
Теперь снова на машину времени и — в старшие классы:
Решить уравнение:
Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. Вот и делим на 2 всю левую часть:
Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:
Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)
Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений — штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.
Проблема первая (для малоопытных):
Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то — с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…
Например, такое линейное уравнение:
10х + 5 = 5х — 20
С чего начинать? Можно начать с переноса:
10х — 5х = -20 — 5
А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:
Как видим, и так и сяк решать можно. И это — в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: «Как правильно?»
По-всякому правильно! Кому как удобнее. Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.
Проблема вторая (для всех…ну… почти):
Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…
Обе эти проблемы устраняются только одним способом — практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче. И в итоге не математика командует вами, а вы — математикой.
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т
У
УАЗ § 200 прим. 1
уазик § 200 прим. 2
убей (меня) бог § 181 прим. 3
уверенно § 105
уверенность § 105
увещевать § 62
увиденный § 60
увлечься § 32 г)
УВЧ-терапия § 206
угар § 35 п. 1
угледобывающий § 130 п. 1
угличский § 90
угодно § 135 б) прим. 2
уголовно-процессуальный § 130 п. 3
Уголовный кодекс РФ § 194
угореть § 35 п. 1
удирать, удеру § 36
удовлетворительный § 43
уж § 32
ужасный § 83
ужо § 18 п. 6
ужовник § 18 п. 3
ужовый § 18 п. 3
ужоныш § 18 п. 2, § 43
Узбекистан § 66
узелок § 64 п. 2
узкоколейка § 44 прим. 2
узколицый § 15 п. 2
узкопрактический § 130 п. 1
узкоспекторный § 64 п. 3 а)
узнаём § 5 п. 1 vnK-энд § 121 п. 3
УКВ-передатчик § 118 п. 6, § 206
у кого у кого § 155 б)
Украинская грекокатолическая церковь § 184
Улан-Удэ § 8 п. 2, § 126 п. 5
улан-удэнский § 8 п. 2, § 129 п. 1
Улан-Удэнский район § 126 п. 6 прим.
уланудэнцы § 119 п. 5
улей § 44, § 64 п. 3
улица 26 Бакинских Комиссаров § 169
улица Зодчего Росси § 169 прим. 4
улица Малая Грузинская § 169
улица 1905 года § 169
уль (в восточных именах) § 124 п. 3, § 161
ультра- § 38 прим. 2
ультразвуковой § 128 п. 2
ультралевый § 117 п. 1
ультрареволюционный § 38 прим. 2
ультра-ура-патриот § 152
ульчский § 90
улюлю § 140 п. 4
умалишённый § 66, § 99 п. 2
умереть, умер § 36
умерший § 36 прим. 4
умирание § 36 прим. 2
умирать § 36, § 36 прим. 4
умница-разумница § 118 п. 2, § 120 п. 1
умница-сын § 120 п. 1 в)
Умственный § 45, § 97
Унесённый § 5 п. 2
Универсиада § 43
унимать § 35 п. 2 прим. 2
унтер- § 120 п. 7
унтер-офицер § 120 п. 7
унтер-офицерский § 129 п. 1
унтер-офицерство § 120 п. 10
унтер-офицерша § 120 п. 10
унтертон § 120 п. 7 прим.
Уолл-стрит § 126 п. 3, § 169 прим. 3
упереться § 36,
уперлась § 36 прим. 4
упираться § 36, § 36 прим. 4
упомянуть § 36 прим. 5
управляющий делами § 196
упрашивать § 61
упрощённо § 19 п. 5
упрощённость § 19 п. 5
упрощённый § 19 п. 5
упрямо-самонадеянный § 129 п. 2
уравнение § 35 п. 1
уравниловка § 35 п. 1
уравнять § 35 п. 1
ураган § 34
урало-сибирский § 130 п. 2
уральский § 30 п. 1 прим. 2
уровень § 35 п. 1
Усекновение главы Иоанна Предтечи § 183
усидчивый § 35 п. 2
усилие § 44
ускакать § 35 п. 1
условие § 44
успеваемость § 59
Успение § 183
успокоить § 76 п. 3
Устав ООН § 194
устаревать § 62
Усть- § 126 п. 4
Усть-Илимск § 126 п. 4, § 169
устьинский § 55
Усть-Каменогорск § 126 п. 4
усть-каменогорский § 129 п. 1
устькаменогорцы § 119 п. 5
устюженский § 55 прим. 2
У Танг Чжи § 123 п. 4
утварь § 35 п. 1
утешься § 32 в)
утильсырьё § 29 прим.
утопленник § 97
уточка § 64 п. 1
утренний § 43, § 97
утренник § 105
утреня § 188
утречко § 48
утрешний § 56
утячий § 49
ухажёр § 19 п. 4
ухма § 140 п. 4
участвовать § 83
участники войны — инвалиды § 154 п. 1
учёл § 19 п. 6
учёна § 104
учёнее § 104
ученик § 97
учёно § 105
учёность § 19 п. 5, § 105
учёный § 19 п. 5
учёный совет § 193
учёт § 18 п. 5, § 19 п. 7
учётный § 19 п. 7
учитель § 43
Учитель § 203
«Учительская газета» § 195 б)
учрежденческий § 43
-ушек § 54
ушёл (прош. вр.) § 19 п. 6
-ушк- (-юшк-) § 54
-уш- (-ют-) § 58
ущелий (род. п. мн. ч.) § 64 п. 3
Уэльс § 7 п. 2 Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
§ 35. Имеются
корни, в которых написание букв на месте безударных гласных не соответствует
общему правилу, а подчиняется традиции. К ним относятся следующие корни с
чередующимися гласными.
1. Корни с буквами а и о.
гар — гор. На месте безударного
гласного пишется буква о, хотя под ударением — а, напр.: горе́ть, нагоре́ть, угоре́ть, выгора́ть,
загоре́лый, погоре́лец, горю́чий; но: гарь, зага́р, нага́р,
уга́р. Исключения (гар без ударения): вы́гарки, и́згарь, при́гарь, гарево́й (наряду с вариантом га́ревый).
зар — зор. На месте безударного
гласного пишется а: заря́, зарни́ца,
зарево́й, озари́ть, озаря́ться, озаре́ние, заря́нка (птица), заря́ница; под ударением — а и о, ср.: за́рево, лучеза́рный, светоза́рный и зо́ри
(мн. ч. слова заря́), зо́рька, зо́ренька,
зо́рюшка, зо́ря (военный сигнал, обычно в выражении бить
или играть зорю).
кас — кос. В этом корне пишется а, если после корня следует а; в
остальных случаях пишется о: ср. касаться,
касание, прикасаться, касательство, касательно, но коснуться, прикоснуться,
соприкосновение, неприкосновенный (под ударением гласный корня не
встречается).
клан — клон. На месте безударного
гласного пишется о, напр.: поклони́ться,
наклони́ть, преклони́ть, склони́ться, отклоня́ться, преклоня́ться, преклоне́ние,
склоне́ние; под ударением — о и а:
ср. покло́н, накло́н, накло́нится, скло́нный, непрекло́нный и
кла́няться, раскла́няться, откла́няться.
крап — кроп. Без ударения пишется буква
о в словах со значением ‘покрывать каплями, брызгами’: кропи́ть, кропле́ние (от кропи́ть), окропи́ть, окроплённый, окропля́ть; буква а
— в словах со значением ‘покрывать мелкими пятнышками, точками’: краплёный, крапле́ние (от кра́пать в
значении ‘покрывать крапинами, наносить крап’), вкрапле́ние.
Под ударением — только а: кра́пать, кра́пина,
кра́пинка, вкра́пить, вкра́пленный, крап.
лаг — лог — лож. На месте безударного
гласного перед г пишется а, перед ж — о, напр.: излага́ть, облага́ть, предполага́ть,
прилага́ть, разлага́ть, безотлага́тельный, отлага́тельство, влага́лище, прилага́тельное,
слага́емое, стихослага́тель, но: заложи́ть, изложи́ть,
отложи́ть, положи́ть, предложи́ть, приложи́ть, изложе́ние, положе́ние, предложе́ние,
стихосложе́ние, обложно́й, отложно́й. Под ударением всегда о: нало́г, зало́г, подло́г, подло́жный, поло́жит,
поло́женный. В слове по́лог, где корень -лог- в современном языке уже не выделяется, без ударения перед
г пишется о.
мак — мок — моч. На месте безударного
гласного пишется перед к буква а в
словах со значением ‘окунать, погружать в жидкость’: макать,
макнуть, обмакнуть; буква о — в словах со
значением ‘становиться мокрым’: намокать, отмокать, обмокать,
промокать (под дождём), в словах, производных от мокрый
(напр., мокроватый, мокрота, мокрота, мокрица) (под
ударением — в словах мокрый, мокнуть, намокнуть, промокнуть
и т. п.), и в словах со значением ‘осушать чем-н. впитывающим влагу’: промокать, промокнуть, промокательный, промокашка. Перед ч — всегда буква о, напр.: мочить, намочи, промочу, вымоченный (ср. под ударением: мочит, смоченный; о глаголах на -иватъ
типа смачивать, вымачивать см. § 34, примечание
2).
пай — пой (в глаголе паять
и однокоренных словах). Без ударения пишется а: пая́ть, запая́ть, распая́ться, пая́льник и т. п. Под ударением
— а и о: ср. запа́янный,
запа́йка, спа́йка, спа́йный и припо́й, напо́й.
плав — плов. Без ударения пишется а: плаву́чий, плавни́к, поплаво́к, плаву́н
(трава; жук; водяной опоссум), плавуне́ц (жук), плаву́нчик (птица), сплавля́ть, сплавно́й, на
плаву́, наплавно́й; но: пло́вец и пло́вчиха
с буквой о. Под ударением — только а:
пла́вать, лесоспла́в.
Примечание. В слове плывун (грунт) пишется буква ы, как и в других словах,
производных от глагола плыть — плыву:
наплывать, подплывать, расплываться и т. п.
равн — ровн. Буква а
пишется в словах, связанных по значению с прилагательным ра́вный
‘одинаковый’, напр.: равня́ть (кого-что-н. с кем-чем-н.),
равня́ться (чему-н. или с кем-чем-н.), приравня́ть,
поравня́ться, сравни́ть(ся), сравне́ние, сравня́ться (в чем-н.), сравня́ть (счёт), подравня́ть, выравня́ть
(напр., строчки — ‘сделать равными по длине’), уравня́ть, уравне́ние,
уравни́ловка, равнопра́вный, равноси́льный, равноце́нный, равнове́сие, равноде́нствие,
наравне́, равно́.
Буква о пишется в словах, связанных по
значению с прилагательным ро́вный ‘гладкий, прямой, без
неровностей’, напр.: ровня́ть (грядку, поверхность дороги),
заровня́ть, разровня́ть, подровня́ть, вы́ровнять (сделать
ровным, гладким, прямым).
Однако в словах по́ровну, рове́сник,
связанных по значению с равный, пишется буква о; в слове равнина, связанном по значению
с ровный, — буква а. В словах с
неясной соотнесенностью пишутся: буква а — в глаголе равня́ться (в шеренге, при построении) и производных от него
словах равне́ние, подравня́ться, вы́ровняться (в строю);
буква о — в сочетании не ровён час,
в слове у́ровень.
разн — розн. В многочисленных сложных
словах с первой частью разно- (разноро́дный, разносторо́нний,
разноголо́сица и т. п.) без ударения пишется буква а,
в слове по́рознь — буква о Под
ударением — а (ра́зный, ра́зница, ра́зниться)
и о (ро́знь, ро́зниться, разро́зненный).
рос(т) — рас(т) — ращ. На месте
безударного гласного пишется: а) перед с (без
последующего т) — буква о: росла́, росли́, вы́рос, вы́росший, за́росль, по́росль, во́доросль, не́доросль;
исключение — о́трасль и производные от него (отраслево́й, межотраслево́й, многоотраслево́й); б) перед ст — буква а, напр.: расти́,
расту́, расти́ть, подрасти́, вы́расти, вы́растить, вы́расту, выраста́ть,
прорасти́ть, произраста́ть, нараста́ть, возрасти́, возраста́ть, во́зраст, расте́ние,
расти́тельность, дикорасту́щий; исключения: росто́к,
ростово́й, ростовщи́к, вы́рост, выростно́й, вы́росток, за́росток, про́рость,
подростко́вый (наряду с вариантом подро́стковый);
в) перед щ всегда а, напр.: ращу́, вы́ращу, вы́ращенный, прираща́ть, нараще́ние, сраще́ние.
Под ударением перед с (с последующим т и без него) — только о, напр.: ро́ст, наро́ст, отро́сток, подро́сток, переро́сток; ро́с, заро́с,
подро́сший, ро́слый, дикоро́сы.
скак — скок — скач — скоч. Если корень
оканчивается на к, то на месте безударного гласного
пишется буква а, напр.: скака́ть, прискака́ть,
ускака́ть, скакну́ть, скака́лка, скаку́н, на скаку́, скаково́й, хотя под
ударением — о, напр.: ско́к, наско́к,
отско́к, поско́к, соско́к (о глаголах на -ивать
типа наскакивать см. § 34, примечание 2).
Если корень оканчивается на ч, то
пишутся: буква а в формах глагола скакать
и производных от него глаголов (напр.: скачу́, скачи́, обскачу́,
обскачи́, поскачу́, поскачи́), а также в слоне скачо́к
(проверкой служат формы тех же глаголов — напр., ска́чет, поска́чем,
и производные ска́чка, вска́чь); буква о
— в приставочных глаголах на -скочить (напр.: вскочи́ть, вскочу́, вскочи́, вы́скочить, вы́скочу, вы́скочи, соскочи́ть,
подскочить) и в слове выскочка (проверка — формами
тех же глаголов, кроме вы́скочить: вско́чит,
соско́чат и т. п.).
Ср.: проскачу́ (сто вёрст), проскачи́
(формы глагола проскака́ть,
проска́чет) и проскочу́, проскочи́ (формы глагола проскочи́ть, проско́чит); подскачу́, подскачи́
(формы глагола подскака́ть,
подска́чет приблизиться вскачь’) и подскочу́, подскочи́ (формы
глагола подскочи́ть,
подско́чит ‘быстрым движением приблизиться к кому-чему-н. или
резко подняться’).
твор — твар. В словах твори́ть,
творе́ние, творе́ц, сотворённый, вытворя́ть и др. без ударения пишется
буква о; под ударением — не только о
(тво́рческий, тво́рчество), но и а
(тва́рь, тва́рный). В слове у́тварь,
где корень -твар- в современном языке уже не выделяется,
без ударения пишется а.
2. Корни с буквами и и е.
блес(к,т) — блещ — блист. На месте
безударного гласного пишутся буквы и и е:
и — перед ст при последующем
ударном а, напр.: блиста́ть, блиста́ет,
блиста́ющий, блиста́ние, блиста́тельный, заблиста́ть; е
— в остальных случаях, напр.: блесте́ть, блести́т, блестя́щий,
блестя́, блесну́ть, заблесте́ть, проблесну́ть, блесна́, о́тблеск, про́блеск,
блещу́, блещи́, блеща́. Под ударением — е и ё: бле́ск, бле́щет, бле́щущий; поблёскивать,
отблёскивать, проблёскивать, блёстки.
вис — вес. На месте безударного
гласного пишется буква и в глаголе висе́ть
(виси́т, вися́) и производных от него (повисе́ть,
отвисе́ться и т. п.), а также в приставочных глаголах с общей частью -висеть: повиса́ть, нависа́ть, свиса́ть и
т. п. (ср. под ударением: ви́снуть, пови́снуть, зави́снуть);
буква е — в словах вы́весить, вы́веска,
подвесно́й, навесно́й, на весу́ (ср. под ударением: пове́сить,
подве́сить, све́сить).
лип — леп. В словах прилипать, налипа́ть и т. п. в безударном положении пишется буква и (ср. под ударением: ли́пкий, прили́пнуть),
а в словах лепи́ть, прилепи́ть, налепи́ть и т. п. — буква
е (ср. под ударением: ле́пит, приле́пит,
ле́пка).
сид — се(д). На месте безударного
гласного пишутся: буква и — перед мягким согласным д — в глаголе сиде́ть (сидя́т,
сиди́) и производных от него (просиде́ть, засиде́ться,
сиде́лка, посиде́лки и т. п.); буква е — перед
твердым д: седо́к, седло́ (в
последнем в формах мн. ч. — ё: сёдла),
седла́ть, седа́лище, седа́лищный, восседа́ть, заседа́ть, наседа́ть,
приседа́ть, заседа́тель, председа́тель, а также — перед мягким д — в производных от слова седло́ (седе́льный, седе́льник, чересседе́льник, седе́льце). Под
ударением — и и е, напр.: си́дя, отси́дка, уси́дчивый; се́сть, присе́сть, се́ла, домосе́д,
непосе́да, насе́дка, присе́д; в формах глагола се́сть
и приставочных — также а (на письме я):
ся́ду, ся́дь, прися́дут.
Примечание 1. О написании гласных букв и и е в глагольных корнях с беглым гласным см. § 36.
Примечание 2. В глаголах с общей частью -нима́ть (напр., занимать, донимать, обнимать, отнимать,
поднимать, снимать, понимать, унимать), которым соответствуют
глаголы совершенного вида на -ня́ть
(занять, принять, поднять,
понять, унять и т. п.), пишется после н на месте безударного гласного буква и; то же в глаголе вынимать (ср. сов. вид вынуть). В некоторых
глаголах этой группы безударный гласный корня может быть проверен ударным и в формах типа отнимет, поднимет, снимет
(это формы глаголов на -нять),
редко — в производных словах: снимок,
в обнимку.
Примечание 3. Буква и на месте безударного гласного пишется
также в корне глаголов заклинать и
проклинать. В
соответствующих глаголах совершенного вида и других однокоренных словах пишется
(как в безударном положении, так и под ударением) буква л: проклясть, проклянёт, клясть, клял, заклятие,
проклятие и т. п.
Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.
Что такое уравнение? Смысл и понятия.
Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.
Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.
Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.
Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.
Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.
Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3
В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.
Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.
2+1=3
Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.
Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.
Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.
Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7
Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.
x+2-2=7-2
x+0=7-2
x=7-2
Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.
x=5
Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.
Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.
x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.
Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.
Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:
x-4+4=12+4
x=12+4
Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.
x=16
Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16
Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.
Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5
Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.
4+3x=2x-5
4+3x-2x=-5
Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4+3x-2x=-5
3x-2x=-5-4
Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9
Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅(-9)=2⋅(-9)-5
4-27=-18-5
-23=-23
Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.
Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.
Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.
Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.
Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.
5x=20
5x:5=20:5
5:5x=4
1x=4 или x=4
Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅4=20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.
Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .
Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.
1x=21 или x=21
Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.
7=7 получено верное равенство.
Ответ: корень уравнения равен x=21.
Следующий пример:
Найдите корни уравнения
Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.
3x=45
Далее делим все уравнение на 3.
3x:3=45:3
(3:3)x=15
1x=15 или x=15
Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.
5=5
Ответ: x=15
Как решать уравнения? Алгоритм действий.
Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:
- Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
- Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
- Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
- В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.
Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.
Содержание:
Уравнения
Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений
1. Понятие уравнения и его корней
Определение:
Равенство с переменной называется уравнением. В общем виде уравнение с одной переменной
Под этой краткой записью понимают математическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны
Пример:
— линейное уравнение;
— квадратное уравнение;
— иррациональное уравнение (содержит переменную под знаком корня)
Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет
— корень уравнения 
, так как при 
получаем верное равенство: 
, то есть 
2. Область допустимых значений (ОДЗ)
Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения называется общая область определения для функций 
и 
, стоящих в левой и правой частях уравнения
Для уравнения 
ОДЗ: 
, то есть 
, так как область определения функции 
определяется условием: 
, а область определения функции 
— множество всех действительных чисел
3. Уравнения-следствия
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.
Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последующего, то получаем уравнения-следствия.
При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в исходное уравнение является составной частью решения.
Пример:
Решение:
► Возведем обе части уравнения в квадрат:
Проверка, 
— корень (см. выше); 
— посторонний корень (при 
получаем неверное равенство 
).
Ответ: 2.
4. Равносильные уравнения
Определение:
Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни.
То есть каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. (Схема решения уравнений с помощью равносильных преобразований приведена в пункте 5 этой таблицы)
Простейшие теоремы
- Если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве)
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получим уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного уравнения)
5. Схема поиска плана решения уравнений
— исходное уравнение;
— уравнение, полученное в результате преобразования исходного;
— символические изображения направления выполненных преобразований
Применение свойств функций к решению уравнений рассмотрено в пункте 3.2.
Объяснение и обоснование:
Понятие уравнения и его корней
Уравнение в математике чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны. Поэтому в общем виде уравнения с одной переменной 
записывают так:
Часто уравнения определяют короче — как равенство с переменной.
Напомним, что корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Например, уравнение 
имеет единственный корень 
,
а уравнение 
не имеет корней, поскольку значение 
не может быть отрицательным числом.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения
Если задано уравнение 
, то общая область определения для функций 
и 
называется областью допустимых значений этого уравнения. (Иногда используются также термины «область определения уравнения» или «множество допустимых значений уравнения».) Например, для уравнения 
областью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так: 
, поскольку функции 
и 
имеют области определения 
.
Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как области определения функции 
, так и области определения функции 
(иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.
Например, в уравнении 
функция 
определена при всех действительных значениях 
, а функция 
только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается системой 
из которой получаем систему 
не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.
Заметим, что нахождение ОДЗ данного уравнения может быть полезным для его решения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.
Методы решения уравнений
Для решения уравнений используют методы точного и приближенного решений. А именно, для точного решения уравнений в курсе математики 5-6 классов использовались зависимости между компонентами и результатами действий и свойства числовых равенств; в курсе алгебры 7-9 классов — равносильные преобразования уравнений, а для приближенного решения уравнений — графический метод.
Графический метод решения уравнений не дает высокой точности нахождения корней уравнения, и с его помощью чаще всего можно получить только грубые приближения корней. Иногда удобно графически определить количество корней уравнения или найти границы, в которых находятся эти корни. В некоторых случаях можно графически доказать, что уравнение не имеет корней. По указанным причинам в школьном курсе алгебры и начал анализа под требованием «решить уравнение» понимается требование «используя методы точного решения, найти корни данного уравнения». Приближенными методами решения уравнений можно пользоваться только тогда, когда об этом говорится в условии задачи (например, если ставится задача решить уравнение графически).
В основном при решении уравнений разных видов нам придется применять один из двух методов решения. Первый из них состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, имеющим те же корни,— равносильным уравнением. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым, равносильным ему, и т. д. В результате получаем простейшее уравнение, которое равносильно заданному и корни которого легко находятся. Эти корни и только они являются корнями данного уравнения.
Второй метод решения уравнений состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, среди корней которого находятся все корни данного, то есть так называемым уравнением-следствием. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым уравнением-следствием, и так далее до тех пор, пока не получим простейшее уравнение, корни которого легко находятся. Тогда все корни данного уравнения находятся среди корней последнего уравнения. Поэтому, чтобы найти корни данного уравнения, достаточно корни последнего уравнения подставить в данное и с помощью такой проверки получить корни данного уравнения (и исключить так называемые посторонние корни — те корни последнего уравнения, которые не удовлетворяют заданному).
В следующем пункте будет также показано применение свойств функций к решению уравнений определенного вида.
Уравнения-следствия
Рассмотрим более детально, как можно решать уравнения с помощью уравнений-следствий. При решении уравнений главное — не потерять корни данного уравнения, и поэтому в первую очередь мы должны следить за тем, чтобы каждый корень исходного уравнения оставался корнем следующего. Фактически это и является определением уравнения-следствия:
в том случае, когда каждый корень первого уравнения является корнем второго, второе уравнение называется следствием первого.
Это определение позволяет обосновать такой ориентир: для получения уравнения-следствия достаточно рассмотреть данное уравнение как верное числовое равенство и гарантировать (то есть иметь возможность обосновать), что каждое следующее уравнение мы можем получить как верное числовое равенство.
Действительно, если придерживаться этого ориентира, то каждый корень первого уравнения обращает это уравнение в верное числовое равенство, но тогда и второе уравнение будет верным числовым равенством, то есть рассматриваемое значение переменной является корнем и второго уравнения, а это и означает, что второе уравнение является следствием первого.
Применим приведенный ориентир к уравнению 
(пока что не используя известное условие равенства дроби нулю).
Если правильно то, что дробь равна нулю, то обязательно ее числитель равен нулю. Таким образом, из заданного уравнения получаем уравнение-следствие 
. Но тогда верно, что 
. Последнее уравнение имеет два корня: 
и 
. Подставляя их в заданное уравнение, видим, что только корень 
удовлетворяет исходному уравнению. Почему это случилось?
Это происходит поэтому, что, используя уравнения-следствия, мы гарантируем только то, что корни заданного уравнения не теряются (каждый корень первого уравнения является корнем второго). Но второе уравнение, кроме корней первого уравнения, имеет еще и другой корень, который не является корнем первого уравнения. Для первого уравнения этот корень является посторонним, и, чтобы его отсеять, выполняется проверка подстановкой корней в исходное уравнение. (Более полно причины появления посторонних корней рассмотрены в таблице 9.) Таким образом, чтобы правильно применять уравнения-следствия для решения уравнений, необходимо помнить еще один ориентир: при использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней, и поэтому проверка подстановкой корней в исходное уравнение является составной частью решения.
Схема применения этих ориентиров дана в таблице 8. В пункте 3 этой таблицы приведено решение уравнения
(1)
Для решения этого уравнения с помощью уравнений-следствий достаточно данное уравнение рассмотреть как верное числовое равенство и учесть, что в случае когда два числа равны, то и их квадраты также будут равны:
(2)
То есть мы гарантируем, что если равенство (1) верно, то и равенство (2) также будет верным, а это и означает (как было показано выше), что уравнение (2) является следствием уравнения (1). Если мы хотя бы один раз использовали уравнения-следствия (а не равносильные преобразования), то можем получить посторонние корни, и тогда в решение обязательно входит проверка полученных корней подстановкой их в заданное уравнение.
Замечание. Переход от данного уравнения к уравнению-следствию можно обозначить специальным значком 
, но его использование для записи решения не является обязательным. Вместе с тем, если этот значок записан, то это свидетельствует о том, что мы воспользовались уравнениями-следствиями, и поэтому обязательно в запись решения необходимо включить проверку полученных корней.
Равносильные уравнения
С понятием равносильности вы знакомы еще из курса алгебры 7 класса, где равносильными назывались те уравнения, которые имели одни и те же корни. Заметим, что равносильными считались и такие два уравнения, которые не имели корней. Формально будем считать, что и в этом случае уравнения имеют одни и те же корни, поскольку ответы к таким уравнениям одинаковы: «уравнения не имеют корней» (точнее: одинаковыми являются множества корней таких уравнений — они оба пустые, что обозначается символом 
).
В курсе алгебры и начал анализа мы будем рассматривать более общее понятие равносильности, а именно: равносильность на определенном множестве.
Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни, то есть каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого.
Для уравнений, заданных на множестве всех действительных чисел (например, для линейных), мы можем однозначно дать ответ на вопрос: «Равносильны ли данные уравнения?» Например, уравнения 
и 
— равносильные, поскольку оба имеют одинаковый корень 
и других корней не имеют. Таким образом, каждое из них имеет те же решения, что и второе. При рассмотрении равносильности уравнений на множестве, которое отличается от множества всех действительных чисел, ответ на вопрос «Равносильны ли данные уравнения?» может существенно зависеть от того, на каком множестве мы рассматриваем эти уравнения. Например, если рассмотреть уравнения:
(3)
(4)
то, как было показано выше, уравнение (3) имеет единственный корень 
, а уравнение (4) — два корня: 
и 
. Таким образом, на множестве
всех действительных чисел эти уравнения не являются равносильными, поскольку у уравнения (4) есть корень 
, которого нет у уравнения (3). Но на множестве положительных действительных чисел эти уравнения равносильны, поскольку на этом множестве уравнение (3) имеет единственный положительный корень 
и уравнение (4) также имеет единственный положительный корень 
. Следовательно, на множестве положительных чисел каждое из этих уравнений имеет те же решения, что и второе.
Укажем, что множество, на котором рассматривается равносильность уравнений, как правило, не задается искусственно (как в последнем случае), а чаще всего таким множеством является ОДЗ исходного уравнения. Договоримся, что далее
все равносильные преобразования уравнений (а также неравенств и систем уравнений и неравенств) мы будем выполнять на ОДЗ исходного уравнения (неравенства или системы).
Отметим, что в том случае, когда ОДЗ заданного уравнения является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем ее записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных уравнений). И в других случаях главное — не записать ОДЗ в решение уравнения, а реально учесть ее при выполнении равносильных преобразований данного уравнения.
Например, для уравнения 
задается неравенством 
. Когда мы переходим к уравнению 
, то для всех его корней это уравнение является верным равенством. Тогда выражение 
, стоящее в правой части этого равенства, всегда неотрицательно (
), таким образом, и равное ему выражение 
также будет неотрицательным: 
. Но это и означает, что ОДЗ данного уравнения (
) учтено автоматически для всех корней второго уравнения и поэтому при переходе от уравнения 
к уравнению 
ОДЗ заданного уравнения можно не записывать в решение.
Для выполнения равносильных преобразований попробуем выделить общие ориентиры, аналогичные соответствующим ориентирам получения уравнений-следствий. Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования уравнений, необходимо учесть ОДЗ данного уравнения — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований уравнений. По определению равносильности уравнений необходимо гарантировать, чтобы каждый корень первого уравнения был корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения был корнем первого. Для первой части этого требования мы уже выделили общий ориентир: достаточно гарантировать сохранение правильности равенства при переходе от первого уравнения ко второму.
Но тогда, чтобы выполнить вторую часть этого требования, достаточно второе уравнение рассмотреть как верное равенство (то есть взять такое значение переменной, которое является корнем второго уравнения) и гарантировать, что при переходе к первому верное равенство сохраняется (этот корень остается и корнем первого уравнения). Фактически из определения равносильности уравнений получаем, что каждое из равносильных уравнений является следствием другого уравнения). Таким образом, при выполнении равносильных преобразований мы должны гарантировать сохранение правильности равенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях — это и является вторым ориентиром для решения уравнений с помощью равносильных преобразований. (Соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 8.)
Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований уравнение 
достаточно учесть его ОДЗ: 
и условие равенства дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Также следует обратить внимание на то, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности равенства.
Запись решения в этом случае может быть такой:
. ОДЗ: 
. Тогда 
. Отсюда 
(удовлетворяет условию ОДЗ) или 
(не удовлетворяет условию ОДЗ).
Ответ: 1.
Для выполнения равносильных преобразований уравнений можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности уравнений обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности, известных из курса алгебры 7 класса.
Теорема 1. Если из одной части уравнения перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве).
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получаем уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).
Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований данного уравнения.
Замечание. Для обозначения перехода от данного уравнения к равносильному ему уравнению можно применять специальный значок 
, но его использование при записи решений не является обязательным. Например, запись решения последнего из рассмотренных уравнений может быть такой.
Ответ: 1.
Пример №423
Решите уравнение 
.
Решение:
► ОДЗ: 
и 
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
то есть 
Учтем ОДЗ. При 
Таким образом, 
— корень.
Ответ: 
Комментарий:
Используем равносильные преобразования для решения данного уравнения. Для этого необходимо учесть ОДЗ, поэтому зафиксируем ее ограничения в начале решения.
Укажем, что в уравнениях ограничения ОДЗ можно только зафиксировать, но не решать, а в конце проверить, выполняются ли эти ограничения для найденных корней.
При переносе члена данного уравнения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получаем уравнение (1), равносильное заданному.
Приводя к общему знаменателю, раскрывая скобки и приводя подобные члены, снова получаем верное равенство и можем обосновать, что при выполнении обратных действий равенство также не нарушается, таким образом, полученные уравнения (1)-(3) равносильны заданному (на его ОДЗ).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Но второе условие уже учтено в ограничениях ОДЗ, таким образом, получаем уравнение (4), равносильное заданному уравнению на его ОДЗ. Поскольку все преобразования были равносильными только с учетом ОДЗ, то мы должны проверить, удовлетворяет ли полученное число ограничениям ОДЗ.
Причины появления посторонних корней и потери корней при решении уравнений
Наиболее типичные случаи появления посторонних корней и потери корней приведены в таблице 9. Там же указано, как в каждом из этих случаев получить правильное (или полное) решение.
- Заказать решение задач по высшей математике
Применение свойств функций к решению уравнений
1. Конечная ОДЗ
Ориентир
Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения
Пример:
Проверка.
— корень (
),
— не корень (
).
Ответ: 1.
2. Оценка левой и правой частей уравнения
Если надо решить уравнение вида 
и выяснилось, что 
то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда 
и 
одновременно равны 
Пример:
►
(так как 
).
Итак, заданное уравнение равносильно системе
Ответ: 0.
Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю
Пример:
►
Итак, заданное уравнение равносильно системе
Из первого уравнения получаем 
, что удовлетворяет всей системе
Ответ: 2.
3. Использование возрастания и убывания функций
Схема решения уравнения
1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения)
Теоремы о корнях уравнения
Если в уравнении 
функция 
возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Пример:
Уравнение 
имеет единственный корень 
, то есть 
), поскольку функция
возрастает на всей области определения 
Если в уравнении 
функция 
возрастает на некотором промежутке, а функция 
убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Пример:
Уравнение 
имеет единственный корень 
(
то есть 
), поскольку 
возрастает на всей области определения 
, a 
убывает (на множестве 
, а следовательно, и при 
)
Объяснение и обоснование:
Конечная ОДЗ
Напомним, что в случае, когда дано уравнение 
, общая область определения для функций 
называется областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень заданного уравнения принадлежит как области определения функции 
, так и области определения функции 
. Таким образом, каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях за счет анализа ОДЗ получить решение уравнения. Например, если дано уравнение 
, то его ОДЗ можно записать с помощью системы 
. Решая эту систему, получаем 
то есть 
. Таким образом, ОДЗ данного уравнения состоит только из одного значения . Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то для этого достаточно подставить это значение в уравнение. В результате получаем верное числовое равенство (
). Следовательно, — корень данного уравнения. Других корней у этого уравнения быть не может, поскольку все корни уравнения находятся в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме .
Рассмотренный пример позволяет выделить ориентир для решения аналогичных уравнений:
если ОДЗ уравнения (а также неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.
Замечание. В том случае, когда ОДЗ — пустое множество (не содержит ни одного числа), мы можем сразу дать ответ, что данное уравнение не имеет корней.
Например, если необходимо решить уравнение 
, то его ОДЗ задается системой 
то есть системой
которая не имеет решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.
Оценка левой и правой частей уравнения
Некоторые уравнения можно решить с помощью оценки левой и правой частей уравнения.
Пусть дано уравнение 
, и нам удалось выяснить, что для всех допустимых значений 
значение 
, а значение 
.
Рассмотрим два случая: 
Если 
, то равенство 
не может выполняться, потому что 
, то есть при 
данное уравнение корней не имеет. Остается только случай 
, но, учитывая необходимость выполнения равенства 
, имеем, что тогда и 
. Таким образом, мы обосновали, что выполнение равенства 
(при условии 
и 
) гарантирует одновременное выполнение равенств 
и 
(и наоборот, если одновременно выполняются равенства 
и 
, то выполняется и равенство 
. Как было показано в п. 3.1, это и означает, что уравнение 
равносильно системе
Коротко это можно записать так:
Пример использования такого приема решения уравнений приведен в пункте 2 таблицы 10.
Аналогично предыдущим рассуждениям обосновывается и ориентир по решению уравнения 
, в котором все функции-слагаемые неотрицательны 
.
Если предположить, что 
, то сумма всех функций, стоящих в левой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда сумма 
будет отрицательной. Но это невозможно, поскольку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при 
данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции-слагаемого. Остается единственная возможность — все функции-слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае равенство 
обязательно будет выполняться). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.
Например, чтобы решить уравнение 
, достаточно перенести все члены в одну сторону, записать уравнение в виде 
и учесть, что функции 
неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе 
Из второго уравнения получаем 
, что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень 
.
Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений
Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.
Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.
Теорема 1. Если в уравнении 
функция 
возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 52. Прямая 
пересекает график возрастающей на промежутке 
функции 
только в одной точке. Это и означает, что уравнение 
не может иметь больше одного корня на промежутке 
. Докажем это утверждение аналитически.
• Если на промежутке 
уравнение имеет корень 
, то 
. Других корней быть не может, поскольку для возрастающей функции 
при 
получаем неравенство 
, а при 
— неравенство 
. Таким образом, при 
. Аналогично и для убывающей функции при 
получаем 
.
Теорема 2. Если в уравнении 
функция 
возрастает на некотором промежутке, а функция 
убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 53.
• Если на промежутке 
уравнение имеет корень 
, то 
. Других корней быть не может, поскольку, например, для возрастающей функции 
и убывающей функции 
при 
имеем 
, a 
, таким образом, 
. Аналогично и при 
.
Каждая из этих теорем утверждает, что в рассмотренном промежутке данное уравнение может иметь не более чем один корень, то есть или это уравнение совсем не имеет корней, или оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других корней в заданном промежутке уравнение не имеет.
Например, чтобы решить уравнение 
, достаточно заметить, что функция 
является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что 
— корень
этого уравнения (
). Таким образом, данное уравнение 
имеет единственный корень 
.
Корень получен подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений: 
которые подставляются в данное уравнение.
Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них отдельно.
Пример:
Решим с помощью теоремы 2 уравнение 
.
► Сначала следует учесть его ОДЗ: 
и вспомнить, что функция 
на всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (п. 2.2), но она убывает на каждом из промежутков 
и 
. Поэтому рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно.
1) При 
данное уравнение имеет корень 
. Функция 
возрастает при 
(как было показано выше, она возрастает на множестве 
), а функция 
убывает на промежутке 
. Таким образом, данное уравнение 
при 
имеет единственный корень 
.
2) При 
данное уравнение имеет корень 
. Функция 
возрастает при 
, а функция 
убывает на этом промежутке. Поэтому данное уравнение 
при 
имеет единственный корень 
. В ответ следует записать все найденные корни (хотя на каждом из промежутков корень единственный, но всего корней — два). Итак, данное уравнение имеет только два корня: 1 и -1.
Примеры решения задач:
Пример №424
Решите уравнение 
.
Решение:
► ОДЗ: 
. На ОДЗ 
. Тогда функция 
(как сумма двух взаимно обратных положительных чисел), а функция 
.
Таким образом, данное уравнение равносильно системе 
. Из второго уравнения системы получаем 
, что удовлетворяет и первому уравнению. Таким образом, система (а значит, и данное уравнение) имеет единственное решение .
Ответ: 1.
Комментарий:
Если раскрыть скобки и привести обе части уравнения к общему знаменателю, то для нахождения корней полученного уравнения придется решать полное уравнение восьмой степени, все корни которого мы не сможем найти.
Попытаемся оценить области значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Поскольку на ОДЗ 
, то в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. В правой части из 2 вычитается неотрицательное число 
. Таким образом, при всех значениях 
получаем значение, меньшее или равное 2. Равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 2.
Пример №425
Решите систему уравнений 
Решение:
► ОДЗ: 
Рассмотрим функцию 
. На своей области определения 
эта функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид 
, равносильно уравнению 
. Таким образом, на ОДЗ заданная система равносильна системе 
Подставляя 
во второе уравнение системы, имеем 
, 
. Учитывая, что на ОДЗ 
, получаем 
. Тогда 
.
Ответ: (3; 3).
Комментарий:
Иногда свойства функций удается применить при решении систем уравнений. Если заметить, что в левой и правой частях первого уравнения заданной системы стоят значения одной и той же функции, которая является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то равенство 
для возрастающей функции возможно тогда и только тогда, когда 
, поскольку возрастающая функция может принимать одинаковые значения только при одном значении аргумента. (Заметим, что такое же свойство будет иметь место и для убывающей функции.)
Замечание. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, может быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его можно сформулировать так: если функция 
является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве 
Цели урока:
1) Обучающая: формировать представления об уравнении, корне уравнения, решении уравнений; организовать деятельность, направленную на выполнение учебных заданий, связанных с решением уравнений вида: х + а = b, x — a = b, a — x = b и приводимых к ним; создать условия для расширения знаний математических понятий и формирования новых знаний.
2) Развивающая: содействовать развитию и обогащению словарного запаса.
3) Воспитывающая: содействовать расширению кругозора.
Тип урока: изучение нового материала с первичным закреплением.
План урока:
1. Организационный этап.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Этап получения новых знаний.
4. Этап обобщения и закрепления нового материала.
5. Рефлексия.
6. Заключительный этап.
Форма урока: Видеоматериал с элементами практикума.
Ход урока:
1. Организационный этап.
Здравствуйте. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы узнать, ваше настроение и как вы настроены к работе на уроке.
2. Актуализация опорных знаний:
На предыдущих уроках мы с вами решали задачи способом моделирования условия задачи отрезками, и в ходе решения составляли выражения для нахождения неизвестного числа.
3. Этап получения знаний:
Тема нашего урока «Уравнение». На этом уроке мы узнаем такие понятия как уравнение, корень уравнения. А также научимся составлять и решать уравнения.
В математике принято и очень удобно обозначать неизвестное число буквой, затем составлять равенство и решать это равенство. Рассмотрим задачу: Лере задали прочитать рассказ. Она прочитала этот рассказ за два дня. В первый день Лера прочитала 40 страниц. Сколько страниц прочитала Лера за второй день, если известно, что весь рассказ состоял из 65 страниц?
Решение: Для наглядности внесем известные нам данные в таблицу. Мы знаем, что за первый день Лера прочитала 40 страниц, и знаем, что всего 65 страниц в рассказе. Обозначим буквой х неизвестное количество страниц, которые Лера прочитала за второй день. Составим равенство по известным нам данным. Мы к страницам, прочитанным за первый день (40), прибавим количество прочитанных страниц за второй день (х), и это будет равно количеству всех страниц в рассказе (65). Получили равенство: 40 + х = 65. Нам надо найти такое значение х, при котором будет выполняться это равенство. По смыслу вычитания, чтобы найти неизвестное слагаемое мы должны от известной суммы отнять известное слагаемое.
Равенство 40 + х = 65 называют уравнением.
Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.
Например, корнем уравнения 40 + х = 65 является число 25.
Если в равенство входит буква, то оно может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других ее значениях. Например, уравнение 40 + х = 65 при х = 25 — верно, подставим вместо х значение 25, видим, что равенство выполняется верно. А при х = 15 — это равенство будет уже неверным, т.к. при замене х на число 15 равенство 40 + 15 никак не может быть равно 65.
Иногда надо узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет. Тогда его не надо решать, нужно просто подставить предлагающиеся числа вместо неизвестного числа. Если получится верное равенство, то это данное число и есть корень уравнения, если равенство неверно — число не является корнем. Например, выполним задание: какое из чисел 3, 5 или 7, является корнем уравнения х + 7 = 12? Подставим по очереди каждое данное нам число. При х = 3 получаем равенство 3+7 равно оно 10, что в свою очередь не равно 12. При х = 5, получаем 5+7=12. При х = 7, получаем 7+7=14 и ≠12. При подстановке чисел мы убедились, что только число 5 дает в сумме с числом 7 верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни, или убедиться, что уравнение не имеет корней.
Запишите полезные правила для решения некоторых уравнений:
1. Нахождение неизвестного слагаемого:
a + x = b, где a и b — любые натуральные числа. Если нам неизвестно второе слагаемое, то мы должны из суммы вычесть первое слагаемое,
x + a = b. Если нам неизвестно первое слагаемое, то мы должны от суммы отнять второе слагаемое,
2. Нахождение неизвестного уменьшаемого:
x — a = b. Если нам неизвестно уменьшаемое, то мы должны к разности прибавить вычитаемое,
3. Нахождение неизвестного вычитаемого:
a — x = b. Если нам неизвестно вычитаемое, то мы должны от уменьшаемого отнять разность,
4. Этап обобщения и закрепления нового материала.
Итак, сделаем основные выводы: на этом уроке мы узнали, что такое уравнение, корень уравнения. Научились составлять уравнения и решать их.
Для закрепления материала ответьте на вопросы:
— Какое равенство называют уравнением?
— Какое число называют корнем уравнения?
— Что означает требование Решить уравнение?
— Как проверить, является ли определенное число корнем данного уравнения?
— Как найти неизвестное слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое)?
5. Рефлексия.
Были ли трудности при работе на уроке? Если да, то какие?