Теорема не доказана как пишется

Русский язык. Правила русского языка. Правописание.

Как правильно пишется слово — «не доказано» или «недоказано?

Слитно или раздельно? Почему? Составьте пример предложения

5 ответов:

4

0

Не доказано или недоказано как правильно пишется, раздельно или слитно, узнаем, определив часть речи и грамматическую форму слова.

Глагол «доказать» образует страдательное причастие прошедшего времени «доказанный», которое имеет краткие формы:

вывод доказан;

теорема доказана;

всё доказано.

Как известно, краткие формы причастий с отрицательной частицей «не» пишутся раздельно согласно правилу орфографии.

Слово «не доказано» пишется раздельно с «не» как краткая форма страдательного причастия «доказанный».

Примеры

Это совсем еще не доказано.

Не доказано, по какой причине исчезли динозавры.

Утверждение не доказано и требует дополнительных исследований по этой проблеме.

2

0

В первую очередь при выборе правильного написания частицы не следует обратить внимание на то, к какой части речи относится слово, с которым используется данная частица. Это один из главных моментов.

Доказано — доказанный — который доказали — причастие, использована краткая форма.

Из правила следует, что все причастия в краткой форме следует обязательно писать раздельно.

В качестве примера.

Это утверждение так и не было никем доказано. Утверждение осталось не доказано.

2

0

Верным вариантом является в написании по орфографическим правилам русского языка раздельный вариант с «не», а именно «не доказано», а обосновывается он такой нормой русского языка, которая нам говорит о том, что краткие причастия, всегда должны писаться с не раздельно, если конечно они без нее употребляются в принципе.

1

0

Для того, чтобы ответить на этот вопрос необходимо определить к какой части речи относится слово «не доказано». Мы видим, что слово «не доказано» отвечает на вопрос «Что сделано?», следовательно перед нами краткое причастие. А теперь вспомним правила русского языка, из которых следует, что краткие причастия пишутся с «не» раздельно.

Примеры предложения.

Участие Петрова в этом преступление не доказано.

Эта гипотеза не доказана.

Теорема не доказана.

1

0

Здесь речь идёт с слитном или раздельном написание не с причастиями. Из правила следует, что не с причастием пишется раздельно, кроме случая, если оно без «не» не употребляется.

Теорема так и не доказана.

Участие учеников в этом деле не доказано.

Не доказано существование ада и рая.

Вина преступника так и не доказана.

То, что инопланетяне существуют никем не доказано.

Читайте также

«Ненавидящий» является частью речи причастие, которое произошло от глагола «ненавидеть». Так же как и «ненавидеть» пишется только слитно, потому, что без «не» не употребляется. Слов «навидеть» или «навидящей» просто нет в русском языке.

Пример: Он был человеком, ненавидящим окружающих за трусость.

Если обо мне, то «подноль» как-то странно выглядит в написанном виде. А лично сначала взглядом прощупываю слово — не зацепит ли что, в этом случае зацепило, что это за подноль какой-то, есть подосиновик и подножка, а под чем, интересно, ноль расположился.

Раздельно пишем, существительное ноль используется в Винительном падеже с предлогом под. Например, под копирку, под насадку, под шумок, под завязку.

Меня сегодня аккуратненько так под ноль побрили, ни одной волосинки не торчит, можно теперь тряпочкой голову мыть.

Слово «неблаготворный» является прилагательным. В предложении его можно написать как слитно, так и раздельно, все зависит от построения конкретного предложения.

«Не» с прилагательными стоит писать слитно в тех предложениях, в которых нет противопоставления с союзом «а». Обычно в таких предложениях слово можно заменить синонимом (в данном случае синонимами могут стать такие слова: «вредный», «плохой»).

Неблаготворное влияние.

Холодный климат оказывает неблаготворное влияние на мое здоровье.

Если в предложении имеется противопоставление (имеется союз «а»), а также слова, используемые для усиления отрицания, то «не» с прилагательным стоит писать раздельно.

Влияние этих подростков совсем не благотворное, они подстрекают моего брата к дурным поступкам.

Словами, которые усиливают отрицание, могут быть следующие: «совсем не», «никак не», «вовсе не», «отнюдь не».

Данное слово является прилагательным.

Поэтому стоит применить правило написания частицы «не» с прилагательными.

«Не» с прилагательными пишется слитно, если нет противопоставления в предложении (нет союза «а»), а слово можно легко заменить синонимом (греховный, неправедный, порочный).

Небезгрешную жизнь прожил Иван Степанович.

Небезгрешные мысли постоянно крутились в его голове.

Небезгрешный человек Иван Степанович.

«Не» с прилагательными пишется раздельно в тех предложениях, где есть противопоставление с союзом «а». Также «не» с прилагательными пишется раздельно, если есть слова, усиливающие отрицание («отнюдь не», «совсем не», «вовсе не», «точно не», «ничуть не» и другие подобные).

Нет, он совсем не безгрешный, он просто умело скрывает свои неблаговидные поступки.

Он вовсе не безгрешный, а наоборот очень порочный.

Он точно не безгрешный, я знаю о многих его грязных делишках, которые он совершает втайне.

Правило следующее — раздельно пишутся наречия и наречные сочетания, образованные от существительных, в состав которых входят предлоги «без», «до», «с», «со», «под», «за».

Рассмотрим слово «с панталыку». Это наречие, так как отвечает на вопрос «как?». Образовано оно от существительного, хотя и слово «панталыку» в современном русском отдельно не употребляется. Согласно вышеупомянутому правилу, наречное выражение «с панталыку», образованное от существительного при помощи предлога «с» должно писать раздельно.

Вывод — слово «с панталыку» пишется раздельно.

Источник

Задания 3. Написание слов с НЕ слитно/раздельно

1. Задание 3 № 4

Выпишите, раскрывая скобки, ряд, в котором все слова с НЕ пишутся раздельно. В выписанном ряду для каждого случая укажите условия выбора раздельного написания.

1) смотрел (не)весело, (не)стерпимая жара, никем (не)замеченный

2) (не)робкого вида, (не)участвовавший в концерте, ехать (не)далеко

3) (не)глядя в глаза, (не)смолкающий гул, ничуть (не)интересный

4) (не)связанный обязательствами, упражнение (не)задано, (не)заячьи следы

2. Задание 3 № 20

Выпишите, раскрывая скобки, ряд, в котором все слова с НЕ пишутся слитно. В выписанном ряду для каждого случая укажите условия выбора слитного написания.

1) Далеко (не)весёлая история, (не)добрый, а злой человек, (не)видел ничего

2) (Не)разгаданная тайна, (не)чаянная радость, (не)дописанная глава

3) Дорога (не)освещена, отнюдь (не)большой отрезок, (не)дотрога

4) (Не)поднимающийся высоко, (не)разборчивый почерк, (не)расписался в ведомости

3. Задание 3 № 37

1) Очень (не)красивый почерк, (не)выполненная домашняя работа, (не)сдвинуться с места

2) (Не)достойное поведение, (не)жданно-(не)гаданно, (не)дорого продаю

3) Строительство (не)завершёно, вовсе (не)холодно, (не)лепость

4) (Не)убранная комната, (не)наряженная елка, (не)услышал из-за шума

4. Задание 3 № 54

1) Отнюдь (не)красавица, (не)успевший вовремя, (не)хочу сладкого

2) (Не)тяжёлая ноша, ничуть (не)знакомый текст, (не)представленные в суде доказательства

3) Читал (не)громко, сказал (не)правду, (не)дописал

4) (не)поседа, (не)холодно, а жарко, (не)вставайте

5. Задание 3 № 71

1) (Не)житьё, а вытьё; (не)грамотный человек, (не)навистен всем

2) (Не)брежно написано, (не)полученные билеты, (не)здоровый вид

3) Вовсе (не)глупый, сказал (не)правду, (не)бывавший на охоте

4) Прикрикнул (не)шутя, (не)разглядеть, (не)взрачный.

6. Задание 3 № 88

1) (Не)крепко прибил; (не)светло, а темно; (не)виноват нисколько

2) (Не)здоровится, (не)заметив подвоха, (не)узнаешь секрета

3) Вовсе (не)смешно, (не)солёный суп, (не)жданный успех

4) Ничем (не)интересуясь, (не)добавленное арбитром время, (не)мог.

7. Задание 3 № 105

1) (Не)доумевать; (не)хорошо от переживаний; (не)раскрытая книга

2) (Не)заслоняя солнца, (не)доделанная работа, (не)лестное замечание

3) Нисколько (не)холодно, (не)выглаженное бельё, (не)добрый знак

4) Никогда (не)дождусь, (не)оклеенная обоями комната, (не)скоро приду.

8. Задание 3 № 122

1) (Не)лёгкий жребий; (не)модная одежда; (не)рассчитанная на такую аудиторию лекция

2) (Не)прикоснувшись рукой, (не)былица, (не)приду на обед

3) План (не)разработан, (не)взлюбить, (не)всякий способен на это

4) Попасть в (не)милость, (не)дочёт нужно исправить, (не)близкий путь

9. Задание 3 № 139

1) (Не)должен никому; (не)отвлекаясь от дел; (не)шестой по счёту

2) (Не)ради славы, сказал (не)правду, (не) приставай к нему

3) Успех (не)сомненен, (не)подметённая дорожка, (не)вольник чести

4) Терпеть (не)вмоготу; (не)друг, а враг; (не)ходи поздно вечером.

10. Задание 3 № 156

1) (Не)к лицу; (не)ровность на дороге; (не)асфальтированная дорога

2) (Не)горазд веселиться, (не)использован по назначению, (не)доставленная адресату посылка

3) Письмо (не)дописано, (не)удачник, (не)поладки в моторе

4) Уронить (не)нароком; (не)больной, а здоровый; (не)дождавшись ответа.

11. Задание 3 № 173

1) (Не)равный бой; (не)забудка; (не)оформленная своевременно доверенность

2) (Не)разлучные друзья, (не)досолить суп, (не)закрытая дверь

3) Немного (не)повезло, (не)безызвестный факт, (не)задернул шторки

4) Идти (не)спеша; (не)маленький, а огромный; (не)подходи ко мне.

12. Задание 3 № 190

1) (Не)друг; (не)приходи; (не)чаянно получилось

2) (Не)лепая история, (не)грамотный человек, (не)оставайтесь равнодушными

3) Читал (не)громко, (не)поседа, (не)повешенный уголок

4) Далеко (не)красавица; (не)глупый, а умный; (не)мог остановиться.

13. Задание 3 № 207

1) (Не)навидевший ложь; (не)выкопан; (не)стройно идут

2) (Не)исследованная учёными проблема, зал (не)освещён, уже (не)знобит

3) Сборы (не)долгие; (не)дорытый котлован; (не)написанная, а напечатанная работа

4) (Не)ряшливо одет; (не)глупый, а умный; (не)должен смиряться.

14. Задание 3 № 224

1) (Не)включенный телевизор; (не)лестный отзыв; крайне (не)осторожно

2) (Не)хватает сил, (не)надо печалиться, (не)свежий, а испорченный

3) (Не)досмотреть за ребёнком; далеко (не)лёгкое решение; (не)раскрученный рекламой бренд

4) (Не)забываемые дни; (не)рыбное место; (не)шутя.

15. Задание 3 № 241

1) (Не)разгаданные детьми загадки; (не)купил подарка; далеко (не)весело

2) (Не)написано мелом, (не)раскрытая книга, (не)широкая, а узкая

3) (Не)красить забор; (не)тяжёлая сумка; (не)проданный с аукциона

4) (Не)тёмный, а светлый; (не)жданно-(не)гаданно; (не) жди меня.

16. Задание 3 № 258

1) (Не)сгоревшие в огне стебли; отнюдь (не)большие; не прибегая к помощи

2) (Не)благополучная обстановка, (не)похож на маму, (не)допрыгнул

3) (Не)подбирай ни за кем; (не)доварив суп; (не)жирный бульон

4) (Не)видимое глазом; (не)уютная комната; (не)легко далось.

17. Задание 3 № 275

1) (Не)счастный случай; агент по (не)движимости; поступить (не)по-товарищески

2) Перейти (не)глубокую, но широкую реку; устать с (не)привычки, бормотать что-то (не)внятное

3) Река была (не)широкая, а узкая; (не)может смотреть; (не)замеченный водителем знак

4) (Не)совершеннолетние дети; (не)коммерческое, а государственное предприятие; почуять (не)доброе.

18. Задание 3 № 292

1) (Не)исследованное дно; (не)далёкий человек; вести себя (не)принужденно

2) Колодец (не)глубокий, а мелкий; (не)явился на судебное заседание; почерк (не)разборчив

3) Совсем (не)проверенная версия; (не)знакомый мужчина; (не)зная причины

4) (Не)доиграл партии; с утра (не)здоровится; (не)соответствует стандартам.

19. Задание 3 № 309

1) Реки (не)впадают; ничего (не)говорящий факт; (не)приязненный

2) (Не)словами, а молчанием; (не)убрал игрушки; устать с (не)привычки

3) Ни с кем (не)простясь; сказать явную (не)правду; (не)угадав ответ

4) (Не)взлюбить с первого взгляда; (не)знакомый мужчина; . (не)законченный портрет.

20. Задание 3 № 326

1) Далеко (не)спокойный ребёнок; никуда (не)годится; рукопись (не)отредактирована

2) (Не)словом, а делом; это было (не)избежно; устать с (не)привычки

3) Избежать (не)доразумения; это (не)беда; (не)узнав друга

4) (Не)исписанные листы; потерпел (не)удачу; . (не)приступная крепость.

21. Задание 3 № 343

1) (Не)чего бояться; (не)здоровый цвет лица; телеграмма (не)получена

2) (Не)хватило терпения; (не)участие, а холодное равнодушие; ещё (не)поспевшие ягоды

3) Толпа (не)доумевала; (не)знающие бед; (не)настный день

4) (Не)что интересное; отозваться очень (не)лестно; работа (не)зачтена.

22. Задание 3 № 360

1) Поступить (не)по-товарищески; полный (не)вежда в музыке; (не)проявленная фотоплёнка

2) (Не)с кем обсуждать; заказ (не)оформлен; (не)принятые к исполнению указания

3) (Не) опоздай к началу сеанса; (не)раскрытое преступление; (не)достача выявлена ревизией

4) (Не)достаточно хорошо; (не)дорогой наряд; ничуть (не)привлекательный.

23. Задание 3 № 377

1) (Не)длинна, а коротка; (не)большой, но удобный шкаф; (не)наверстаешь

2) (Не)приступная крепость; обошлось (не)дешево; (не)выпитое молоко

3) (Не)прополосканное бельё; (не)производить никакого шума; (не)в этом дело

4) (Не)ослабевающие, а крепнущие связи; (не)вежлив; объять (не)объятное

24. Задание 3 № 394

1) Жить (не)навидя; ничего (не)говорящий факт; защищает (не)от дождя, а от солнца

2) (Не)куда спешить; (не)долетая до земли; (не)словами, а молчанием

3) Шум (не)угомонного ручья; спорить с (не)годяем; (не)прыгал с парашютом

4) (Не)запланированная на сегодня поездка; прыгнул (не)разбежавшись; вовсе (не)дружелюбный.

25. Задание 3 № 411

1) (Не)друг моего друга — мой враг; море (не)привычно спокойно; (не)отдаст просто так

2) (Не)щёлкнув пальцами; скрылись в шалаше от (не)погоды; (не)ласковый, а грубый

3) (Не)умело приготовлен; времени всегда (не)достает; (не)проглядная тьма

4) (Не)слабый, а сильный; (не)умеющий говорить; (не)надетое колье.

26. Задание 3 № 428

1) (Не)возможный характер; (не)довыполнить план; тебе (не) сдобровать

2) (Не)обращая внимания; (не)скрываемая злоба; (не)редко задумывался

3) (Не)расчищенная после бури тропа; (не)отведав приготовленного; нежные (не)забудки

4) (Не)стерпимая боль; (не)рви траву; (не)окрепший с начала зимы лёд

27. Задание 3 № 1656

1) (не)было сил; (не)снимая пальто; (не)привычные для нас

2) (не)сильный, но крупный дождь; (не)профессиональный подход; в окнах (не)доставало стёкол

3) обещания (не)забыты; ещё (не)открытые земли; (не)хватало времени

4) (не)прикрытое самоуправство; значение (не)определено точно; (не)лисьи повадки

28. Задание 3 № 1673

1) он был (не)высок, (не)допитое до конца молоко, (не)чёткость изображения

2) (не)известная европейцам земля, (не)подстриженный до сих пор газон, (не)часто встречается

3) (не)поняв ни слова, (не)выспавшийся с ночи охранник, дверь (не)закрыта

4) отнюдь (не)лёгкое дело, крайне (не)собранная девушка, (не)верно отвечает

29. Задание 3 № 1717

1) (не)лепая ссора; (не)глядя по сторонам; (не)выглаженная скатерть

2) (не)сваренный суп; (не)досмотрел фильм; ещё (не)разрушенные стены

3) (не)вчера, а сегодня; (не)тленное произведение; (не)кого винить

4) далеко (не)лестный отзыв; (не)привезённый вовремя; (не)раскрыв тайну

30. Задание 3 № 1879

1) (не)выносимо жгло, (не)проверенные факты, ничем (не)оправданный

2) (не)пришедший вовремя, работы (не)проверены, (не)отцов плащ

3) (не)думая о будущем, (не)отшлифованный алмаз, нисколько (не)жалко

4) (не)весёлый взгляд, (не)знавший правду, шумел (не)подалёку

31. Задание 3 № 1901

1) никому (не)рад, (не)посаженные деревья, поет (не)громко

2) (не)засеянное пшеницей, (не)сложено стихов, (не)ожиданный приезд

3) вовсе (не)интересно, (не)выполнив задание, (не)освещены фонарями

4) (не)распаханная земля, трудился (не)устанно, (не)ведая побед

32. Задание 3 № 1918

1) (не)рассчитанная бухгалтером зарплата; (не)связав варежки; вовсе (не)интересно

2) (не)хочу спать; листок (не)исписан; (не)навидящий кашу

3) (не)понятная история; (не)сколько дней; узор (не)простой, а замысловатый

4) (не)поступив в университет; (не)кому рассказать; (не)думающий о будущем

33. Задание 3 № 1937

1) (не)реже двух раз, (не)смолкаемый гул, почти (не)просохшая земля

2) издание (не)переработано, бытовые (не)урядицы, было (не)весело

3) никому (не)доставшиеся, завтрак (не)приготовлен, ничуть (не)дорог

4) (не)заглядывая вдаль, (не)интересный собеседник, задумывался (не)редко

34. Задание 3 № 1954

1) (не)посоленный суп; (не)уютная комната; (не)находя слов

2) отнюдь (не)дешёвая вещь; (не)точные вычисления; задание (не)выполнено

3) (не)жалуясь на боль; (не)замечены опечатки; (не)скромный, а хвастливый человек

4) (не)чаянно ошибиться; (не)прекращающийся шум; (не)сделанное вовремя замечание

35. Задание 3 № 1971

1) (не)реже двух раз, (не)смолкаемый гул, почти (не)просохшая земля

2) издание (не)переработано, бытовые (не)урядицы, было (не)весело

3) никому (не)доставшиеся, завтрак (не)приготовлен, ничуть (не)дорог

4) (не)заглядывая вдаль, (не)интересный собеседник, задумывался (не)редко

36. Задание 3 № 1988

1) ни о ком (не)думающий, изучал (не)долго, (не)проваренный рис

2) (не)высокого роста, лететь (не)высоко, (не)продуманный заранее

3) (не)приглашая на праздник, совсем (не)весёлый, (не)проходимые дебри

4) (не)прошедший через турникет, практика (не)зачтена, (не)медвежья берлога

37. Задание 3 № 2005

1) (не)брежно написано, (не)доделанная работа, (не)сумевший реализовать

2) в ещё (не)просохшем доме, (не)вежливое замечание, дело (не)прекращено

3) вовсе (не)интересный фильм, (не)снимая пальто, урок ещё (не)окончен

4) (не)приступная крепость, упражнение (не)задано, (не)бывавший за границей

38. Задание 3 № 2022

1) жил (не)далеко, (не)стерпимая боль, ничего (не)знающий

2) (не)взрачного вида, (не)думающий о будущем, приходил (не)давно

3) (не)замеченная мною ошибка, книга (не)прочитана, (не)дядин галстук

4) (не)смотря по сторонам, (не)начатое сочинение, далеко (не)идеальный

39. Задание 3 № 2039

1) никогда (не)замерзающий, говорил (не)плохо, (не)выполнив задание

2) (не)правильно решил, ничуть (не)приятный, работа (не)закончена

3) (не)интересный фильм, он (не)прав, (не)решённая задача

4) двигался (не)быстрее, (не)заходя домой, ещё (не)выполненное задание

40. Задание 3 № 2056

1) (не)лепо спорить, говорить (не)понятно, (не)умеющий аргументировать

2) (не)высокое дерево, (не)обратил внимания, (не)просохшая за ночь земля

3) (не)чувствуя усталости, задача (не)решена, ещё (не)успевшая высохнуть

4) (не)позвонивший вовремя, (не)тронутый обед, (не)широкая дорога

41. Задание 3 № 2073

1) (не)лепый поступок; (не)высокое дерево; поступить (не)по-товарищески

2) почуять (не)доброе; (не)когда разговаривать; (не)весёлый, а грустный человек

3) (не)глубокая, но бурная речка; (не)часто встречается; далеко (не)лёгкое дело

4) цветы (не)срезаны; (не)зная причины; (не)ослабевающая, а крепнущая дружба

42. Задание 3 № 2090

1) отнюдь (не)легко, справедливое (не)годование, (не)прикоснувшийся к земле

2) (не)избалованный родителями, картина (не)закончена, вовсе (не)жалко

3) (не)слушая сказки, (не)ласковый сын, почти (не)исписанная

4) теорема (не)доказана, (не)гаснущая на ветру, задумывался (не)редко

43. Задание 3 № 2107

1) использовал (не)удачно, сказал (не)спроста, ни о чём (не)думающий

2) (не)исторический факт, (не)украшенная игрушками, статья (не)проверена

3) (не)разбирая дороги, (не)убранная комната, отнюдь (не)веселый

4) (не)весёлая улыбка, (не)использованный в работе, говорить (не)громко

44. Задание 3 № 2124

1) (не)произвольно взглянул, (не)уклюжий медвежонок, (не)собранные к сроку

2) (не)растаявший снег, (не)спавший от боли, (не)шёлковое платье

3) компьютер (не)подключён, писал (не)аккуратно, ничуть (не)интересный

4) (не)законченный вовремя портрет, вовсе (не)жалко, (не)делая выводов

45. Задание 3 № 2141

1) (не)распиленное на части бревно, (не)зная горя, дверь (не)открыта

2) далеко (не)радостные новости, (не)замёрзшая река, горел (не)по-ночному

3) совсем (не)вежливо, (не)используемый в тексте, (не)широкая дорога

4) (не)разбавленная ничем пауза, (не)суразный вопрос, обошлось (не)дёшево

46. Задание 3 № 2158

1) с утра (не)здоровится; (не)хорошо засмеялся; ничего (не)понимающий

2) абсолютно (не)разговорчивый; (не)зная причины; (не)уверенно хихикнули

3) (не)коммерческое, а государственное дело; цветы (не)собраны; ещё (не)скошенная трава

4) (не)громкая музыка; далеко (не)дёшево; (не)причёсанный ребёнок

47. Задание 3 № 2175

1) (не)высоко взлететь, а низко; (не)имеющий слабых мест; (не)засыпаны снегом

2) (не)остывший от зноя; перейти (не)глубокую, но широкую реку; (не)распиленное бревно

3) ничуть (не)привлекательный; (не)вежливый человек; ошибка (не)отмечена

4) (не)произвольно взглянул; вовсе (не)правильное; теорема (не)доказана

48. Задание 3 № 2192

1) (не)настная погода; (не)унывающий человек; пруд (не)мелкий, а глубокий

2) шёл, (не)смотря под ноги; (не)пролазная чаща; (не)приветливая улыбка

3) (не)плохое решение; (не)ожиданное известие; (не)глядя

4) дорога (не)освещена; ни о чём (не)вспомнив; (не)избалованная мамой

Источник

Содержание:

Формула теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора
Геометрическая формулировка теоремы Пифагора
Примеры решения задач
Историческая справка

Формула теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. 1):

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ — прямоугольный треугольник с
прямым углом $C$ (рис. 2).

Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .

Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $angle A C B=angle C H A=90^{circ}$,
$angle A$ — общий). Аналогично, треугольник $C B H$ подобен $A B C$ .

Введя обозначения

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

из подобия треугольников получаем, что

$$frac{a}{c}=frac{H B}{a}, frac{b}{c}=frac{A H}{b}$$

Отсюда имеем, что

$$a^{2}=c cdot H B, b^{2}=c cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^{2}+b^{2}=c cdot H B+c cdot A H$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot(H B+A H)$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot A B$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot c$$

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах (рис. 2):

Примеры решения задач

Пример

Задание. Задан прямоугольный треугольник $A B C$, катеты которого равны 6 см и 8 см.
Найти гипотенузу этого треугольника.

Решение. Согласно условию катеты $a=6$ см, $b=8$ см. Тогда, согласно теореме
Пифагора, квадрат гипотенузы

$c^{2}=a^{2}+b^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$

Отсюда получаем, что искомая гипотенуза

$c=sqrt{100}=10$ (см)

Ответ. 10 см

Пример

Задание. Найти
площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один
из его катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.

Решение. Пусть
$x$ см — длина меньшего катета, тогда $(x+5)$ см — длина большего. Тогда согласно теореме Пифагора имеем:

$$x^{2}+(x+5)^{2}=25^{2}$$

Раскрываем скобки, сводим подобные и решаем полученное квадратное уравнение:

$x^{2}+5 x-300=0$

Согласно теореме Виета, получаем, что

$x_{1}=15$ (см) , $x_{2}=-20$ (см)

Значение $x_{2}$ не удовлетворяет условию задачи, а значит, меньший катет равен 15 см, а больший — 20 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов, то есть

$$S=frac{15 cdot 20}{2}=15 cdot 10=150left(mathrm{см}^{2}right)$$

Ответ. $S=150left(mathrm{см}^{2}right)$

Историческая справка

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая
соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин» говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий
историк математики Мориц Кантор (1829 — 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ было известно уже египтянам ещё около
2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как выглядит формула, отражающая смысл теоремы Пифагора?

Согласно теореме Пифагора, значение длины гипотенузы (с) треугольника с
прямыми углами, возведенное в квадратную степень, является величиной,
равной сумме его катетов (а и b), каждый из которых также возведен в
квадрат. Наглядно и с применением условных обозначений это выглядит так:

a² + b² = c².

О чем гласит теорема Пифагора?

В теореме Пифагора говорится о том, что в треугольнике с прямыми углами
сумма длин катетов, каждая из которых возведена в квадрат, равна длине его
гипотенузы, также возведенной в квадратную степень.

При этом под гипотенузой понимается сторона, которая расположена
противоположно прямому углу. Катетом считается одна из сторон, участвующих
в образовании прямого угла.

Треугольник имеет прямой угол. Как доказать теорему Пифагора, которая
гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного труегольника равна длине
его гипотенузы, которая возведена в квадрат?

Основание прямоугольного треугольника обозначим как Н. Из его вершины С
проведем высоту на гипотенузу АВ. Получившийся в результате этого
треугольник АСН является подобным треугольнику АВС по двум углам, равным
90º (∠ACB =∠CHA).

В обоих треугольниках есть один общий угол — ∠A.

Подобными также являются треугольные фигуры АВС и СВН. Основанием их
подобия являются прямые углы (∠ACB =∠CHB). Оба эти треугольника имеют
общий угол, которым является ∠B.

Для продолжения доказательства теоремы Пифагора следует ввести
дополнительные обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

На основании полученной ранее информации о подобии треугольников можно
утверждать, что:

a/с = HB/a, b/с = AH/b.

Полученное равенство также позволяет сделать следующий вывод:

a2 = c * HB, b2 = c * AH.

На следующем этапе произведем сложение полученных ранее равенств:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

Вынесем за скобки общий множитель во второй части равенства:

a2 + b2 = c * (HB + AH)

Теперь можно сократить Н в левой части равенства, в результате получим:

a2 + b2 = c * AB

В приведенных выше обозначениях указано, что АВ = с. Это позволяет
переписать равенство следующим образом:

a2 + b2 = c * c, или a2 + b2 = c2

Таким образом, теорема Пифагора доказана.

Длина катетов прямоугольного треугольника равна 5 см. Как вычислить длину
его гипотенузы?

Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы прямоугольного треугольника,
которая возведена в квадрат, равна сумме, полученной в результате сложения
квадратов длин его катетов. Из этого следует, что:

х² = 5^2 + 5^2

Извлечем квадрат из обеих частей равенства, в итоге получим:

x = √(5² + 5²)= √(25+25) = √50 = √25*2 = 5√2

Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен
5 см, составляет 5√2, что равно примерно 7,07 см.

Применима ли теорема Пифагора к любому треугольнику?

Теорема Пифагора не может быть применима к треугольнику с тупыми или
острыми углами. Она выполняется только в случае прямоугольного
треугольника.

Для треугольника с углом 90º справедливо утверждение о том, что длина его
гипотенузы, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов,
взятых в квадрат.

Дан прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 7 см, а
одного катета – 6 см. Как вычислить длину второго катета, используя теорему
Пифагора?

В теореме Пифагора говорится о том, что сумма длин катетов прямоугольного
треугольника, возведенных во вторую степень, равна квадрату длины его
гипотенузы. В случае с треугольником, некоторые параметры которого
приведены в задании, это утверждение выглядит следующим образом:

х² = 7²-6² = 49-36 = 13.

Для того чтобы найти значение х, нужно извлечь квадратный корень из числа
13:

х =√13.

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна корню
квадратному из 13.

Длина одного из стоящих рядом домов равна 24 м, высота второго из них
составляет 16 м. Как вычислить расстояние между крышами обоих домов, зная,
что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов?

Для решения поставленной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора,
которая говорит о том, что сумма длин катетов треугольника с прямым углом,
возведенных в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной во
вторую степень:

a² + b² = c².

Теорема Пифагора может быть применима в данном случае по причине того, что
образованная между двумя домами конструкция является прямоугольным
треугольником. Зная о том, что сумма квадратов катетов в прямоугольном
треугольнике равна длине его катета, возведенной в квадрат, можно
вычислить длину неизвестного катета:

24 м – 16 м = 8 м.

Длина одного катета треугольника равна 16 м, второго – 8 м. Зная это,
можно применить теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы:

(16*16) + (8*8) = 256 + 64 = 320 м.

Осталось только извлечь квадратный корень из 320, для того чтобы узнать
длину расстояния между крышами двух домов.

Ответ: Расстояние между крышами домов равно корню квадратному из 320.

Длина гипотенузы треугольника с прямым углом равна 13 см. Один из его
катетов равен 12 см. Как найти длину его второго катета по теореме Пифагора?

Обозначим длину неизвестного катета как х. Зная то, что по теореме
Пифагора длина гипотенузы прямоугольного треугольника, возведенная во
вторую степень, равна сумме длин его катетов, которые также возведены в
квадрат, можно выразить длину неизвестного катета следующим образом:

х² = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

Теперь, для того чтобы узнать длину второго катета, необходимо извлечь
квадратный корень из числа 25:

х = √25 = 5

Ответ: длина второго катета прямоугольного треугольника равна 5 см.

Дан треугольник с прямым углом, к гипотенузе которого проведена медиана
длиной 6,5 м. Длина одного из катетов данного треугольника составляет 5 см.
Как вычислить длину второго катета треугольника по теореме Пифагора?

Известно, что длина медианы (m), которая проведена к гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна ½ ее длины. Используя это, можно
высчитать длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

с = 2*m = 2*6,5 = 13 см.

Высчитав длину гипотенузы и зная длину одного из катетов прямоугольного
треугольника, можно вычислить, чему равен его второй катет. Для этого
можно использовать теорему Пифагора, согласно которой:

a²+b²=c²

В нашем случае:

5²+b²=13²

Выражаем из записанного выше равенства длину неизвестного катета:

b²=13²-5²= 144

Из полученного числа нужно извлечь квадратный корень, для того чтобы
узнать длину второго катета прямоугольного треугольника:

b = √144 = 12 см.

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна 12 см.

Как можно вычислить треугольник, для которого по теореме Пифагора,
соблюдается равенство f2=a2+ b2?

Равенство, указанное в задании, применимо к треугольнику с прямым углом,
как гласит теорема Пифагора.

Каждая из сторон треугольника может быть обозначена прописной буквой,
которая соответствует строчной букве, обозначающей угол треугольника,
расположенный противоположно этой стороне. На основании этого можно
сделать вывод о том, что искомый треугольник является прямоугольным и
имеет гипотенузу f и катеты a и b:

∆АDF c ∠F= 90°

Ответ: имеется треугольник АDF с прямым углом F.

Существует ли теорема, которая обратна теореме Пифагора, и что она гласит?

Теорема, которая является обратной теореме Пифагора, существует. Согласно
этой теореме, треугольник считается прямоугольным в том случае, если длина
его большей стороны, возведенная в квадратную степень, равна сумме длин
двух других его сторон, которые также возведены в квадратную степень.

Имеется равнобедренный треугольник, длина двух сторон которого равна 48 см,
а третьей – 51 см. Как можно высчитать площадь данного треугольника по
теореме Пифагора?

Для начала следует провести высоту (h) к основанию равнобедренного
треугольника. Данная высота, проведенная к основанию, в случае с
равнобедренным треугольником является медианой.

Теперь можно высчитать длину высоты, используя теорему Пифагора. Она будет
равна:

h = √((48 см)² — (25,5 см)²) = 10,5√15 см.

Площадь (S) треугольника рассчитывается путем деления на число, полученное
в результате умножения длины высоты на длину основания треугольника:

S = ½*10,5√15 см*51 см = 267,75√15 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 267,75√15 см².

Каким образом можно вычислить высоту равностороннего треугольника со
стороной а по теореме Пифагора?

В равностороннем треугольнике высота (h), проведенная к его основанию,
является также его биссектрисой и медианой. Она делит равносторонний
треугольник на две части, которые являются равными треугольниками с прямым
углом. Их гипотенуза равна а, а катеты – а/2. Для ответа на поставленный
вопрос следует применить теорему Пифагора:

h²=a²-(a/2)²=a²-(a²/4)=3a²/4

h=a√3/2.

Дан треугольник с прямым углом, длина одного из катетов которого вдвое
меньше длины его второго катета. Гипотенуза данного треугольника равна корню
квадратному из 15. Как по теореме Пифагора вычислить длину меньшего из
катетов треугольника?

Обозначим меньший из катетов как х. Тогда другой катет, длина которого в
два раза больше, будет обозначен как 2х. Если в случае с прямоугольным
треугольником, длина гипотенузы которого равна √15, применить теорему
Пифагора, то она будет выглядеть следующим образом:

(2х)²+(x)²=√15

После раскрытия скобок в уравнении получаем следующее равенство:

4х²+x²=15

Складываем слагаемые в первой части и получаем:

5x²=15

Сокращаем обе части уравнения на 5, и в итоге получается, что:

x²=3

Это значит, что:

x=√3

Ответ: Длина меньшего из катетов треугольника равна √3, а большего – 2√3.

Известно, что длина одного из катетов прямоугольного треугольника составляет
60 см, а длина его гипотенузы и второго катета в сумме дают 180 см. Можно ли
по теореме Пифагора высчитать длину гипотенузы данного треугольника?

Если обозначить длину неизвестного катета через х, то гипотенуза будет
равна 180-х. Используя введенные обозначения, запишем теорему Пифагора для
данного треугольника:

x²+60²=(180-x)² = x²+3600=32400-360x+x²

После сокращений получается следующее равенство:

360х=32400-3600=28800

Теперь можно найти значение х:

х=28800/360=80

Длина второго катета равна 80 см.

Зная, что катет в 80 см и неизвестная длина гипотенузы в сумме дают 180
см, можно вычислить длину гипотенузы:

180-80=100 см.

Ответ: Длина гипотенузы равна 100 см.

Дана прямоугольная трапеция ABCD. Ее углы А и В равны по 90°. Длины боковых
сторон данной трапеции составляют 9 см и 18 см. Диагональ АС составляет 15
см. Как можно вычислить длину основания трапеции по теореме Пифагора?

АВСD является прямоугольной трапецией, у которой AB=9 см и CD=18 см.
Диагональ АС данной трапеции составляет 15 см. При этом ВС и AD остаются
неизвестными величинами. Длину ВС можно вычислить по следующей формуле:

√15²-9²=√144=12 см.

Произведем перенос высоты:

СС1=АВ=9 см.

Тогда получаем, что:

C1D=√18²-9²=9√3

BC=AC1=12

AD=12+9√3 см.

Ответ: Длина основания AD прямоугольной трапеции равна 12+9√3 см.

Источник