Сочинения евклида которые сохранились

gymnkur@aldan.sakha.ru

Во всём мне хочется дойти
До самой сути.
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте,
До сущности протёкших дней,
До их причины,
До оснований, до корней,
До сердцевины.

Б.Пастернак

Для автоматизации управления гимназией используются программные продукты фирмы “1С”

Муниципальный этап олимпиады по педагогике и психологии «Педагогическая звездочка»

Портрет: «Учитель, на которого я хочу быть похожа»
Солнечное осеннее утро. Актовый зал школы, в котором собрались ученики от мала до велика и их наставники – учителя, которых несложно заметить в этой суматохе. Все преподаватели разного пола, возраста, характера, образа жизни, склада ума, мыслей, кто-то более требователен, а другой более снисходителен по отношению к ученикам, но вот вопрос “На кого из учителей я хочу быть похожа? ”
Как говорил Карл Маркс: ”Воспитатель сам должен быть воспитан”. На основе этого высказывания я попыталась составить образ идеального воспитателя(учителя), который должен обладать этими качествами: добрый, приветливый, опытный в своем предмете; улыбчивый, аккуратный, вежливый; уверенный в себе, ответственный, общительный; тот, кто любит свою работу и детей; кто любит пошутить, но в меру; кто горд своим образованием; кто может заступиться за своих учеников; кто любит познавать что-то новое; тот, кому я могу рассказать о своих проблемах и кто поможет найти способы их решения. Но требовательность при всех этих качествах должна присутствовать. Требовательность, хоть и не самая любимая учениками черта учителя, его не портит, потому что без этого качества учителей не воспринимали бы в серьез, ученики не делали бы домашнюю или классную работу, не стремились бы научится чему-то новому, не преодолевали бы свое «не хочу» и не говорили бы себе «надо». Я думаю, что многие ученики и студенты благодарят учителей за то, что они были к ним более требовательны, потому что дальнейшая их жизнь за школьным порогом стала намного тяжелее , а с этой требовательностью учителя в их юные годы , они сейчас хорошо учатся и совершенствуются в своей специальности.
Примером такой учительницы для меня является Татьяна Борисовна Митрохина – мой классный руководитель и учитель психологии в нашей школе. Она для меня, как вторая мама. Потому что, если мне потребуется помощь или понадобится совет, или я хочу просто поговорить, если мне станет скучно, то я всегда могу обратиться к ней, нежели к какой-либо другой учительнице. Ведь за все годы учебы, я думаю, она меня уже хорошенько узнала – какой я по характеру человек и как со мной лучше общаться. От нее, как от учителя, я многое узнала и до сих пор узнаю про человеческий характер, про его внутреннее содержание и учусь понимать людей и себя.
А еще таким примером преподавателя с такими качествами, для меня является Анна Дмитриевна Бредихина – учитель математики. До нее меня учили другие учителя, и я не могу сказать о них ничего плохого. Но толком понять “царицу всех наук”, добиться высоких результатов в математике я смогла только с Анной Дмитриевной.
Мне кажется, с точки зрения теории Эрика Берна, мои учителя находились на уровне “Родителя”, а я была на уровне “Ребенок”, который хотел чему-то научиться, но не мог , не умел, не понимал до конца – чему. А учителя, которые стояли на позиции “Родитель”, диктовали мне как надо, объясняли какую – либо теорему или задачу, не особо заботясь о том, поняла ли я. Я думаю, что для того, чтобы я чему-либо научилась, мы с учителем должны были встать на один уровень, на уровень ”Взрослого”, чтобы я могла “впитать” в себя все азы науки, а учитель мог мне их дать. С приходом Анны Дмитриевны, которая стояла на уровне “Взрослый”, я тоже начала подниматься на ступеньку выше позиции ”Ребенок”, в результате чего успешно начала “грызть гранит точной науки”. С Анной Дмитриевной ты понимаешь алгебру и геометрию с полуслова. Даже если трудно решить какой-либо пример, она никогда не откажет в помощи, а даже наоборот, будет рада вам помочь. Она, как человек по характеру общительный, иногда любит рассказывать разные истории из своей жизни, ей нравится приводить в пример фразы великих людей, она также как, и все наши учителя, любит пошутить. Я считаю, что Анна Дмитриевна очень любит детей. И хоть она и очень требовательный учитель, это совсем не мешает ей быть любимой многими учениками. Я считаю это качество очень подходящим качеством для неё и для всех людей ее профессии , ведь математику (впрочем, как и любой другой предмет) должны знать все и требования к результатам должны быть строгими .
Я думаю, что двух этих людей – Татьяну Борисовну и Анну Дмитриевну – объединяет не только любовь к детям, но и любовь к своей профессии, к делу своей жизни. Потому что за все годы своей преподавательской жизни они научились хорошо общаться и понимать детей всех возрастов. И мне кажется, они ходят на работу, как на праздник и с каждым днем они получают все больше и больше удовольствия от своей работы.
В заключение хочу привести высказывание великого русского писателя Льва Николаевича Толстого:”Если учитель имеет только любовь к делу, он будет хороший учитель. Если учитель имеет только любовь к ученику, как отец, мать, – он будет лучше того учителя, который прочел все книги, но не имеет любви ни к делу, ни к ученикам .Если учитель соединяет в себе любовь к делу и к ученикам, он – совершенный учитель”.

Сенникова Анна, 10 класс МБОУ «Гимназия п.Нижний Куранах»

Портрет: «Учитель, на которого я хочу быть похожа»
“Самым важным явлением в школе, самым поучительным предметом, самым живым примером для ученика является сам учитель”, – так говорил Дистервег. На мой взгляд, это бесспорно так. Ведь от учителя зависит многое. Большинство детей – учеников берут пример со своих наставников-учителей. ”Слабость ума и характера многих учеников зависит от того, что они знают все кое-как и ничего как следует” (А.Дистервег)
Сегодня все много говорят о компетентности. Понятие «компетентность» характеризует сплав теоретической и практической готовности человека к выполнению определенной деятельности. И только компетентный учитель может воспитать компетентного ученика. Для меня примером такого учителя является Кравцова Екатерина Петровна.
Итак, я бы хотела быть похожа на нашего учителя биологии. Это очень загадачная женщина, в которой строгость и требования сочетаются с добротой и отзывчивостью. Я считаю, что в настоящем Учителе сочетание этих качеств обязательно. Почему? Без строгости, без умения потребовать и спросить невозможно научить каждого, а ведь образовательный стандарт требует от учителя качественно научить любого ученика, независимо от его начальной мотивации. А отсутствие доброты, эмпатии превращает человека в “сухаря”, а учителя в бездушного робота.
Педагог – это призвание Екатерины Петровны. Что есть призвание? Призвание – это твоя неповторимость в этом мире, как твоя обязанность. Это обостренное чувство ответственности за то, что ты есть в этом мире. Мне кажется, учительство – смысл жизни Екатерины Петровны. Она имеет глобокие знания о душевном мире детей и умеет находить правильный подход к каждому из них. Никогда не повышает голос, объясняет все доходчиво и ясно. На ее уроках никогда не бывает скучно. Она из тех преподователей, которые ходят на работу как на праздник. И это здорово!
Хороший учитель – это еще и тонкий психолог, хорошо разбирающийся в людях, способный видеть достоинства и недостатки каждого, находить методы обучения и воспитания, которые будут наиболее эффективны для каждого отдельно взятого ученика. Хороший учитель должен уметь видеть потребности и склонности ученика и уметь заинтересовать ученика с их учетом. И Екатерина Петровна с успехом использует это в своей работе: одним ученикам помогает развить их склонности, других заставляет учиться, предоставляя возможность проявить свои лидерские качества, третьим помогает увидеть смысл в изучении биологии.
Но все ли учителя такие? Ведь для многих работа становится некой обузой. Учитель должен любить свой предмет, тогда он сможет преподнести материал детям так, что даже сухая алгебра покажется весьма увлекательной. Если же в преподавание своего предмета не вкладывать душу, то он будет скучным и в какой-то степени нудным. Как говорил И.Гёте: ”Те, у которых мы учимся, правильно называются нашими учителями, но не всякий, кто учит нас, заслуживает это имя”.

Кочерова Анна, 10 класс МБОУ «Гимназия п.Нижний Куранах»

«Обучать – значит вдвойне учиться» (Ж. Жубер)
Очень часто взрослые люди отрывают от своей жизни такие слова, как «учить», «учиться», «учитель» и думают, что эти понятия относятся к школьному периоду, либо к студенческому. Но, как гласит русская народная пословица: «Век живи, век учись». И действительно, мы учимся на протяжении всей жизни. Но учимся не только у школьных учителей. Ведь в разное время, в различные периоды нашей жизни нашими учителями являются довольно разные люди разных возрастов: начиная от родителей и преподавателей, коллег по работе и друзей, собственных детей и учеников, заканчивая оппонентами и врагами.
Но ведь и мы сами всю жизнь выступаем для кого-то в роли учителей. Каждый из нас хотя бы раз в жизни был учителем, излагал какую-то информацию, объяснял ее своему брату или сестре, другу или однокласснику, родителю или даже учителю, поэтому, говоря «учитель», я имею в виду каждого из нас. Любой учитель всегда развивается, учится чему-то новому и интересному, черпает новые знания, берет позитив, энтузиазм, запал в основном от своих же учеников. Когда люди взаимодействуют, происходит обмен опытом, знаниями, эмоциями. Один из моих учителей всегда говорил, что, прежде всего, не он нас учит, а мы учим его. Я думаю, что тот учитель, который это осознает, мудрый учитель.
«Учитель — не только учитель, но и ученик»,— говорил М. И. Калинин. Давайте порассуждаем. Учитель отдает все, что у него есть: все знания и опыт, чувства и эмоции, которые он накопил за свою жизнь, свое драгоценное время и неисчерпаемую энергию. Представим, что человек начнет отдавать все: свои силы, энергию, знания. Так ведь у него ничего не останется, он может растратить себя без остатка. Где ему взять новые силы, откуда почерпнуть энергию? Я думаю, учитель, с одной стороны отдает, а с другой учится у своих учеников, берет все лучшее от общения с детьми, от наук и снова отдает это лучшее детям.
Я считаю, взрослым есть в чем брать пример с детей: непосредственную манеру общения, поведения, приспособление к разным видам ситуаций, современным компьютерным технологиям, интерес к чему-то новому, жажду к познанию, взаимодействие друг с другом. У детей абсолютно другой взгляд на мир, и у взрослых есть замечательная возможность научиться (или вспомнить – ведь взрослые тоже когда-то были детьми!!!) так же ярко, как и дети, проявлять чувства: радости, любопытства, искренности, доброты, открытости.
Возвращаясь к теме моего эссэ, я хочу привести в пример слова Евклида, которые часто повторяет учитель математики нашей гимназии: «Хочешь чему-либо научиться и что-то понять – возьми себе ученика». Не раз я наблюдала ситуацию, когда один ученик начинал помогать другому, более слабому, и сам в результате значительно продвигался в изучении предмета. То есть, обучая другого, образовывался сам.
Это подтверждает слова Жубера и заставляет нас задуматься о том, что есть много способов познания и образования, которые могут нам помочь на пути саморазвития и совершенствования.

Лазарева Наталья, 9 класс
МБОУ «Гимназия п.Нижний Куранах»

Сказка.
Однажды, в стране Образование, собрались на педсовет Педагогика, Психологическое Исследование, Технология Обучения, Диагностика, Рефлексия, Критическое Мышление, Методы Воспитания, Развитие, Педагогическое Общение и Образовательный Стандарт. А собрались они вот по какому поводу: в первый класс приходит Миша Иванов. Сидели они за столом и думу думали – как воспитать его, да как выпустить Мишу по окончании школы Хорошим Человеком.
Вдруг со стула с необычайной скоростью, которая присуща только человеку, севшему на кнопку, встала мадам Диагностика в полосатом строгом костюме, в туфлях с заостренным носом, в квадратных старинных очках и шишкой на голове из серых посеченных волос. Ее лицо было полно невозмутимости, твердости характера, уверенности и себялюбия. И толстым гнусавым голосом она заявила: «Я самая главная, я научу всему, что нужно. Я проанализирую его способности, умения и знания, и мы поймем, что нужно ему».
«Нет», – с величайшим презрением возразила юная девушка с белокурыми волосами в ситцевом платье светло- голубого цвета, это была Рефлексия: «Я самая главная! Я научу изучать самого себя, анализировать свое сознание, поступки, мышление, механизмы восприятия, эмоциональное реагирование, поведение и многое-многое другое…».
Тут в разговор, чавкая, вмешался мистер Образовательный Стандарт с большим, отвисшим пузом, с протертой от старости плешью и черным кожаным дипломатом: «Эхм…», он, елозя рукавами по столу и неторопливо перебирая свои пальцы, не удосужившись даже встать, громко и невнятно сказал: «Милые дамы! Я! Я тут самый главный! Без меня вас бы не было, я издавна образовал совокупность обязательных требований и стандартов, которым вы подчиняетесь! Мне есть чему научить мальчика!».
Все это наблюдая и анализируя, и, естественно, подвергая критике всю информацию, миссис Критическое Мышление в грубой форме, с претензионным взглядом выразила свое глубочайшее отрицание вышесказанного. И сказала, что самое важное в жизни – это подвергать сомнению все, что тебя окружает, анализировать вещи и события, формулировать обоснованные выводы, оценки и интерпретации, а также корректно применять полученные результаты к ситуациям и проблемам! Поэтому она самая главная!
За столом также сидели несколько братьев – Методы Воспитания – и в один голос сказали: «Вы совсем забыли про нас!
Мы братья-молодцы,
на все руки удальцы!
Нас главнее нет свете,
любят взрослые и дети.
метод мы найдем любой
воспитания, такой,
чтобы все понятно стало,
разобрать вы все смогли,
и наладили контакты
учитель и ученики!
А Вы, Психологическое Исследование, как думаете?».
Существо непонятного пола в медицинском халате сидело абсолютно невозмутимо и непричастно к разговору, зарывшись в бумаги и исследуя новые показатели людей с аутизмом. Оно было задумчиво и замкнуто. Нервно покачивая ногой, не отрываясь от дела, Психологическое Исследование пробормотало – «А? Что? Я даже не знаю. Сейчас я проведу исследование и выясню, кто из нас главней» – и опять уткнулось в свои бумажки.
«Да что тут думать!»- воскликнула Технология Обучения – «Бесспорно, Я самая главная! Я помогаю найти действенные методы для решения любой проблемы, любого вопроса!».
Не удержавшись, вдруг подскочило, до этого все время перешептывающееся, Педагогическое Общение: «Я, я самое главное! Ведь без меня не будет общения между учениками, как в коллективе, так и с учителями!». И выпалив это как будто с облегчением, обернулось и снова начало разговаривать с соседом.
«Я, кажется, пОняло! Ко мне пришло озарение! Инсайт!»- с восхищением вскрикнуло Психологическое исследование «Это Развитие! Это именно Развитие! Ведь без Развития люди бы не совершенствовались ни в духовном, ни в физическом плане!»…
В комнате на минуту все стихло, все были поражены, насколько Психологическое Исследование хорошо отзывается о других, видит их плюсы, и радуется за них…
Что бы хоть как то смягчить напряженное положение, Развитие мягким, спокойным тоном сказало: «Я думаю, что такой чести, как быть главной, заслуживает Педагогика. Ведь это искусство воспитания, наука о воспитании и обучении человека. Если бы не было Педагогики, мне нечего было бы усовершенствовать, ведь люди ничего бы не умели и не знали».
Педагогика встала, поблагодарила всех за бурную и аргументированную дискуссию, и после добавила:
-Как говорил Кристофер Паолини, «порознь мы порой кажемся немного неполноценными, а вместе, превращаясь в единое целое, мы становимся могучей силой». Я думаю, мы должны держаться вместе и никогда не сдаваться. Навсегда рука об руку – и вот тогда все мы победим»!
И все согласились с тем, что только вместе мы сможем воспитать Мишу Иванова Хорошим Человеком!

Лазарева Наталья, 9 класс
МБОУ «Гимназия п.Нижний Куранах»

Учитель информатики и ИКТ МБОУ «Гимназия п. Нижний Куранах» Гуленкова И.А.
Научно-исследовательская работа “Социальная реклама как один из способов профилактики ДДТТ”

Учитель биологии МБОУ «Гимназия п. Нижний Куранах» Мезенцева Екатерина Васильевна
“Гимн-пресс”
Научно-исследовательская работа “Этический императив: взаимодействие человека с природой”

Мой край родной – Якутия моя!

Республика, город, посёлок, улица – это моя маленькая Родина, мой родной край.
Посёлок, в котором я живу, называется Нижний Куранах, что в переводе с эвенкийского означает «сухой ключ». Ему исполнилось 58 лет, а мне всего – 11, по сравнению с ним – я ребёнок, но кое-что о нём я уже знаю из рассказов родителей.
История нашего посёлка начинается с открытия месторождения золота на речке Большой Куранах. Сегодня Нижний Куранах – центр добычи золота на Алданской земле, он известен и в Республике, и в России. Я горжусь этим.
Мой край также богат красивыми лесами, которые меня радуют и восхищают. Любое время года хорошо, но летом особенно волшебно кругом – сплошные травяные ковры. Входишь в лес, будто в лесное царство, кажется, что сейчас, как в сказке появится Баба – Яга и Леший. Идешь полем и вдыхаешь ароматы цветов. Какая красота!
Ромашки, одуванчики, васильки, иван-чай – всего не перечислишь, что можно встретить в наших лесах. Но так жалко, что эту красоту мы губим. Нам часто говорят, что человек – хозяин природы. А ведь хозяин бережет своё богатство?! А наш поселок богат не только лесами, полезными ископаемыми, пушниной, рыбой, но и еще интересными и хорошими людьми, которым не безразлично будущее нашего края.
Мне вспомнились слова: «…воспитай в себе жалость к сломанному дереву, к одичавшей, брошенной собаке…Боль «меньшего брата» прими как свою». Я думаю, что надо беречь и любить природу родного края, учиться радоваться ей, сохранять и приумножать её для последующих поколений. Ведь тогда край, в котором мы живём, будет развиваться и процветать в будущем.
Пусть в нашей Республике, в нашем посёлке никогда не умолкнут голоса птиц, пусть шумят леса, пусть природа живёт и дышит, и радует нас ещё много-много лет. Тогда мир будет в душе каждого из нас.
Я верю в это.

Маренков Роман, ученик 4 класса

Будущее моей родины.

Будущее моей Родины – это мы – дети.
Когда мы вырастем, мы будем строителями, врачами, учителями, президентами, и мы будем создавать будущее сами, и, именно, от нас зависит, каким оно будет.
Мы будем строить новые красивые дома, изобретать
полезную технику, растить здоровых детей, беречь нашу
природу.
Мы мечтаем о том, чтобы наши поселки и города были чистыми, и в них было много цветов, чтобы все дети были счастливые и имели много игрушек, чтобы люди не болели и жили долго- долго и счастливо.
Мы мечтаем и верим, что наши мечты сбудутся.
Чтобы наше будущее было таким, уже сейчас мы стараемся хорошо учиться, много узнать. Мы изучаем иностранный языки и учимся работать на компьютере, мы участвуем в научных конференциях и разных олимпиадах. Мы приобретаем знания и умения, чтобы быть полезными нашей Родине.

Белехова Таня, ученица 7 класса

Мой родной край.

Якутия – это замечательная Республика, которой много лет. Она образовалась много веков назад. Народ Якутии известен с древнейших времён. У нее славная и богатая история.
В нашей республике проживают многие народы. Каждый народ вносит в культуру Якутии что-то своё неповторимое и уникальное, именно из-за этого она так многогранна и многолика. Якутия стала им родным домом. Неотъёмной частью каждого народа является его язык. Он является духовной ценностью и моего народа. Каждый из нас должен быть благодарным своему народу за родной язык. Ведь на нем, родном, каждый из нас произносит первые слова: мать, отец (ийэ, а5а). Якутия является частичкой огромной и необъятной Российской Федерации. Республика тесно связана узами дружбы, союза и братства с другими республиками, областями. Эту тесную связь можно наблюдать на примере различных межрегиональных спортивных состязаний, которые проводятся довольно часто на территории нашей республики.
Но нельзя не упомянуть о традициях, существующих у якутов. Раньше якуты были язычниками, и поэтому такое большое количество обычаев дошло до наших дней, хотя и с изменениями. Любой обрядовый праздник у якутов – это всегда ярко, красочно и интересно, а главное, захватывает полностью, ты становишься частью всего действия на протяжении обряда.
Якутия – моя малая родина, она является родиной всех народов, проживающих на ее территории. И я, и все, кто живет здесь, хотим, чтобы наша родина процветала, преображалась.
Мой родной край очень красив и прекрасен в любое время года. Зима долгая холодная, но и в этом есть свои плюсы: можно кататься на санках, лыжах, играть в снежки. Весной необыкновенно красиво. Бегут ручьи, на проталинах распускаются подснежники, лопаются почки на деревьях, птицы поют от зари и до зари. Вслед за весной приходит мое любимое время года – лето. Летом самые светлые дни в году. Летом тепло, вокруг много зелени. В лесах поспевают грибы, созревает ягода. Осенью наоборот – буйство ярких красок. Листья опадают, деревья теряют свой наряд. Яркие краски сменяются серыми тонами. Закончится листопад, и на землю ляжет первый снег. Мы ждем прихода новой зимы. Природа в моём крае замечательная! Я её очень люблю!
Свое сочинение мне хотелось бы закончить такими строками:
Якутия моя – один лишь край России,
И распростерся он, могучий и широкий,
С зеленою тайгой и морем темно-синим
Далеко-далеко на северо-востоке.
В Якутии рассвет, что хвост лисицы красный,
А вечера ее – как соболи – вот говорю, край у нас – здоровый,
Что лучше края нет и нет его щедрей. (Л.Попов)

Билюшов Анатолий, ученик 6? класса

Моя Родина – Якутия!

Моя родина – Саха Якутия, снежный край, имеющий множество богатств и невообразимую красоту, которую не встретишь больше нигде.
Якутия – это олени на пастбищах, северное сияние, кумыс, Ысыах, Ленские столбы, тайга, морозные зимы и горячие сердца людей.
Что же сейчас собой представляет современная Якутия? Ни для кого не секрет, что наша республика является главным поставщиком алмазов, золота, но это далеко не все, в чем Якутия успешна. На данном этапе развития республика добилась больших успехов. Большие надежды подает не только ее экономическое развитие, но и культурное, активно развивается спорт.
По всей Якутии проводятся спортивные соревнования, которые уже принесли первые плоды. Наши спортсмены, в том числе и школьники, участвуют не только в республиканских соревнованиях, но и в соревнованиях на уровне России. И без ложной скромности нужно заметить, что наши спортсмены имеют прекрасные результаты: примером послужат спортивные соревнования по дзюдо, проходившие в городе Анапа в 2006 году.
Так же идет строительство памятников культуры нашей республики, часть из которых посвящена 375-летию вхождения Якутии в состав России. Среди молодежи проходят различные программы по борьбе с наркотиками и алкоголизмом, а так же мероприятия по охране природы.
Республика Саха достигла немалых успехов в развитии новейших технологий в различных отраслях. Ярким примером является телеканал НВК. На этом канале можно увидеть не только информационные программы, но и познавательно-развлекательные, что вносит свой вклад в культурное развитие молодежи.
Не забываются и традиции Республики. Ежегодно проводятся национальные праздники, такие, как «Ысыах». Народное творчество, а именно сказки земли Олонхо, переведены на русский язык. Не менее успешны ансамбли, которые добились известности не только в пределах Российской Федерации, но и за границей. Больших успехов добиваются и молодые артисты, например, воспитанница Алданской гимназии, ученица седьмого класса Ирина Мирор, заняла второе место в конкурсе «Русская калинка», проходившем в Египте.
В Якутии развивается туризм. Одними из главных мест, посещаемых туристами, являются Ленские столбы и Музей драгоценных металлов.
Сегодня Якутия является одним из главных деловых партнеров Российской Федерации. И нет никаких сомнений, что у нашей Республики есть будущее!

Лунёва Екатерина, ученица 10 класса

Якутия – Родина моя!

У меня есть Родина, и я ее люблю.
Свой рассказ о Родине сейчас я Вам дарю.
Якутию родную сейчас представлю Вам,
И в гости приглашаю, на крайний север, к нам.
Необъятна наша Родина, наша Россия. И у каждого человека есть своя Родина: малая и большая. Вы спросите «Что такое Родина?» Малая Родина – это место, где ты родился, твои родители, где жили твои бабушка и дедушка, это – улица, дом, где ты живешь. Это – тайга, где ты собираешь грибы и ягоды. Это – речки и озера, в которых ты купаешься. Это – твой поселок, где ты учишься в гимназии или школе, или посещаешь детский сад. А большая Родина – это наша Республика Саха, что значит Якутия. Конечно, кто живёт в других странах и республиках, считает, что его родина – самая лучшая, но для каждого человека то место, где он родился, которое он помнит и любит и есть лучшее.
По-разному воспринимают Якутию люди, которые не были никогда здесь. Но одно могу сказать, что Якутия – одна из богатейших регионов нашей страны.
В разных местах добывают полезные ископаемые: в одних местах уголь, в других – нефть, в-третьих – газ и так далее. А в нашей республике добывают и уголь, и нефть, и золото и даже алмазы. Но не только полезными ископаемыми знаменита наша Якутия. А славится она еще пушниной, ювелирными изделиями.
В нашей республике большие таежные леса. Поэтому не удивительно, что в республике Саха произрастает свыше пяти тысяч различных растений. Это лекарственные растения, такие как толокнянка, тысячелистник, череда, пижма и другие. А сколько ягод в лесу. Это – брусника, голубика и черника, красная и черная смородина, земляника и малина.
Мои друзья, которые живут в других городах, спрашивают меня «А красива ли твоя Якутия?» «О, да!», – отвечаю им я. И начинаю рассказывать, как прекрасна природа нашего края в любое время года. Зимой белый снег блестит на солнце, как золото и алмазы Якутии. Весной раскрываются почки, появляются первые листочки и подснежники. С холмов бегут весёлые ручейки, просыпаются звери и птицы. Летом можно увидеть множество белых, розовых или желтых полянок. Это цветут ромашки, иван-чай и лютики, а над ними порхают разноцветные бабочки, приветливо шелестят берёзы и осины. А осень в Якутии – удивительная пора. Лес «разукрашен» в самые яркие краски желтого, оранжевого, красного и багрового цветов.
В нашей республике живут люди разных национальностей – якуты и русские, татары и эвенки, украинцы и казахи и многие другие. Здесь они работают и отдыхают, учатся и дружат, заводят семьи и рожают детей. все они добрые, отзывчивые и трудолюбивые.
Я очень люблю свою республику, мою Якутию, потому что здесь я родилась, здесь выросла моя мама, здесь живет моя семья. Я еще не знаю, как сложится моя жизнь, я еще учусь только в третьем классе. Но когда я окончу гимназию, потом университет, я бы хотела вернуться на свою Родину, в свою любимую Якутию, чтобы здесь жить, работать и создать свою семью. И я точно знаю, что Якутия меня обязательно примет.!

Харько Яна, ученица 6 класса

Сочинение о маме.

Однажды секретный агент получил задание разыскать человека с фантастическими способностями.
Досье было у него в руках. Он открыл папку, прочитал и вздохнул:
«Это невозможно! Никто не может столько уметь!»
Первый пункт: Пробегает по дому 4 километра в день.
-Может, это спортсмен? – подумал секретный агент.- Немедленно лечу на спортивные соревнования!
Через некоторое время он уже мчался по беговой дорожке, пытаясь догнать олимпийского чемпиона.
-Подождите, я нашел вас! Вы – супергерой!
-Я просто хорошо бегаю,- скромно улыбнулся спортсмен.
-А готовить вы умеете?- с надеждой спросил агент, заглянув в досье.
-Нет,- удивился спортсмен.
– Извините. Наверное, мне нужен повар.
Второй пункт: Готовит по 12 часов в неделю и моет 96 килограммов посуды.
И агент отправился в ресторан, чтобы пообедать, а заодно допросить повара.
-Ну, что вы!- засмеялся повар.- Какой же я суперчеловек? Готовлю, я и, правда, много. Но посуду я не мою.
-Опять неудача,- подумал агент.- Нужный мне человек готовит и моет посуду, и бегает, и первую помощь оказывает. Может, это доктор?
Третий пункт: Обладает отличными способностями к следственной и розыскной работе.
На углу как раз стояла больница.
-Нет,- сказал врач, прочитав описание супергероя.- Вам нужен другой человек. Посмотрите в третий пункт.
-Ну конечно!- Воскликнул секретный агент.- Мне нужен Шерлок Холмс!
И вдруг секретный агент услышал строгий голос:
-Опять бегал, как угорелый? В фонтане купался? А что ел? Чипсы с газировкой?
Перед ним стояла мама. И тут агента осенило: вот, кто мне нужен! Конечно, мама!
Она и готовит, и лечит боевые раны, и по магазинам бегает! Супермама! Такая же, как и у тебя!

Белехова Таня, ученица 7 класса

МАМА

Маму очень я люблю,
Я ей душу отдаю.
Мама, живи век,
ты самый лучший человек!
Очень ты красивая!
Самая любимая!
Очень уважаемая,
Взглядом провожаемая…,
Ты меня кормила,
Ты меня растила,
Ты меня качала,
И в школу провожала…,
Если б не было тебя,
Не было бы и меня,
Я тебя благодарю,
И любовь тебе дарю!!!

Чирков Валера, ученик 7 класса

Я ЛЮБЛЮ ТЕБЯ

Здравствуй, моя, мама!
Я люблю тебя!
Ты – красавица,
Да и жизнь моя.
Знаешь, моя мама,
Как люблю тебя?
Больше всех на свете
Я люблю тебя!
Я бы свою жизнь
За тебя отдал,
Чтобы ты подольше
Дольше прожила.
Я люблю тебя!
Потому что моя мама!
Мне больше всех нужна
Я люблю тебя!
Моя мама лучше всех,
Её ждет большой успех!

Комаров Илья, ученик 7 класса

Источник

МАТЕМАТИКА – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира; греческое слово (математикэ) происходит от греческого же слова (матема), означающего «знание», «наука».

Математика возникла в глубокой древности из практических потребностей людей. Её содержание и характер изменялись на протяжении всей истории и продолжают изменяться теперь. От первичных предметных представлений о целом положительном числе, а также от представления об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками математика прошла длительный путь развития, прежде чем стала абстрактной наукой со специфическими методами исследования.

Современное понимание пространственных форм весьма широко. Оно включает в себя наряду с геометрическими объектами трехмерного пространства (прямая, круг, треугольник, конус, цилиндр, шар и пр.) также многочисленные обобщения – понятия многомерного и бесконечномерного пространства, а также геометрических объектовв них и многое другое. Точно так же количественные отношения выражаются теперь не только целыми положительными или рациональными числами, но и при помощи комплексных чисел, векторов, функций
и пр. Развитие науки и техники заставляет математику непрерывно расширять представления о пространственных формах и количественных отношениях.

Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для данного круга явлений и предметов. Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 2 не связано неразрывно с каким-либо определенным предметным содержанием. Оно может относиться и к двум яблокам, и к двум книгам, и к двум мыслям. Оно одинаковохорошо относится ко всем этим и бесчисленному множеству других объектов. Точно также геометрические свойства шара не меняются оттого, что он сделан из стекла, стали или стеарина. Конечно, абстрагирования от свойств предмета обедняет наши знания о данном предмете, о его характерных материальных особенностях. В тоже время именно это отвлечение от особых свойств индивидуальных объектов придаёт общность понятиям, делает возможным применение математики к самым разнообразным по материальной природе явлениям. Таким образом, одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут достаточно удовлетворительно применяться к описанию явлений природы, технического, а так же экономического и социальных процессов.

Абстрактность понятий не является исключительной особенностью математики; любые научные и общие понятия носят в себе элемент отвлечения от свойств конкретных вещей. Но в математике процесс абстрагирования идет дальше, чем в естественных науках; в математике широко используется процесс построения абстракции разных ступеней. Так, понятие группы
возникло путем отвлечения от некоторых свойств совокупности чисел и других абстрактных понятий. Для математики является характерным так же способ получения её результатов. Если естествоиспытатель для доказательства своих положений постоянно прибегает к опыту, то математик доказывает свои результаты только посредством логических рассуждений. В математике не один результат не может считаться доказанным, пока ему не надо логическое доказательство, и это даже в том случае, если специальные эксперименты давали подтверждение этого результата. В то же время истинность математических теорий так же проходит проверку практикой, но это проверка носит особый характер: основные понятия математики образуются в результате длительной кристаллизации их из частных запросов практики; сами правила логики выработались лишь после тысячелетий наблюдений за течением процессов в природе; формулировки теорем и постановке задач математики так же возникают из запросов практики. Математика возникла из практических нужд, и её связи с практикой со временем становились всё более и более многообразными и глубокими.

В принципе математика может быть применена к изучению любого типа движения, самых разнообразных явлений. В действительности же её роль в различных областях научной и практической деятельности не одинакова. Особенно велика роль математики в развитии современной физики, химии, многих областей техники, вообще при изучении тех явлений, где даже значительная отвлечение от специфически качественных их особенностей позволяет достаточно точно уловить количественные и пространственные закономерности, свойственные им. Для примера- математическое изучение движение небесных тел, основанная на значительных отвлечениях от их реальных особенностей (тела, например, считается материальными точками), приводила и приводит к прекрасному совпадению с реальным их движением. На этой базе удается не только заблаговременно предвычислять небесные явления (затмения, положения планет и др.), но и по отклонениям истинных движений от вычисленных предсказывать существование планет, не наблюдавшихся ранее (таким путем были открыты Плутон в 1930, Нептун в 1846). Меньшее, но все же значительное место занимает математика в таких науках, как экономика, биология, медицина. Качественное своеобразие явлений, изучаемых в этих науках, настолько велико и так сильно влияет на характер их течения, что математический анализ пока может играть лишь подчиненную роль. Особое же значение для социальных и биологических наук приобретает математическая статистика.
Сама математика так же развивается под влиянием требований естествознания, техники, экономики. Да же за последние годы образовался ряд математических дисциплин, возникших на базе запросов практики: информации теория, игр теория
и др.

Понятно, что переход от одной ступени познания явлений к следующей, более точной, предъявляет к математике новые требования и приводит к созданию новых понятий, новых методов исследования. Так, требования астрономии, переходивший от чисто описательного знания к точному, привели к выработке основных понятий тригонометрии
: во 2 веке до н.э. древнегреческий ученый Гиппарх составил таблицы хорд, соответствующие современным таблицам синусов; древнегреческие ученые в 1 веке Менелай и во 2 веке Клавдий Птолемей создали основы сферической тригонометрии.
Повышенный интерес к изучению движения вызванный к жизни развития мануфактурного производства, мореплавания, артиллерии и др., привёл в 17 веке к созданию понятий математического анализа
, развитию новой математики. Широкое внедрение математических методов в изучении явлений природы (прежде всего астрономических и физических) и развитии техники (в особенности машиностроения) привели в 18 и 19 веках к бурному развитию теоретической механики и теории дифференциальных уравнений.
Развитие идей молекулярного строения материи вызвало стремительное развитие вероятностей теории
. В настоящее время мы можем прослеживать на множестве примеров появление новых направлений математических исследований. Особенно значительными нужно признать успехи вычислительной математики

и вычислительной техники и производимой ими преобразования многих разделов математики.

Исторический очерк. В истории математики можно наметить четыре периода с существенно качественными отличиями. Эти периоды трудно точно разделить, так как каждый последующий развивался внутри предыдущего и поэтому имелись довольно значительные переходные этапы, когда новые идеи только зарождались и не стали ещё руководящими ни в самой математике, ни в её приложениях.

Период зарождения математики как самостоятельной научной дисциплины; начало этого периода теряется в глубине истории; продолжался он приблизительно до 6-5 веков до н. э.

Период элементарной математики, математики постоянных величин; он продолжался приблизительно до конца 17 века, когда довольно далеко зашло развитие новой, «высшей», математики.

Период математики переменных величин; характеризуется созданием и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении, развитии.

Период современной математики; характерен сознательным и систематическим изучением возможных типов количественных отношений и пространственных форм. В геометрии изучаются не только реальное трёхмерное пространство, но и сходныес ним пространственные формы. В математическом анализе рассматриваются переменные величины, зависящие не только от числового аргумента, но и от некоторой линии (функции), что приводит к понятиям функционала
и оператора
. Алгебра
превратилась в теорию алгебраических операций над элементами произвольной природы. Лишь бы над ними можно было производить эти операции. Начало этого периода естественно отнести к 1-й половине 19 века.

В Древнем мире математические сведения входили первоначально в виде неотъемлемой составной части в познания жрецов и государственных чиновников. Запас этих сведений, как об этом можно судить по уже расшифрованным глиняным вавилонским табличкам и египетским математическим папирусам,
был сравнительно велик. Имеются данные, что за тысячу лет до древнегреческого учёного Пифагора в Двуречье не только была известна теория Пифагора, но и была разрешена задача о разыскании всех прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Однако подавляющая часть документов того времени представляет собой сборники правил для производства простейших арифметических действий, а также для вычисления площадей фигур и объёмов тел. Сохранились также таблицы разного рода для облегчения этих расчётов. Во всех руководствах правила не формулируются, а поясняются на частых примерах. Превращение математики в формализованную науку с оформившимся дедуктивным методом построения произошло в Древней Греции. Там же математическое творчество перестало быть безымянным. Практическая арифметика и геометрия
в Древней Греции имели высокий уровень развития. Начало греческой геометрии связывается с именем Фалеса Милетского (конец 7 века до н.э. -начало 6 века до н.э.) вывезшего первичные знания из Египта. В школе Пифагора Самосского (6 век до н.э.) изучалась делимость чисел, были просуммированы простейшие прогрессии, изучались совершенные числа, введены в рассмотрение различные типы средних (среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое), вновь найдены пифагоровы числа (тройки целых чисел, могущих быть сторонами прямоугольного треугольника). В 5-6 веках до н.э. возникли знаменитые задачи древности -квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, были построены первые иррациональные числа. Первый систематический учебник геометрии приписывается Гиппократу Хиосскому (2-я половина 5 века до н.э.). К этому же времени относится значительный успех платоновской школы, связанный с попытками рационального объяснения строения материи Вселенной, -разыскание всех правильных многогранников. На границе 5 и 4 веков до н.э. Демокрит, исходя из атомистических представлений, предложил метод определения объёмов тел. Этот метод можно считать прообразам метода бесконечно малых. В 4 веке до н.э. Евдоксом Книдским была разработана теория пропорций. Наибольшей напряжённостью математического творчества отличается 3 век до н.э. (1 век так называемой Александрийской эпохи). В 3 веке до н.э. работали такие математики, как Евклид, Архимед, Аполлоний Пергский, Эратосфен; позднее – Герон (1 век н.э.) Диофант (3 век). В своих «Началах» Евклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения в области геометрии; вместе с тем он заложил основы теории чисел. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов. Диофант исследовал преимущественно решение уравнений в рациональных положительных числах. С конца 3 века начался упадок греческой математики.

Значительного развития достигла математика в древних Китае и Индии. Китайским математикам свойственны высокая техника производства вычислений и интерес к развитию общих алгебраических методов. Во 2-1 веках до н.э. была написана «Математики в девяти книгах». В ней имеются те самые приёмы извлечения квадратного корня, которые излагаются и в современной школе: методы решения систем линейных алгебраических уравнений, арифметическая формулировка теоремы Пифагора.

Индийской математике, расцвет которой относится к 5-12 векам, принадлежит заслуга употребления современной десятичной нумерации, а также нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда, и заслуга значительно более широкого, чем у Диофанта, развития алгебры, оперирующей не только с положительными рациональными числами, но также с отрицательными и иррациональными числами.

Арабские завоевания привели к тому, что от Средней Азии до Пиренейского полуострова учёные в течение 9-15 веков пользовались арабским языком. В 9 веке среднеазиатский учёный аль- Хорезми впервыеизложил алгебру как самостоятельную науку. В этот период многие геометрические задачи получили алгебраическую формулировку. Сириец аль- Баттани ввёл в рассмотрение тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс.Самаркандский учёный аль- Каши (15 век) ввел в рассмотрение десятичные дроби и дал систематическое изложение, сформулировал формулу бинома Ньютона.

Существенно новый период в развитии математики начался в 17 веке, когда в математику ясно вошла идея движения, изменения. Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функций, производной и интеграла Дифференциальное исчисление, Интегральное исчисление, к возникновению новой математической дисциплины – математического анализа.

С конца 18 века – начала 19 века в развитии математики наблюдается ряд существенно новых черт. Наиболее характерной из них был интерес к критическому пересмотру ряда вопросов обоснования математики. На смену туманным представлениям о бесконечно малых пришли точные формулировки, связанные с понятием предела.

В алгебре в 19 веке был выяснен вопрос о возможности решения алгебраических уравнений в радикалах (норвежский ученый Н.Абель, французский ученый Э.Галуа).

В 19-20 веках численные методы математики вырастают в самостоятельную ветвь — вычислительную математику. Важные приложения к новой вычислительной технике нашла развивавшаяся в 19-20 веках ветвь математики- математическая логика.

Материал подготовлен Лещенко О.В., учителем математики.

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики.

Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα
, что означает изучение
, знание
, наука
, и др.-греч. μαθηματικός
, первоначально означающего восприимчивый, успевающий
, позднее относящийся к изучению
, впоследствии относящийся к математике
. В частности, μαθηματικὴ τέχνη
, на латыни ars mathematica
, означает искусство математики
. Термин др.-греч. μᾰθημᾰτικά
в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV век до н. э.). По мнению Фасмера в русский язык слово пришло либо через польск. matematyka
, либо через лат. mathematica
.

Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт:

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина

Обозначения

Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также потребностей возникших позднее разделов математики — математического анализа, математической логики, теории множеств и др. Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.

Краткая история

Философия математики

Цели и методы

Пространство
R
n
{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
, при
n
>
3
{displaystyle n>3}
является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях
».

Основания

Интуиционизм

Конструктивная математика

прояснить

Основные темы

Количество

Основной раздел, рассматривающий абстракцию количества — алгебра. Понятие «число» первоначально зародилось из арифметических представлений и относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно, с помощью алгебры, было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

1
,
−
1
,
1
2
,
2
3
,
0
,
12
,
…
{displaystyle 1,;-1,;{frac {1}{2}},;{frac {2}{3}},;0{,}12,;ldots }
Рациональные числа
1
,
−
1
,
1
2
,
0
,
12
,
π
,
2
,
…
{displaystyle 1,;-1,;{frac {1}{2}},;0{,}12,;pi ,;{sqrt {2}},;ldots }
Вещественные числа
−
1
,
1
2
,
0
,
12
,
π
,
3
i
+
2
,
e
i
π
/
3
,
…
{displaystyle -1,;{frac {1}{2}},;0{,}12,;pi ,;3i+2,;e^{ipi /3},;ldots }

1
,
i
,
j
,
k
,
π
j
−
1
2
k
,
…
{displaystyle 1,;i,;j,;k,;pi j-{frac {1}{2}}k,;dots }
Комплексные числа Кватернионы

Преобразования

Явления преобразований и изменений в самом общем виде рассматривает анализ.

Структуры

Пространственные отношения

Основы пространственных отношений рассматривает геометрия. Тригонометрия рассматривает свойства тригонометрических функций. Изучением геометрических объектов посредством математического анализа занимается дифференциальная геометрия. Свойства пространств, остающихся неизменными при непрерывных деформациях и само явление непрерывности изучает топология.

Дискретная математика

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) {displaystyle forall x(P(x)Rightarrow P(x»))}

Математика возникла очень давно. Человек собирал фрукты, выкапывал плоды, ловил рыбу и запасал все это на зиму. Чтобы понять, сколько запасено пищи человек изобрел счет. Так начала зарождаться математика.

Затем человек стал заниматься земледелием. Надо было измерять участки земли, строить жилища, измерять время.

То есть человеку стало необходимо использовать количественное отношение реального мира. Определить сколько собрали урожая, каковы размеры участка под застройку или как велик участок неба, на котором определенное количество ярких звезд.

Кроме того, человек стал определять формы: солнце круглое, короб квадратный, озеро овальное, и как эти предметы располагаются в пространстве. То есть человек стал интересоваться пространственными формами реального мира.

Таким образом, понятие математика

можно определить как науку о количественных отношениях и пространственных формах реального мира.

В настоящее время нет ни одной профессии, где бы можно было бы обойтись без математики. Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, которого назвали «королем математики» как-то сказал:

«Математика – царица наук, арифметика – царица математики».

Слово «арифметика» происходит от греческого слова «арифмос» – «число».

Таким образом, арифметика

это раздел математики, изучающий числа и действия над ними.

В начальной школе, прежде всего, изучают арифметику.

Как же развивалась эта наука, давайте, исследуем этот вопрос.

Период зарождения математики

Основным периодом накопления математических знаний считается время до V века до нашей эры.

Первым, кто стал доказывать математические положения – древнегреческий мыслитель, живший в VII веке до нашей эры предположительно 625 – 545 года. Этот философ путешествовал по странам востока. Предания говорят, что он учился у египетских жрецов и вавилонских халдеев.

Фалес Милетский принес из Египта в Грецию первые понятия элементарной геометрии: что такое диаметр, чем определяется треугольник и так далее. Он предсказал солнечное затмение, проектировал инженерные сооружения.

В этот период постепенно складывается арифметика, развивается астрономия, геометрия. Зарождается алгебра и тригонометрия.

Период элементарной математики

Это период начинается с VI до нашей эры. Теперь математика возникает как наука с теориями и доказательствами. Появляется теория чисел, учение о величинах, об их измерении.

Наиболее известным математиком этого времени является Евклид. Он жил в III веке до нашей эры. Этот человек является автором первого из дошедших до нас теоретического трактата по математике.

В трудах Евклида даны основы, так называемой евклидовой геометрии – это аксиомы, упирающиеся на основные понятия, такие как.

В период элементарной математики зарождается теория чисел, а также учение о величинах и их измерении. Впервые появляются отрицательные и иррациональные числа.

В конце этого периода наблюдается создание алгебры, как буквенного исчисления. Сама наука «алгебра» появляется у арабов, как наука о решении уравнений. Слово «алгебра» в переводе с арабского означает «восстановление», то есть перенос отрицательных значений в другую часть уравнения.

Период математики переменных величин

Основоположником этого периода считается Рене Декарт, живший в XVII веке нашей эры. В своих трудах Декарт впервые вводит понятие переменной величины.

Благодаря этому ученые переходят от изучения постоянных величин к изучению зависимостей между переменными величинами и к математическому описанию движения.

Наиболее ярко этот период охарактеризовал Фридрих Энгельс, в своих трудах он писал:

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает, и, которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем».

Период современной математики

В 20 годах XIX века Николай Иванович Лобачевский становится основоположником, так называемой неевклидовой геометрии.

С этого момента начинается развитие важнейших разделов современной математики. Такие как теория вероятности, теория множеств, математическая статистика и так далее.

Все эти открытия и исследования находят обширное применение в самых разных областях науки.

И в настоящее время наука математика бурно развивается, расширятся предмет математики, включая новые формы и соотношения, доказываются новые теоремы, углубляются основные понятия.

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα
(máthēma
), что означает изучение
, знание
, наука
, и др.-греч. μαθηματικός
(mathēmatikós
), первоначально означающего восприимчивый, успевающий
, позднее относящийся к изучению
, впоследствии относящийся к математике
. В частности, μαθηματικὴ τέχνη
(mathēmatikḗ tékhnē
), на латыни ars mathematica
, означает искусство математики
.

Определения

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ, данное А. Н. Колмогоровым:

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,- именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Современная теоретическая («чистая») математика — это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов.

Математика — наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований.

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина
подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия
теория элементарных функций и элементы анализа

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification . Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010 . Предыдущая версия — MSC 2000 .

Обозначения

Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.

Краткая история

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство » до пространства n-измерений. «Пространство, при является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях
».

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения [прояснить
] . Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным
». Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.

Основные темы

Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

Целые числа Рациональные числа Вещественные числа Комплексные числа Кватернионы

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа () Целые () Рациональные () Алгебраические () Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные () Комплексные () Кватернионы () Числа Кэли (октавы, октонионы) () Седенионы () Альтернионы Процедура Кэли — Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ. )
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион

Преобразования

Дискретная математика

Коды в системах классификации знаний

Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma .

См. также

Популяризаторы науки

Примечания

Энциклопедия Britannica
Webster’s Online Dictionary
Глава 2. Математика как язык науки. Сибирский открытый университет. Архивировано из первоисточника 2 февраля 2012. Проверено 5 октября 2010.
Большой древнегреческий словарь (αω)
Словарь русского языка XI-XVII вв. Выпуск 9 / Гл. ред. Ф. П. Филин. — М.: Наука, 1982. — С. 41.
Декарт Р.
Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.
См.: Математика БСЭ
Маркс К., Энгельс Ф.
Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.
Бурбаки Н.
Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
Казиев В. М.
Введение в математику
Мухин О. И.
Моделирование систем Учебное пособие. Пермь: РЦИ ПГТУ.
Герман Вейль
// Клайн М.
. — М.: Мир, 1984. — С. 16.
Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 01.01.00. «Математика». Квалификация — Математик. Москва, 2000 (Составлено под руководством О. Б. Лупанова)
Номенклатура специальностей научных работников, утверждённая приказом Минобрнауки России от 25.02.2009 № 59
УДК 51 Математика
Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.
http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
Например: http://mathworld.wolfram.com

Литература

Энциклопедии

// Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб.
, 1890-1907.
Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
Кондаков Н. И.
Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.
Энциклопедия математических наук и их приложений (нем.)
1899-1934 гг. (крупнейший обзор литературы XIX века)

Справочники

Г. Корн, Т. Корн.
Справочник по математике для научных работников и инженеров М., 1973 г.

Книги

Клайн М.
Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984.
Клайн М.
Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.
Клейн Ф.
Элементарная математика с точки зрения высшей.

Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ М.: Наука, 1987. 432 с.
Том II. Геометрия М.: Наука, 1987. 416 с.

Курант Р. , Г. Роббинс.
Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.
Писаревский Б. М., Харин В. Т.
О математике, математиках и не только. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. — 302 с.
Пуанкаре А.
Наука и метод (рус.)
(фр.)

Математика — одна из древнейших наук. Дать краткое определение математики совсем не просто, его содержание будет очень сильно меняться в зависимости от уровня математического образования человека. Школьник начальных классов, только приступивший к изучению арифметики, скажет, что математика изучает правила счета предметов. И он будет прав, поскольку именно с этим он знакомится на первых порах. Школьники постарше добавят к сказанному, что в понятие математики входят алгебра и изучение геометрических объектов: линий, их пересечений, плоских фигур, геометрических тел, разного рода преобразований. Выпускники же средней школы включат в определение математики еще изучение функций и действие перехода к пределу, а также связанные с ним понятия производной и интеграла. Выпускников высших технических учебных заведений или естественнонаучных факультетов университетов и педагогических институтов уже не удовлетворят школьные определения, поскольку они знают, что в состав математики входят и другие дисциплины: теория вероятностей, математическая статистика, дифференциальное исчисление, программирование, вычислительные методы, а также применения названных дисциплин для моделирования производственных процессов, обработки опытных данных, передачи и обработки информации. Однако и тем, что перечислено, не исчерпывается содержание математики. Теория множеств, математическая логика, оптимальное управление, теория случайных процессов и многое другое также входят в её состав.

Попытки определить математику путем перечисления составляющих её ветвей уводят нас в сторону, поскольку не дают представления о том, что же именно изучает математика и каково её отношение к окружающему нас миру. Если бы подобный вопрос был задан физику, биологу или астроному, то каждый из них дал бы весьма краткий ответ, не содержащий перечисления частей, из которых состоит изучаемая ими наука. Такой ответ содержал бы указание на явления природы, которые она исследует. Например, биолог заявил бы, что биология изучает различные проявления жизни. Пусть этот ответ не вполне закончен, поскольку в нем не говорится, что такое жизнь и жизненные явления, но тем не менее такое определение дало бы достаточно полное представление о содержании самой науки биологии и о разных уровнях этой науки. И это определение не изменилось бы с расширением наших знаний по биологии.

Не существует таких явлений природы, технических или социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Каждая естественнонаучная дисциплина: биология и физика, химия и психология — определяется материальной особенностью своего предмета, специфическими чертами той области реального мира, которую она изучает. Сам предмет или явление может изучаться разными методами, в том числе и математическими, но, изменяя методы, мы все же остаемся в пределах данной дисциплины, поскольку содержанием данной науки является реальный предмет, а не метод исследования. Для математики же материальный предмет исследования не имеет решающего значения, важен применяемый метод. Например, тригонометрические функции можно использовать и для исследования колебательного движения, и для определения высоты недоступного предмета. А какие явления реального мира можно исследовать с помощью математического метода? Эти явления определяются не их материальной природой, а исключительно формальными структурными свойствами, и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они существуют.

Итак, математика изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта исследования, которые позволяют применять к нему некоторые операции (суммирование, дифференцирование и др.). Однако значительная часть математических проблем, понятий и теорий имеет своим первичным источником реальные явления и процессы. Например, арифметика и теория чисел выделились из первичной практической задачи — подсчета предметов. Элементарная геометрия имела своим источником проблемы, связанные со сравнением расстояний, вычислением площадей плоских фигур или же объемов пространственных тел. Все это требовалось находить, поскольку необходимо было перераспределять земельные участки между пользователями, вычислять размеры зернохранилищ или же объемы земляных работ при строительстве оборонных сооружений.

Математический результат обладает тем свойством, что его можно не только применять при изучении какого‑то одного определенного явления или процесса, но и использовать для исследования других явлений, физическая природа которых принципиально отлична от ранее рассмотренных. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и в технических вопросах, и при решении задач сельского хозяйства, и в научных исследованиях. Арифметические правила были разработаны тысячелетия назад, но прикладную ценность они сохранили на вечные времена. Арифметика представляет собой составную часть математики, её традиционная часть уже не подвергается творческому развитию в рамках математики, но она находит и будет в дальнейшем находить многочисленные новые применения. Эти применения могут иметь огромное значение для человечества, но вклада собственно в математику они уже не внесут.

Математика, как творческая сила, имеет своей целью разработку общих правил, которыми следует пользоваться в многочисленных частных случаях. Тот, кто создает эти правила, создает новое, творит. Тот, кто применяет уже готовые правила, в самой математике уже не творит, но, вполне возможно, создает с помощью математических правил новые ценности в других областях знания. Например, в наши дни данные дешифровки космических снимков, а также сведения о составе и возрасте горных пород, геохимических и геофизических аномалиях обрабатываются с помощью компьютеров. Несомненно, что применение компьютера в геологических исследованиях оставляет эти исследования геологическими. Принципы же работы компьютеров и их математическое обеспечение разрабатывались без учета возможности их использования в интересах геологической науки. Сама эта возможность определяется тем, что структурные свойства геологических данных находятся в соответствии с логикой определенных программ работы компьютера.

Получили широкое распространение два определения математики. Первое из них было дано Ф. Энгельсом в работе «Анти‑Дюринг», другое — группой французских математиков, известной под именем Никола Бурбаки, в статье «Архитектура математики» (1948).

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это определение не только описывает объект изучения математики, но и указывает его происхождение — действительный мир. Однако, это определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те её новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием. Поэтому данное определение нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.

Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». Иначе говоря, математику следует определить как науку о математических структурах. Это определение в сущности является тавтологией, поскольку оно утверждает только одно: математика занимается теми объектами, которые она изучает. Другой дефект этого определения состоит в том, что оно не выясняет отношения математики к окружающему нас миру. Более того, Бурбаки подчеркивают, что математические структуры создаются независимо от реального мира и его явлений. Вот почему Бурбаки были вынуждены заявить, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого… и, быть может, мы их никогда не узнаем».

Из определения Ф. Энгельса не может возникнуть подобного разочаровывающего вывода, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира. Эти понятия берутся из реального мира и с ним связаны. В сущности, именно этим и объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, а вместе с тем и успех процесса математизации знаний.

Математика не является исключением из всех областей знания — в ней также образуются понятия, возникающие из практических ситуаций и последующих абстрагирований; она позволяет изучать действительность также приближенно. Но при этом следует иметь в виду, что математика изучает не вещи реального мира, а абстрактные понятия и что логические её выводы абсолютно строги и точны. Её приближенность носит не внутренний характер, а связана с составлением математической модели явления. Заметим еще, что правила математики не обладают абсолютной применимостью, для них также существует ограниченная область применения, где они господствуют безраздельно. Поясним высказанную мысль примером: оказывается, что два и два не всегда равно четырем. Известно, что при смешивании 2 л спирта и 2 л воды получается меньше 4 л смеси. В этой смеси молекулы располагаются компактнее, и объем смеси оказывается меньше суммы объемов составляющих компонентов. Правило сложения арифметики нарушается. Можно еще привести примеры, в которых нарушаются другие истины арифметики, например при сложении некоторых объектов оказывается, что сумма зависит от порядка суммирования.

Многие математики рассматривают математические понятия не как создание чистого разума, а как абстракции от реально существующих вещей, явлений, процессов или же абстракции от уже сложившихся абстракций (абстракции высших порядков). В «Диалектике природы» Ф. Энгельс писал, что «…вся так называемая чистая математика занимается абстракциями… все её величины суть, строго говоря, воображаемые величины…» Эти слова достаточно четко отражают мнение одного из основоположников марксистской философии о роли абстракций в математике. Нам только следует добавить, что все эти «воображаемые величины» берутся из реальной действительности, а не конструируются произвольно, свободным полетом мысли. Именно так вошло во всеобщее употребление понятие числа. Сначала это были числа в пределах единиц, и притом только целые положительные числа. Затем опыт заставил расширить арсенал чисел до десятков и сотен. Представление о неограниченности ряда целых чисел родилось уже в исторически близкую нам эпоху: Архимед в книге «Псаммит» («Исчисление песчинок») показал, как можно конструировать числа еще большие, чем заданные. Одновременно из практических нужд родилось понятие дробных чисел. Вычисления, связанные с простейшими геометрическими фигурами, привели человечество к новым числам — иррациональным. Так постепенно формировалось представление о множестве всех действительных чисел.

Тот же путь можно проследить для любых других понятий математики. Все они возникли из практических потребностей и постепенно сформировались в абстрактные понятия. Можно опять вспомнить слова Ф. Энгельса: «…чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности… Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда‑нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого исторического развития, опирающегося на опыт. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры».

Рассмотрим, имеются ли в науке понятия, которые созданы без связи с прошлым прогрессом науки и текущим прогрессом практики. Мы прекрасно знаем, что научному математическому творчеству предшествует изучение многих предметов в школе, вузе, чтение книг, статей, беседы со специалистами как в собственной области, так и в других областях знания. Математик живет в обществе, и из книг, по радио, из других источников он узнает о проблемах, возникающих в науке, инженерном деле, общественной жизни. К тому же мышление исследователя находится под воздействием всей предшествовавшей эволюции научной мысли. Поэтому оно оказывается подготовленным к. решению определенных проблем, необходимых для прогресса науки. Вот почему ученый не может выдвигать проблемы по произволу, по прихоти, а должен создавать математические понятия и теории, которые были бы ценны для науки, для других исследователей, для человечества. А ведь математические теории сохраняют свое значение в условиях различных общественных формаций и исторических эпох. К тому же нередко одинаковые идеи возникают у ученых, которые никак не связаны между собой. Это является дополнительным аргументом против тех, кто придерживается концепции свободного творчества математических понятий.

Итак, мы рассказали, что же входит в понятие «математика». Но существует еще и такое понятие, как прикладная математика. Под ним понимают совокупность всех математических методов и дисциплин, находящих применения за пределами математики. В древности геометрия и арифметика представляли всю математику и, поскольку та и другая находили многочисленные применения при торговых обменах, измерении площадей и объемов, в вопросах навигации, вся математика была не только теоретической, но и прикладной. Позднее, в Древней Греции, возникло разделение на математику и на математику прикладную. Однако все выдающиеся математики занимались и применениями, а не только чисто теоретическими исследованиями.

Дальнейшее развитие математики было непрерывно связано с прогрессом естествознания, техники, с появлением новых общественных потребностей. К концу XVIII в. возникла необходимость (в первую очередь в связи с проблемами навигации и артиллерии) создания математической теории движения. Это сделали в своих работах Г. В. Лейбниц и И. Ньютон. Прикладная математика пополнилась новым очень мощным методом исследования — математическим анализом. Почти одновременно потребности демографии, страхования привели к формированию начал теории вероятностей (см. Вероятностей теория). XVIII и XIX вв. расширили содержание прикладной математики, добавив в нее теорию дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, уравнения математической физики, элементы математической статистики, дифференциальную геометрию. XX в. принес новые методы математического исследования практических задач: теорию случайных процессов, теорию графов, функциональный анализ, оптимальное управление, линейное и нелинейное программирование. Более того, выяснилось, что теория чисел и абстрактная алгебра нашли неожиданные применения к задачам физики. В результате стало складываться убеждение, что прикладной математики как отдельной дисциплины не существует и вся математика может считаться прикладной. Пожалуй, нужно говорить не о том, что математика бывает прикладная и теоретическая, а о том, что математики разделяются на прикладников и теоретиков. Для одних математика является методом познания окружающего мира и происходящих в нем явлений, именно для этой цели ученый развивает и расширяет математическое знание. Для других математика сама по себе представляет целый мир, достойный изучения и развития. Для прогресса науки нужны ученые и того, и другого плана.

Математика, прежде чем изучать своими методами какое‑нибудь явление, создает его математическую модель, т. е. перечисляет все те особенности явления, которые будут приниматься во внимание. Модель принуждает исследователя выбирать те математические средства, которые позволят вполне адекватно передать особенности изучаемого явления и его эволюции. В качестве примера возьмем модель планетной системы: Солнце и планеты рассматриваются как материальные точки с соответствующими массами. Взаимодействие каждых двух точек определяется силой притяжения между ними

где m 1 и m 2 — массы взаимодействующих точек, r — расстояние между ними, а f — постоянная тяготения. Несмотря на всю простоту этой модели, она в течение вот уже трехсот лет с огромной точностью передает особенности движения планет Солнечной системы.

Конечно, каждая модель огрубляет действительность, и задача исследователя состоит в первую очередь в том, чтобы предложить модель, передающую, с одной стороны, наиболее полно фактическую сторону дела (как принято говорить, её физические особенности), а с другой — дающую значительное приближение к действительности. Разумеется, для одного и того же явления можно предложить несколько математических моделей. Все они имеют право на существование до тех пор, пока не начнет сказываться существенное расхождение модели и действительности.

Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI-V веках до нашей эры. Это было началом периода элементарной математики.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем, уже происходит качественное совершенствование математики как науки.

Современную математику часто сравнивают с большим городом. Это — прекрасное сравнение, поскольку в математике, как и в большом городе, происходит непрерывный процесс роста и совершенствования. В математике возникают новые области, строятся изящные и глубокие новые теории подобно строительству новых кварталов и зданий. Но прогресс математики не сводится только к изменению лица города из-за строительства нового. Приходится изменять и старое. Старые теории включаются в новые, более общие; возникает необходимость укрепления фундаментов старых построек. Приходится прокладывать новые улицы, чтобы устанавливать связи между далекими кварталами математического города. Но этого мало — архитектурное оформление требует значительных усилий, поскольку разностильность различных областей математики не только портит общее впечатление от науки, но и мешает пониманию науки в целом, установлению связей между различными ее частями.

Нередко используется и другое сравнение: математику уподобляют большому ветвистому дереву, которое, систематически дает новые побеги. Каждая ветвь дерева — это та или иная область математики. Число ветвей не остается неизменным, поскольку вырастают новые ветви, срастаются воедино сначала росшие раздельно, некоторые из ветвей засыхают, лишенные питательных соков. Оба сравнения удачны и очень хорошо передают действительное положение дела.

Несомненно, что в построении математических теорий большую роль играет требование красоты. Само собой разумеется, что ощущение красоты весьма субъективно и нередко встречаются достаточно уродливые представления на этот счет. И все же приходится удивляться тому единодушию, которое вкладывается математиками в понятие «красота»: результат считается красивым, если из малого числа условий удается получить общее заключение, относящееся к широкому кругу объектов. Математический вывод считается красивым, если в нем простыми и короткими рассуждениями удается доказать значительный математический факт. Зрелость математика, его талант угадываются по тому, насколько развито у него чувство красоты. Эстетически завершенные и математически совершенные результаты легче понять, запомнить и использовать; легче выявлять и их взаимоотношения с другими областями знания.

Математика в наше время превратилась в научную дисциплину со множеством направлений исследований, огромным количеством результатов и методов. Математика теперь настолько велика, что нет возможности одному человеку охватить ее во всех ее частях, нет возможности быть в ней специалистом-универсалом. Потеря связей между ее отдельными направлениями — безусловно отрицательное следствие бурного развития этой науки. Однако в основе развития всех отраслей математики есть общее — истоки развития, корни древа математики.

Геометрия Евклида как первая естественнонаучная теория

В III веке до нашей эры в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе «Начала». От латинского названия «Начал» произошёл термин «элементарная геометрия». Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по «Началам» Евклида. В «Началах» имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют «Начала» предшественников Евклида.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг. 1 — 6 книги посвящены планиметрии, 7 — 10 книги — об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

«Начала» начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом — «общие понятия», остальные называются «постулатами». Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий — с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Пять «общих понятий» Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: «равные одному и тому же равны между собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равных отнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг с другом равны между собой», «целое больше части».

Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам: за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему: «Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую».

Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века Н.И.Лобачевский, Я.Бойяи и К.Ф.Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением: «В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную». Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году.

На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую. Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре — это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского — фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.

Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. «Неевклидова прямая — это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту». Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A.

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 — 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей — геометрией Евклида.

Основные этапы становления современной математики. Структура современной математики
Академик А.Н.Колмогоров выделяет четыре периода развития математики Колмогоров А.Н. — Математика, Математический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1988 год.: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.

В период развития элементарной математики из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии — геометрии Евклида — на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории.

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенное Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых величин (математического анализа).

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р.Декарта о методе координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории и возникают они не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н.И.Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция — метод исследования, в котором общий вывод строится на основе частных посылок.

Дедукция — способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитыми логическим и вычислительным аппаратами был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Основные черты математического мышления
По данному вопросу особый интерес представляет характеристика математического мышления, данная А.Я.Хинчиным, а точнее, его конкретно-исторической формы — стиля математического мышления. Раскрывая сущность стиля математического мышления, он выделяет четыре общие для всех эпох черты, заметно отличающие этот стиль от стилей мышления в других науках.

Во-первых, для математика характерна доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при анализе иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления).

Во-вторых, лаконизм, т.е. сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля, не терпит никакой “воды”, никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжение разглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения. Лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.

Корифеи науки, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знаний, даже тогда, когда мысль их создает и излагает принципиально новые идеи. Какое величественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли и речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие может иметь на развитие науки именно стиль мышления ее творцов.

Для математики лаконизм мысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее ставится под законное подозрение и автоматически вызывает критическую настороженность.

В-третьих, четкая расчлененность хода рассуждений. Если, например, при доказательстве какого-либо предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждый может разбиваться на то или другое число подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль сейчас обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия он перечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешения и перескоки, приводящие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода.

Для того чтобы сделать такие смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации понятий и суждений, иногда (но гораздо реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые понятия, которые надлежит рассмотреть в данном рассуждении, заранее перенумеровываются; внутри каждого такого случая те, подлежащие рассмотрению подслучаи, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда, для различения, с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучая обозначение (например: II 3 — это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслучая второго случая, или описание третьего вида второго рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую числовую рубрику, всё излагаемое относится только к этому случаю и подслучаю. Само собою, разумеется, что такая нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела не в ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она и стимулирует, и знаменует собою.

В-четвертых, скрупулезная точность символики, формул, уравнений. То есть “каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания”.

Выделив основные черты математического стиля мышления, А.Я.Хинчин замечает, что математика (особенно математика переменных величин) по своей природе имеет диалектический характер, а следовательно, способствует развитию диалектического мышления. Действительно, в процессе математического мышления происходит взаимодействие наглядного (конкретного) и понятийного (абстрактного). “Мы не можем мыслить линии, — писал Кант, — не проведя её мысленно, не можем мыслить себе три измерения, не проведя, из одной точки трех перпендикулярных друг к другу линий”.

Взаимодействие конкретного и абстрактного “вело” математическое мышление к освоению новых и новых понятий и философских категорий. В античной математике (математике постоянных величин) таковыми были “число” и “пространство”, которые первоначально нашли отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а позже в алгебре и различных геометрических системах. Математика переменных величин “базировалась” на понятиях, в которых отражалось движение материи, — “конечное”, “бесконечное”, “непрерывность”, “дискретное”, “бесконечно малая”, “производная” и т.п.

Если говорить о современном историческом этапе развития математического познания, то он идет в русле дальнейшего освоения философских категорий: теория вероятностей “осваивает” категории возможного и случайного; топология — категории отношения и непрерывности; теория катастроф — категорию скачка; теория групп — категории симметрии и гармонии и т.д.

В математическом мышлении выражены основные закономерности построения сходных по форме логических связей. С его помощью осуществляется переход от единичного (скажем, от определенных математических методов — аксиоматического, алгоритмического, конструктивного, теоретико-множественного и других) к особенному и общему, к обобщенным дедуктивным построениям. Единство методов и предмета математики определяет специфику математического мышления, позволяет говорить об особом математическом языке, в котором не только отражается действительность, но и синтезируется, обобщается, прогнозируется научное знание. Могущество и красота математической мысли — в предельной четкости её логики, изяществе конструкций, искусном построении абстракций.

Принципиально новые возможности мыслительной деятельности открылись с изобретением ЭВМ, с созданием машинной математики. В языке математики произошли существенные изменения. Если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых, прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный её язык — это язык алгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частного случая.

Язык современной вычислительной математики становится все более универсальным, способным описывать сложные (многопараметрические) системы. Вместе с тем хочется подчеркнуть, что каким бы совершенным ни был математический язык, усиленный электронно-вычислительной техникой, он не порывает связей с многообразным “живым”, естественным языком. Мало того, разговорный язык является базой языка искусственного. В этом отношении представляет интерес недавнее открытие ученых. Речь идет о том, что древний язык индейцев аймара, на котором говорят примерно 2,5 миллиона человек в Боливии и Перу, оказался в высшей степени удобным для компьютерной техники. Еще в 1610 году итальянский миссионер-иезуит Людовико Бертони, составивший первый словарь аймара, отмечал гениальность его создателей, добившихся высокой логической чистоты. В аймара, например, не существует неправильных глаголов и никаких исключений из немногих четких грамматических правил. Эти особенности языка аймара позволили боливийскому математику Айвану Гусману де Рохас создать систему синхронного компьютерного перевода с любого из пяти заложенных в программу европейских языков, “мостиком” между которыми служит язык аймара. ЭВМ “Аймара”, созданная боливийским ученым, получила высокую оценку специалистов. Резюмируя эту часть вопроса о сущности математического стиля мышления, следует отметить, что его основным содержанием является понимание природы.

Аксиоматический метод
Аксиоматика — основной способ построения теории, с древности и до сегодняшнего дня подтверждающий свою универсальность и все применимость.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом.

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, и в данное время применяется практически во всех теоретических науках, а, прежде всего в математике.

Сравнивая три, в известном отношении, дополняющие друг друга геометрии: Евклидову (параболическую), Лобачевского (гиперболическую) и Риманову (эллиптическую), следует отметить, что наряду с некоторыми сходствами имеется большое различие между сферической геометрией, с одной стороны, и геометриями Евклида и Лобачевского — с другой.

Коренное отличие современной геометрии состоит в том, что теперь она охватывает «геометрии» бесконечного множества разных воображаемых пространств. Однако следует отметить, что все эти геометрии являются интерпретациями евклидовой геометрии и в основе их лежит аксиоматический метод, впервые использованный Евклидом.

На основе исследований получил своё развитие и широкое применение аксиоматический метод. Как частный случай применения этого способа служит метод следов в стереометрии, позволяющий решать задачи на построение сечений в многогранниках и некоторых других позиционных задач.

Аксиоматический метод, развитый вначале в геометрии, теперь стал важным орудием изучения и в других разделах математики, физики и механики. В настоящее время ведутся работы по усовершенствованию и более глубокому изучению аксиоматического способа построения теории.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в выделении основных понятий, формулировке аксиом теорий, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к не доказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.

Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах.

После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту.

Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались «Элементы».

Аксиоматический метод построения научной теории
Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых.

Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах.

Дедуктивная система изложения сводится:

1) к перечислению основных понятий,

2) к изложению определений,

3) к изложению аксиом,

4) к изложению теорем,

5) к доказательству этих теорем.

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательств.

Теорема — утверждение, вытекающее из аксиом.

Доказательство — составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) о смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы вообще неразрешимы.

История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде “Начала”. Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость основные образы; лежать между, принадлежать, движение.

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома о параллельных (V постулат Евклида): через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом.

Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые.

Из новой системы аксиом Н.И. Лобачевский с безупречной логической строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы равноправны.

Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг от друга пришли к одним результатам недоказуемости пятого постулата и к созданию неевклидовой геометрии.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Янош Бойяи (1802-1860)

Математическое доказательство
Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуждения. В силу объективной необходимости, указывает член-корреспондент РАН Л.Д.Кудрявцев Кудрявцев Л.Д. — Современная математика и ее преподавание, Москва, Наука, 1985 год., логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по себе играет большую роль в математических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.

Считается, что математическое доказательство является истиной в последней инстанции. Решение, которое основано на чистой логике просто не может быть неправильным. Но с развитием науки и задачи перед математиками ставятся всё более сложные.

“Мы вошли в эпоху, когда математический аппарат стал настолько сложным и громоздким, что с первого взгляда уже нельзя сказать — правдива или нет встреченная задача”, полагает Кейт Девлин из Стенфордского Университета Калифорнии, США. Он приводит в пример “классификацию простых конечных групп”, которую сформулировали еще в 1980 году, а полного точного доказательства не привили до сих пор. Скорее всего, теорема верна, но совершенно точно об этом говорить нельзя.

Компьютерное решение тоже невозможно назвать точным, ибо такие вычисления всегда имеют погрешность. В 1998 году Хейлс предложил решение теоремы Кеплера при помощи компьютера, сформулированной еще в 1611 году. Эта теорема описывает наиболее плотную упаковку шаров в пространстве. Доказательство было представлено на 300 страницах и содержало в себе 40000 строк машинного кода. 12 рецензентов проверяли решение в течение года, но стопроцентной уверенности в правильности доказательства они так и не достигли, и исследование отправили на доработку. В результате оно было опубликовано только через четыре года и без полной сертификации рецензентов.

Все последние вычисления для прикладных задач производятся на компьютере, но ученые считают, что для большей достоверности математические выкладки должны быть представлены без погрешностей.

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n-ное умозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математической и к практике юридической деятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.

В XX веках понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.

Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин «доказательство» не имеет точного определения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает саму математику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принять не в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взгляд обнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е.Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры, и далее пишет: «Доказательством суждения я называю честный прием, делающий это суждение неоспоримым». Есенин-Вольпин отдает отчет, что его определение нуждается еще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как «честного приема» не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?

Вместе с тем обнаружение теоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятой интуиционистами, особенно конструктивистского направления, и Д.Гильбертом.

Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариант научного доказательства. Однако оно — не единственный метод, есть и другие способы доказательных процедур и операций. Верно лишь то, что у математического доказательства немало сходного с формально-логическим, реализуемом в естествознании, и что математическое доказательство имеет определенную специфику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся, опуская то общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть, не развертывая во всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п. процесса доказательства.

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его «Начала» стали своего рода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания, и долгое время оставались таковыми для математиков.

Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д.Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d. Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Повторимся. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.

К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие «несоизмеримость» лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно — диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли — Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты.

Вторая особенность математического доказательства — его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологии и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых — в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные — знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).

Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.

Сама процедура доказательства, определяемая в логике как демонстрация, протекает на основе правил вывода, опираясь на которые осуществляется переход от одних доказанных утверждений к другим, образуя последовательную цепь умозаключений. Наиболее распространены два правила (подстановки и вывода заключений) и теорема о дедукции.

Правило подстановки. В математике подстановка определяется как замена каждого из элементов a данного множества каким-либо другим элементом F (a) из того же множества. В математической логике правило подстановки формулируется следующим образом. Если истинная формула M в исчислении высказываний содержит букву, скажем A, то, заменив ее повсюду, где она встречается, произвольной буквой D, мы получим формулу, также истинную, как и исходная. Это возможно, и допустимо потому именно, что в исчислении высказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул)… Учитываются только значения «истина» или «ложь». Например, в формуле M: A—> (BUA) на место A подставляем выражение (AUB), в результате получаем новую формулу (AUB) —>[(BU(AUB) ].

Правило вывода заключений соответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модус утверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:

a

.

Дано высказывание (a-> b) и еще дано a. Из этого следует b.

К примеру: Если идет дождь, то мостовая мокрая, дождь идет (a), следовательно, мостовая мокрая (b). В математической логике этот силлогизм записывается таким образом (a-> b) a-> b.

Умозаключение определяется, как правило, отделения для импликации. Если дана импликация (a-> b) и ее антецедент (a), то мы вправе присоединить к рассуждению (доказательству) также и консеквент данной импликации (b). Силлогизм носит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средств доказательства, то есть, абсолютно отвечая требованиям математических рассуждений.

Большую роль в математическом доказательстве играет теорема о дедукции — общее название для ряда теорем, процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации: A-> B, когда налицо логический вывод формулы B из формулы A. В наиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и др. видах математики) теорема о дедукции утверждает следующее. Если дана система посылок G и посылка A, из которых, согласно правилам, выводимо B Г, A B (- знак выводимости), то следует, что только из посылок G можно получить предложение A—> B.

Мы рассмотрели тип, который является прямым доказательством. Вместе с тем в логике используются и так называемые косвенные, есть не прямые доказательства, которые развертываются по следующей схеме. Не имея, в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают — на основании закона исключенного третьего (a v) — вывод об истинности тезиса.

В математике широко используется одна из форм косвенного доказательства — доказательство от противного. Оно особенно ценно и, по сути, незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например, понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.

Операция доказательства от противного представлена в математической логике следующим образом. Дана последовательность формул G и отрицание A (G , A). Если из этого следует B и его отрицание (G , A B, не-B), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность A. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса.

Использованная литература:
1. Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман, Высшая математика для экономистов, учебник, Москва, 2002;

2. Л.Д.Кудрявцев, Современная математика и ее преподавание, Москва, Наука, 1985 год;

3. О.И.Ларичев, Объективные модели и субъективные решения, Москва, Наука, 1987 год;

4. А.Я.Халамайзер, «Математика? — Забавно!», издание автора, 1989 год;

5. П.К.Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, Москва, 3 издание, 1967 год;

6. В.Е.Гмурман, Теория вероятности и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 1977 год;

7. Всемирная сеть Enternet.

Первая буква «м»

Вторая буква «а»

Третья буква «т»

Последняя бука буква «а»

Ответ на вопрос «Наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы «, 10 букв:
математика

Альтернативные вопросы в кроссвордах для слова математика

Представитель этой науки отбил у Нобеля невесту, и поэтому за успехи в ней Нобелевской премии не дают

«Вышка» в программе Политеха

Точная наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы

Наука о величинах, количественных отношениях, пространственных формах

Именно этот предмет преподавала в школе «дорогая Елена Сергеевна» в исполнении Марины Нееловой

Определение слова математика в словарях

Толковый словарь живого великорусского языка, Даль Владимир

Значение слова в словаре Толковый словарь живого великорусского языка, Даль Владимир

ж. наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. — чистая, занимается величинами отвлеченно; — прикладная, прилагает первую к делу, к предметам. Математика делится на арифметику и геометрию, первая располагает…

Википедия

Значение слова в словаре Википедия

Матема́тика (

Большая Советская Энциклопедия

Значение слова в словаре Большая Советская Энциклопедия

I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema ≈ знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая математика имеет своим объектом…

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

Значение слова в словаре Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

ж. Научная дисциплина о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира. Учебный предмет, содержащий теоретические основы данной научной дисциплины. разг. Учебник, излагающий содержание данного учебного предмета. перен. разг. Точный,…

Примеры употребления слова математика в литературе.

Сначала Тредиаковского приютил у себя Василий Ададуров — математик
, ученик великого Якоба Бернулли, а за это приютство поэт ученого во французском языке наставлял.

Вхож стал математик
Ададуров, механик Ладыженский, архитектор Иван Бланк, захаживали на огонек асессоры по разным коллегиям, врачи и садовники, офицеры армейские и флотские.

За длинным полированным столом орехового цвета сидели в креслах двое: Аксель Бригов и математик
Бродский, которого я узнал по мощной сократовской лысине.

Понтрягина, усилиями которых был создан новый раздел математики
— топологическая алгебра, — изучающий различные алгебраические структуры, наделенные топологией.

Заметим также мимоходом, что эпоха, описываемая нами, была свидетелем развития алгебры, сравнительно абстрактного отдела математики
, посредством соединения менее абстрактных отделов ее, геометрии и арифметики, — факт, доказанный самыми древними из дошедших до нас проявлений алгебры, наполовину алгебраических, наполовину геометрических.

Математика 1. Откуда пришло слово математика 2. Кто придумал математику? 3. Основные темы. 4. Определение 5. Этимология На последний слайд.

Откуда пришло слово (перейти на предыдущий слайд) Матемаа тика от греческого — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке.

Кто придумал математику (перейти в меню) Первым математиком принято называть Фалеса Милетского, жившего в VI в. до н. э. , одного из так называемых Семи мудрецов Греции. Как бы то ни было, но именно он первым структурировал всю базу знаний на сей счет, которая издавна формировалась в пределах известного ему мира. Однако автором первого дошедшего до нас трактата по математике был Евклид (III в. до н. э.). Его тоже вполне заслуженно можно считать отцом этой науки

Основные темы (перейти в меню) К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

Определение (перейти в меню) На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду с алгеброй и геометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием « исчисление »

Этимология (перейти в меню) Слово «математика» произошло от др. -греч. , что означает изучение, знание, наука, и др. -греч, первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, на латыни, означает искусство математики. Термин др. -греч. в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV век до н. э.) В текстах на русском языке слово «математика» или «маѳематика» встречается, по крайней мере, с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год)

Источник

Многомудрый Литрекон обожает путешествовать и всем советует начать. Поэтому он с удовольствием написал итоговое сочинение на тему: Что человек ищет в путешествиях? Аргументы и примеры, тезисы и вступления — все находится перед Вами в двух вариациях. Приятного просвещения!

Вариант 1

(431 слово) В наше время далеко не все люди понимают, зачем нужно путешествовать? Многие видят в этом деле напрасную финансовую трату на дорогое развлечение. Однако совершенно очевидно, что в туризме мы открываем для себя не только чудеса окружающего мира, но и новые возможности. В поездках мы черпаем вдохновение и мотивацию к действию. Эту закономерность подтверждают многочисленные литературные примеры.

Вспомним повесть А. Грина «Алые паруса». Артур Грэй был богатым аристократом от рождения. Его родители предоставляли ему все возможности для карьерного роста. Он жил в родовом поместье и имел все привилегии сына дипломата. Но герой грезил о морях, странствиях и приключениях. Вся роскошь мира не могла заменить ему новых открытий и впечатлений. Да и свое призвание Артур видел не в политической деятельности отца, а в морском деле — опасном, но интересном. Чтобы реализовать свою мечту, мальчик покинул родной дом и стал скитаться по кораблям, работая юнгой и накапливая опыт. Там он убедился, что выбрал правильный курс. Судьба вознаградила его за это решение: в очередном порту Артур встретил свою настоящую любовь — Ассоль. Узнав о ее необычной и возвышенной мечте, капитал заказал алые паруса и воплотил грезы красавицы. «Благодаря Ассоль, я понял одну нехитрую истину: чудеса надо делать своими руками» — говорит он. Если бы Артур не путешествовал бы по свету, он не обрел бы ни любви, ни мудрости, ни уникального жизненного опыта. Все это ему подарили странствия.

Более реалистичный пример мы встречаем в романе И.А. Гончарова «Обломов». Андрей Штольц, сын обрусевшего приказчика немецкого происхождения, не имел наследного имения и дворянского титула. У него не было возможности попасть в социальный лифт того времени, ведь ни связей, ни больших денег, ни аристократической родословной ему не досталось. Однако герой упорно трудился и нашел пути к честному обогащению. Сначала Андрей работал на государственной службе и преуспел. Чин надворного советника давал ему право на личное дворянство. После этого он вышел в отставку и отправился за границу. Он открыл свое дело, стал негоциантом — деятелем международной торговли. С тех пор автор и читатель редко могли застать персонажа в столице России. Он все время путешествовал и искал новые способы продвинуть и расширить свой бизнес. Именно зарубежный опыт, иностранные товары и возможность постоянно учиться у коллег дали незнатному герою такие большие перспективы и результаты. В странствиях Андрей черпал мудрость, привлекал инвестиции и находил идеи для предпринимательства. Вот что он обрел в дороге.

Таким образом, в путешествиях люди получают не только положительные эмоции, но и новые перспективы, полезные знакомства и свежие идеи. Перенимая опыт зарубежных компаний и дельцов, можно развить ту или иную сферу в своей стране, не наступая на ненужные грабли. Кроме того, в дороге можно найти свою судьбу и понять то, что раньше было недоступно.

Вариант 2

(396 слов) Что человек ищет в путешествиях? Этим вопросом задаются многие туристы, ведь поездка — это дело затратное и сложное, а потому важно понимать, с какой целью мы пакуем чемоданы и покидаем насиженное место? Очевидно, что свежие впечатления, новые знания и положительные эмоции мотивируют большую часть людей. А порой все это нужно нам, чтобы отвлечься от переживаний, переосмыслить жизнь, найти выход из тупика выгорания. Чтобы лучше разобраться в поставленном вопросе, проанализируем примеры из литературы.

Вспомним произведение А.С. Пушкина «Евгений Онегин». Главный герой был подавлен случившейся трагедией: на дуэли он убил своего друга. Нам известно, что Евгений путешествовал по России. Автор издал свое произведение без главы, где содержались подробности о поездке Онегина, но его наработки сохранились до наших дней. Из этих сведений мы можем сделать вывод, что герой побывал на Кавказе, в Астрахани, в Тавриде, в Одессе. В своем импровизированном туре герой предавался горестным думам и пытался отвлечься от хандры: «Я молод, жизнь во мне крепка; Чего мне ждать? тоска, тоска!..» — вот какие мысли не давали ему покоя. Чего он искал в пути? Очевидно, забвения и встряски. Евгению приелась жизнь, он жаждал ярких впечатлений, которые развеяли бы его скуку. И он нашел желаемое. Ведь когда герой приехал в Москву, он уже исцелился и даже был готов начать серьезные отношения с Татьяной, впервые сказать «Люблю!». Значит, скитания позволили ему навести порядок в себе, развеяться и придать жизни новое направление.

Бежал от себя и Тихон, герой пьесы А.Н. Островского «Гроза». Дома персонажа ждала нелегкая участь сына деспотичной матери. Кабаниха осаждала домочадцев упрёками, наставлениями и манипуляциями. Тихон был виноват по умолчанию: то не любит мать, то недостаточно внимателен к ее советам, то женился не на той. Повод пожурить мужчину находился всегда. И, конечно, Тихону было тяжело терпеть бесконечные сцены и скандалы. Он нуждался в эмоциональной разрядке. Поэтому герой часто придумывал рабочие надобности и с удовольствием покидал дом на пару недель. В поездках он кутил, ходил по кабакам и всячески развлекался, чтобы выйти из депрессивного и подавленного состояния. Тихон, как и многие наши современники, искал в отпуске возможность развеяться и забыться, набраться сил и смирения, чтобы дальше тянуть лямку трудной жизни.

Таким образом, человек путешествует, прежде всего, для того, чтобы отбросить печали, эмоционально расслабиться и пережить яркие впечатления, воспоминания о которых утешают в трудные моменты. Это очень важно для поддержания позитивного настроя и жизненного тонуса. В пути мы можем развеять тоску, забыть о психологических травмах и найти силы для преодоления будничных трудностей.

Источник

Музеи и различные экскурсии — это, конечно, хорошо. Но посещение целого города с многовековой историей даст куда больше впечатлений, чем осмотр десятка сомнительных развалин. Я собрала 15 лучших древних городов, рекомендованных к посещению.
Те, кто знаком с историей или мифологией, знают, что в Древнем мире было намного больше легендарных городов, а не только Рим или Афины. Многие известные древние города исчезли, и теперь являются не более чем легендами. В некоторых случаях историки и археологи даже не знали, что когда-то существовали такие легендарные города древнего мира, пока с помощью современных технологий не были точно определены места, на которых когда-то стояли великие метрополи.
Если эти древние города существовали бы в наши дни и были населены, то они по-прежнему считались бы самыми красивыми и невероятными поселениями в мире. Во многих случаях можно посетить руины этих легендарных городов и получить представление об архитектурных чудесах и инженерных подвигах, которые когда-то были совершены. Однако ничто не было бы более прекрасным, чем посетить их в самом расцвете их величия.

Давайте представим, что у нас есть возможность пойти по стопам Елены Троянской или Александра Великого и исследовать несколько потерянных, забытых или заброшенных городов, в которые так хотелось.

15. Карфаген (Тунис)

Древний город Карфаген был основан финикийскими колонистами в том месте, которое в наше время находится на территории современного Туниса, под руководством легендарной королевы Элиссы, или Дайдо. Он вырос и стал большим и богатым городом, главным в этом в регионе. Это сделало его главной мишенью для других средиземноморских соперников, в том числе, Сиракузы и Рима.
Он пережил римское вторжение и процветал, пока в 698 году нашей эры не был разрушен во время завоевания мусульманской армией. В период своего расцвета Карфаген, вероятнее всего, был самым невероятным зрелищем на все Средиземноморье. Это были красивые, аккуратные кварталы на вершине холма, здания с мозаичными стенами и дороги с твердым глиняным покрытием.

14. Троя (Турция)

Троя была легендарным городом, прославленным Илиадой Гомера, в котором проходила Троянская война в период 12, 13 или 14-го веков до нашей эры. Посетители Трои могли стоять на холмистой территории города и видеть равнины, на которых проходили древние сражения Троянской войны и по которым бродили боги и герои древних мифов.
Археологи старательно раскопали много развалин этого огромного города (в современной Турции). Эти руины выстояли тысячи лет, и остались для нас единственным сохранившимся примером мифического города, который был потрясающим местом, которое хотелось бы увидеть в период расцвета.

13. Тикаль (Гватемала)

Древний город Тикаль находится в глубине тропического леса в Гватемале. Когда-то он был столицей одного из самых мощных майянских государств и военно-политическим центром. Тикаль был построен примерно в четвертом веке до нашей эры, а рост цивилизации продолжался примерно до 200 — 900 года нашей эры.
Раскопки показали, что в Тикале было много памятников, храмов и дворцов. Это было город с прекрасным искусством и невероятной архитектурой. Посетителей Тикаля встречало бы множество городских пирамидальных построек с тонкой резьбой и украшениями.

12. Древний Мемфис (Египет)

Крупный египетский город Мемфис был основан в 3100 году до нашей эры, во время первой египетской династии. Ранее он был крепостью, которая помогала контролировать земельные и водные маршруты между Верхним Египтом и дельтой Нила, но позже он превратился в важный религиозный центр и процветающую столицу с изобилием храмов и произведений искусства.
Большой храм, королевские дворцы и ошеломляющая статуя Рамзеса II были когда-то частью древнего города. Руины древнего города до сих пор на месте, и блуждать по ним невероятно интересно. Но это лишь мельчайшая часть того великого города, который когда-то здесь был.

11. Вавилон и его висячие сады (Ирак)

Столица Вавилон в древней месопотамской империи славилась своей роскошью и инновациями. Сегодня развалины города расположены между реками Тигр и Евфрат в Ираке. Несмотря на то, что по легенде Висячие сады Семирамиды считаются одним из 7 оригинальных чудес света, свидетельств того, что они действительно когда-то существовали, было найдено слишком мало.
История садов говорит нам, что царь — возможно, Навуходоносор II — построил сады для своей жены, которая тосковала по родному дому в горах. Он использовал каменные плиты и искусственное орошение, чтобы создать висячие сады в центре сухой пустыни. Чтобы сады всегда оставались живыми, понадобилась новейшие методы орошения. Если бы сады все еще существовали, они были бы незабываемым зрелищем –настоящим раем в середине суровой пустыни.

10. Ктесифон (Ирак)

Ктесифон был столицей древнего Парфянского царства, расположенного у реки Тигр в современном Ираке. Ктесифон — очередной очаровательный город, который стоит посетить из-за архитектуры и передовых технологий. Одной из достопримечательностей этого города является ошеломляющий сводчатый холл, который ведет к огромному и величественному тронному залу.
Свод построен настолько качественно, что почти полность сохранился и сегодня. И он по-прежнему является самой аркой из кирпича в мире.

9. Мохенджо-Даро (Пакистан)

Мохенджо-Даро был построен в 2600 году до нашей эры в долине Инда на территории современного Пакистана. Он был таким же большим, как и другие известные греческие и египетские города, которые существовали в то время.
Люди были настоящими мастерами-инженерами, а руины свидетельствуют о сложной сети домов, магазинов и улиц, которые когда-то заполняли этот оживленный город.

8. Меса Верде (США)

Один из самых уникальных городов древнего мира — Меса Верде. Он расположен на юго-западе Соединенных Штатов в одноименном Национальном парке, в котором находится более 600 домов-пещер, где обитали жители племени анасази. Эти невероятные дома были построены из песчаника, дерева и бетона, вырезанные непосредственно в самой скале.
Массивный скальный дворец в этом древнем городе был домом для 100 человек, которые попадали в него с помощью лестниц. Излишне говорить, что Меса Верде был бы уникальным, почти сверхъестественным местом, которое стоило бы посетить в те времена, когда он был населен.

7. Ани (Турция)

Представьте себе город из 1001 церкви, расположенный среди живописных холмов. Эта картина идеально иллюстрирует город, который называется Ани, когда-то располагавшийся в современной Турции. Он был столицей Армянского царства в 10-м веке. Многие из руин этих высоких соборов и церквей еще можно увидеть, и они отражают огромное богатство изысканной архитектуры и искусства.
Город Ани во времена расцвета мог сравниться с другим крупнейшим городом — Константинополем.

6. Фивы (Египет)

Фивы — город, который поклонялся богу солнца Амону, был роскошным местом, наполненным таким большим блеском и великолепием, что был на самом деле достоин бога.
Руины легендарного храма в Фивах все еще стоят того, чтобы их посетить. Знаменитая гробница Тутанхамона также находится в Фивах. В то время, когда город процветал, здесь жили талантливые ремесленники, которые наполнили его яркими произведениями искусства, включая фрески, статуэтки и статуи.
Жители наслаждались этим, показывая свое богатство на каждом углу. Некоторые статуи по-прежнему остаются в Фивах даже после нескольких тысяч лет, оставленные современным исследователям, которые представляют себе, каким невероятным был этот город.

5. Виджаянагар (Индия)

В период расцвета это был один из крупнейших городов мира с население 500 тысяч человек, расположенный в современной Индии.
Отель расположен в современном Индии, это было однажды один из крупнейших городов мира, в которых проживает 500 000 человек в период своего расцвета. Он был столицей исторической империи Виджаянагара, которая охватывала часть южной Индии. В свое время в городе было много уединенных и впечатляющих духовных мест.
Это были прекрасные массивные индуистские храмы, некоторые из которых сохранились и по сей день. Пещеры, водопровод, общественные центры и другие храмы и религиозные сооружения находили по всему городу.

4. Персеполис (Иран)

Расположенный в современном Иране Персеполис строили более ста лет. По-видимому, дополнительное время хорошо оплачивалось: когда-то он считался самым богатым городом в мире. В период своего расцвета (который длился более 2 веков) он был красивее, чем большинство нынешних городов. Персеполис был огромным комплексом, построенным на террасе с вырезанными на ней рабами, царями, а также другими должностными лицами и важными фигурами Персидской империи.
В городе также были потрясающие дворцы для королей и королев, крупные по размеру и заполненные колоннами и залами. К сожалению, огромный дворец короля был сожжен Александром Македонским, который был полон решимости уничтожить Персидскую империю изнутри (что он и совершил).

3. Паленке (Мексика)

Паленке когда-то был одним из самых мощных майянских городов-государств, который располагался на мексиканской равнине. Он впечатляет своей архитектурой и передовыми технологиями в области инженерии.
Хотя город был заброшен около тысячи лет назад, руины Паленке все еще стоит посетить, потому, что они продолжают поражать. Паленке был широким мегаполисом со зданиями, расположенными на массивных платформах, дворцами, площадями и спортивными аренами.
В городских домах даже была проточная вода, благодаря акведукам, которые все еще функционируют: иными словами, жизнь была достаточно комфортной. То есть, если вас не выбрали для человеческого жертвоприношения. В соответствии с майянскими обычаями и религией, Паленке был местом множества человеческих жертвоприношений. Излишне сказать, что это город, который хотелось бы посетить в качестве дружественного гостя, а не политического противника.

2. Петра (Иордания)

Петра — довольно известное место благодаря трилогии «Индиана Джонс». Город был буквально высечен в горах в современной Иордании. Петра соединял Азию и Аравию и был оживленным центром торговли шелком и специями, что позволило городу насладиться богатством и властью.
Красивый проход, вырезанный непосредственно в каньоне, впечатляет посетителей, въезжающих в город, постепенно приводя их к так называемой крупной «сокровищнице» — одной из самых узнаваемых и фотографируемых частей древнего города. Это дворцовое здание было высечена прямо в скале. Сегодня оно заброшено, но когда-то здесь было многолюдно: предположительно, здесь жили до 30 тысяч людей, и пребывали десятки тысяч посетителей (в том числе, бедуинов и торговцев), которые ставили неподалеку свои палатки.

1. Ангкор (Камбоджа)

Древний город Ангкор, руины которого сегодня находятся посреди леса и сельскохозяйственных угодий современной Камбоджи, был когда-то местом с потрясающими зданиями, в которых проживало до миллиона жителей. Это сделало его крупнейшим доиндустриальным городом в мире.
Город был поразительным местом с 9 по 15 века. Более четырехсот квадратных метров города занимают храмы и массивные, богато украшенные структуры. Изюминкой города является знаменитый Ангкор-Ват — большой индуистский храм со знаменитым изысканным дизайном.

Источник

XPOHOC

ВВЕДЕНИЕ В ПРОЕКТ

ФОРУМ ХРОНОСА

НОВОСТИ ХРОНОСА

БИБЛИОТЕКА ХРОНОСА

ИСТОРИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ

БИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

СТРАНЫ И ГОСУДАРСТВА

ЭТНОНИМЫ

РЕЛИГИИ МИРА

СТАТЬИ НА ИСТОРИЧЕСКИЕ ТЕМЫ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

КАРТА САЙТА

АВТОРЫ ХРОНОСА

Родственные проекты:

РУМЯНЦЕВСКИЙ МУЗЕЙ

ДОКУМЕНТЫ XX ВЕКА

ИСТОРИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ

ПРАВИТЕЛИ МИРА

ВОЙНА 1812 ГОДА

ПЕРВАЯ МИРОВАЯ

СЛАВЯНСТВО

ЭТНОЦИКЛОПЕДИЯ

АПСУАРА

РУССКОЕ ПОЛЕ

Евклид (Eukleides) (осн. деятельность — ок. 300 г. до н.э.). Математик,
живший и преподававший в Александрии при Птолемее I. Кроме этого, о нем
известно очень мало. Его учебник под названием «Стойхея» (Stoicheia —
«Элементы» j в 13 книгах был столь популярен, что геометрию вообще стали
называть «евклидовой». Кроме «Элементов» написал еще ряд работ по геометрии.
Формулировка «что и требовалось доказать» (лат. quod erat demonstrandum,
греч. hoper edei deixai), очевидно, также восходит к Евклиду. Вплоть до XII
в. его труды были известны только в переводах на арабский язык.

Адкинс Л., Адкинс Р. Древняя Греция. Энциклопедический справочник. М.,
2008, с. 447.

ЕВКЛИД (4 — начало 3 в. до н.э.) — древнегреческий математик, автор
знаменитых «Начал», в которых систематически, согласно аксиоматическому
методу, изложена геометрия древних и их теория чисел. Е. принадлежит
знаменитый постулат (пятый) о параллельных, который логически равносилен
утверждению: на плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести
только одну прямую, не пересекающую данную. Геометрия, основанная на этом
постулате, получила название евклидовой. Попытки доказательства пятого
постулата привели в 19 в. к открытию неевклидовых геометрий (Лобачевский).
Е. испытывал сильное влияние философии Платона и Аристотеля. «Начала» Е.
служили образцом дедуктивной науки. Геометрия Е. была основой некоторых
философских выводов о природе пространства и представлений о реальном
пространстве. В частности, Кант, утверждая априорность (Априори)
пространства, ссылался на геометрию Е. Открытие неевклидовых геометрий
показало беспочвенность признания априорности понятия пространства.

Философский словарь. Под ред. И.Т. Фролова. М., 1991, с. 133.

Евклид (Εὐκλείδης) (ок. 300 до н. э.) — греческий математик, живший в
Александрии во время царствования Птолемея 1. Известен гл. о. как автор
фундаментального труда «Начала», в котором в систематическом виде представлено
теоретическое ядро всей античной математики, включающее в себя два основных
раздела — геометрию и арифметику. Сохранились также «Данные» (где исследуются
следствия того, что даны некоторые фигуры), «О делении» (фигур на части в
заданном отношении), «Оптика» и «Явления» (по геометрии сферы, используемой для
описания небесных явлений). Прокл приписывает Евклиду также «О делении
звукоряда» и «Введение в гармонию», однако их принадлежность ему не достоверна.

«Начала» Евклида являются компилятивной работой, в которой разные по
содержанию и происхождению математические факты собраны в виде единой общей
теории. «Начала» состоят из определений, постулатов, аксиом, которые принимаются
без доказательств, и предложений, в которых на основе определений, постулатов,
аксиом и ранее сформулированных предложений строятся новые математические
конструкции и относительно них доказываются новые утверждения. Эта общая
формальная схема сохраняет свое значение до настоящего времени: попытки
радикального переосмысления предмета, методов и всего содержания математики,
предпринятые, напр., в «Новых началах» картезианца Арно (17 в.), в «Основаниях
геометрии» Гильберта или «Началах математики» Бурбаки (обе — 20 в.),
реализовались именно в жанре евклидовых «Начал». «Начала» оказали огромное
влияние на философскую традицию. Сохранился обширный комментарий неоплатоника
Прокла на первую книгу «Начал». В Новое время по образцу «Начал» (more
geometrico) написал свою «Этику» Спиноза.

А. В. Родин

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН.
Научно-ред. совет: В.С. Степин,
А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т.
II, Е – М, с. 10.

Эвклид (расцвет деятельности ок. 300 до н.э.), также Евклид,
древнегреческий математик, известный прежде всего как автор Начал, самого
знаменитого учебника в истории. Сведения об Эвклиде крайне скудны. Кроме
нескольких анекдотов, нам известно лишь, что учителями Эвклида в Афинах были
ученики Платона, а в правление Птолемея I (306–283 до н.э.) он преподавал во
вновь основанной школе в Александрии.

Сочинения под названием Начала появлялись еще до Эвклида. Так, мы знаем о
существовании Начал Гиппократа Хиосского (ок. 430–400 до н.э.) и некоторых
других авторов, но Начала Эвклида превзошли сочинения его предшественников и
на протяжении более двух тысячелетий оставались основным трудом по
элементарной математике. В 13 частях, или книгах, Начал содержится большая
часть знаний по геометрии и арифметике эпохи Эвклида. Его личный вклад
сводился к такому расположению материала, при котором каждая теорема
логически следовала бы из предыдущих. I книга начинается с определений,
недоказываемых постулатов и «общих понятий», а заканчивается теоремой
Пифагора и обратной ей теоремой. Со времен античности и до 19 в.
неоднократно предпринимались попытки доказать пятый постулат («о
параллельных»). Лишь в 19 в. было окончательно признано, что Эвклид был
прав, полагая, что V постулат невозможно вывести из четырех других
постулатов. Отрицание V постулата лежит в основе так называемых неэвклидовых
геометрий – эллиптической и гиперболической (в первой из них отрицается не
только V, но и II постулат). II книга содержит геометрические теоремы,
эквивалентные некоторым алгебраическим формулам, в том числе и построение
корней квадратных уравнений. III и IV книги посвящены окружности (при работе
над ними Эвклид мог воспользоваться сочинением Гиппократа). В V и VI книгах
излагается теория пропорций Эвдокса и ее приложения, в VII, VIII и IX книгах
– теория чисел, в т.ч. формула для «совершенных» чисел, алгоритм Эвклида
нахождения наибольшего общего делителя и доказательство несуществования
наибольшего простого числа. По мнению многих, X книга – наиболее красивая
часть Начал. Она посвящена несоизмеримым величинам (парам величин одинаковой
размерности, не представимых в виде отношения целых чисел). Возможно, что в
основу этой книги Эвклид положил теорию Теэтета (умер в 369 до н.э.).
Последние три книги Начал посвящены стереометрии и завершаются
доказательством того, что существуют пять и только пять правильных
многогранников. Авторство т.н. ХIV и ХV книг сомнительно: ХIV книга,
возможно, принадлежит Гипсиклу (ок. 180 до н.э.), а XV книга, быть может,
написана Исидором Милетским (ок. 520 н.э.).

Текст Начал сохранился в шести греческих рукописях, датируемых 9–12 вв.
Имеются и арабские рукописи того же периода, но они столь же фрагментарны,
как и более древние греческие рукописи. Две из ранних греческих рукописей
содержат также менее крупные сочинения Эвклида – Оптику (геометрические
теоремы о прямолинейном распространении света) и Феномены (об астрономии и
сферической геометрии). Последнее сочинение написано в стиле более раннего
трактата О движущейся сфере Автолика (ок. 330 до н.э.). Это свидетельствует
о том, что Эвклид мог позаимствовать форму своих сочинений у более ранних
авторов. Сохранились еще два сочинения Эвклида, одно на древнегреческом,
другое только в арабском переводе. В первом из них (Данные) рассматривается
вопрос о том, что необходимо знать, чтобы задать фигуру, во втором (О
делении фигур) решается задача о разбиении данной фигуры на другие с
требуемыми свойствами формы и площади. (Это сочинение использовал Леонардо
Пизанский в трактате 1120 года Практика геометрии.)

Пять дошедших до нас сочинений Эвклида составляют лишь малую часть его
наследия. Названия многих его утерянных сочинений известны со слов
древнегреческих комментаторов: Псевдария (о логических ошибках), Поризмы (об
условиях, определяющих кривые), Конические сечения (это сочинение Эвклида
послужило основой для более обширного сочинения Аполлония с тем же
названием), Геометрические места на поверхностях (по-видимому, о конусах,
сферах и цилиндрах или о кривых на этих поверхностях), Начала музыки
(возможно, с изложением пифагорейской теории гармонии) и Катоптрика (о
свойствах зеркал). Дошедшая до нас Катоптрика, хотя и носит имя Эвклида, в
действительности представляет собой более позднюю компиляцию, возможно,
составленную Теоном Александрийским (ок. 350 н.э.), но не исключено, что в
ее основу положено сочинение Эвклида, написанное под тем же названием и в
той же форме. Арабские авторы приписывают Эвклиду и различные трактаты по
механике, в том числе сочинения о весах и об определении удельного веса.

Использованы материалы энциклопедии «Мир вокруг нас».

О жизни Евклида почти ничего не известно.
Первый комментатор «Начал» Прокл (V
век нашей эры) не мог указать, где и когда
родился и умер Евклид. Некоторые
биографические данные сохранились на
страницах арабской рукописи XII века: «Евклид,
сын Наукрата, известный под именем «Геометра»,
ученый старого времени, по своему
происхождению грек, по местожительству
сириец, родом из Тира».

Царь Птолемей I привлекал в Египет
ученых и поэтов, создав для них храм муз —
Мусейон. В числе приглашенных ученых
оказался и Евклид, который основал в
Александрии — столице Египта —
математическую школу и написал для ее
учеников свой фундаментальный труд,
объединенный под общим названием «Начала».
Он был написан около 325 года до нашей эры.

«Начала» состоят из тринадцати
книг, построенных по единой логической
схеме. Каждая из тринадцати книг
начинается определением понятий (точка,
линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в
ней используются, а затем на основе
небольшого числа основных положений (5
аксиом и 5 постулатов), принимаемых без
доказательства, строится вся система
геометрии.

Книги I-IV охватывали геометрию, их
содержание восходило к трудам
пифагорейской школы. В книге V
разрабатывалось учение о пропорциях. В
книгах VII-IХ содержалось учение о числах,
представляющее разработки пифагорейских
первоисточников. В книгах Х-ХII содержатся
определения площадей в плоскости и
пространстве (стереометрия), теория
иррациональности (особенно в Х книге); в
XIII книге помещены исследования
правильных тел.

«Начала» Евклида представляют
собой изложение той геометрии, которая
известна и поныне под названием
евклидовой геометрии. Она описывает
метрические свойства пространства,
которое современная наука называет
евклидовым пространством. Это
пространство пустое, безграничное,
изотропное, имеющее три измерения. Евклид
придал математическую определенность
атомистической идее пустого
пространства, в котором движутся атомы.
Простейшим геометрическим объектом у
Евклида является точка, которую он
определяет как то, что не имеет частей.
Другими словами, точка — это неделимый
атом пространства.

Учение о параллельных прямых и
знаменитый пятый постулат («Если
прямая, падающая на две прямые, образует
внутренние и по одну сторону углы меньшие
двух прямых, то продолженные
неограниченно эти две прямые встретятся
с той стороны, где углы меньше двух прямых»)
определяют свойства евклидова
пространства и его геометрию, отличную от
неевклидовых геометрий.

На протяжении четырех столетий «Начала»
публиковались 2500 раз: в среднем выходило
ежегодно 6-7 изданий. До XX века книга
считалась основным учебником по
геометрии не только для школ, но и для
университетов.

Евклиду принадлежат частично
сохранившиеся, частично
реконструированные в дальнейшем
математические сочинения. Именно он ввел
алгоритм для получения наибольшего
общего делителя двух произвольно взятых
натуральных чисел и алгоритм, названный
«счетом Эратосфена», — для нахождения
простых чисел от данного числа.

Евклид заложил основы геометрической
оптики, изложенные им в сочинениях «Оптика»
и «Катоптрика». У Евклида мы
встречаем также описание монохорда —
однострунного прибора для определения
высоты тона струны и ее частей.
Изобретение монохорда имело важное
значение для развития музыки. Постепенно
вместо одной струны стали использоваться
две или три. Так было положено начало
созданию клавишных инструментов, сначала
клавесина, потом пианино.

Конечно, все особенности евклидова
пространства были открыты не сразу, а в
результате многовековой работы научной
мысли, но отправным пунктом этой работы
послужили «Начала» Евклида. Знание
основ евклидовой геометрии является ныне
необходимым элементом общего
образования во всем мире.

Перепечатывается с сайта http://100top.ru/encyclopedia/

Далее читайте:

Исторические лица Греции
(биографический справочник).

Греция, Эллада, южная
часть Балканского полуострова, одна из наиболее важных исторических стран
древности.