Сказка про числовые и буквенные выражения

АННОТАЦИЯ

В начальной классее основное содержание математики включает материалы, охватывающие основные разделы математики (арифметика, алгебра и геометрия). На более поздних этапах владение учащимися математикой зависит от того, насколько они усвоили эти научные концепции. В этой статье анализируются вопросы, по которым ученики начальной школы могут объяснять алгебраические понятия на уроках математики и в какой форме.

ABSTRACT

In primary school, the main content of mathematics includes materials covering the main sections of mathematics (arithmetic, algebra and geometry). In later stages, students’ proficiency in mathematics depends on how much they have internalized these scientific concepts. This article analyzes the questions on which elementary school students can explain algebraic concepts in mathematics lessons and in what form.

Ключевые слова: символика расходов, буквенная символика, числовое выражение, числовая ось, уравнение, неравенство, арифметические действия, скобки, неизвестное число, понятие суммы.

Keywords: symbols of expenses, alphabetic symbols, numerical expression, number axis, equation, inequality, arithmetic operations, brackets, unknown number, concept of the amount.

Сегодня цифровизация экономики считается одним из приоритетов во всем мире, в том числе и в нашей стране. Чтобы решить эту проблему, необходимо углубленно и глубоко изучать математику.

Основываясь на этом, мы анализируем способы для будущих учителей начальных классов, которыми некоторые алгебраические понятия преподаются  ученикам младших классов на уроках математики. В соответствии с государственным образовательным стандартом школьникам начальных классов необходимо обучать следующим понятиям по алгебре:

1. Элементы буквенной символики: Математические и буквенные символы для изложения количества; символы, представляющие арифметические операции.
2. Алгебраические выражения: Числовые и буквенные выражения, числовые значения числовых выражений, операции над числовыми и буквенными выражениями .
3. Понятие равенства, неравенства и уравнения, решение неизвестных неравенств и уравнений и их описание на числовой оси.

Может возникнуть вопрос: “С какой целью перечисленные выше алгебраические материалы преподаются ученикам начальной школы?” Во-первых, учитель легко и быстро достигает цели, изучая свойства арифметических операций и используя буквенные символы из понятий алгебры при выводе их общих правил.

Поскольку правила лаконичны, просты, они быстро усваиваются учениками и надолго остаются в их памяти. Во-вторых, многие жизненно важные проблемы легко решить в форме уравнений и неравенств, и, связав их с практической повседневной жизнью учеников, можно повысить интерес детей к изучению математики [1].   

Мы считаем целесообразным дать ученикам математические знания о буквальном символизме в начальном образовании в следующей последовательности:

1. От работы над примерами и задачами, которые учат определению алгебраических концепций буквами и, наоборот, чтению алгебраических выражений и концепций, данных буквальными символами в словах, для понимания их значения и содержания;
2. От работы с примерами и задачами, которые учат писать алгебраические выражения, выраженные словами, используя буквенные символы;
3. От работы с примерами и задачами, которые учат чтению алгебраических формул и интерпретации их содержания;
4. От работы над примерами и задачами, которые требуют понимания простых алгебраических законов;
5. От работы с примерами и задачами по поиску числового значения буквальных выражений.

Нужно ли учить  учеников младших классов понятию уравнения, которое является одним из великих и основных понятий науки об алгебре? Если да, то с какого класса начать обучать? Естественно, что возникают вопросы [2].

На этот вопрос первая группа ученых подчеркивает необходимость обучения учащихся понятию уравнений в начальном образовании с самых первых месяцев обучения. Потому что:

а) концепция уравнений играет важную роль в изучении других естественных наук, в выводе их законов. Следовательно, чем больше ученики изучают понятие уравнения, тем лучше.

б) Другая причина, по которой дети изучают уравнения раньше, заключается в том, что эта концепция имеет место в повседневной жизни людей. В результате утверждается, что интерес учеников к этой концепции возрастает и ведет к повышению эффективности урока.

Вторая группа ученых считает, что если с первых дней учеников обучают понятию уравнений, система размещения материалов нарушается, то есть вместо одного образуется два концентра, что делает невозможным изучение уравнений на равной основе. Основной причиной этого является отсутствие математических знаний у первоклассников [3]. Основываясь на многолетних наблюдениях и экспериментах, современные методисты полагают, что целесообразно обучать понятию уравнений с самых первых дней учёбы.

Известно, как упоминалось выше, что  математическая программа начальных классов состоит из материалов трех независимых  наук:  арифметики, алгебры и геометрии. Эти материалы должны преподаваться ученикам в течение года и взаимодополнять друг друга, в противном случае органическая связь между предметами будет утрачена, что приведет к снижению эффективности урока. Кроме того, решение уравнений из текстовых задач, раскрывающих смысл арифметических операций, также требует, чтобы уравнения преподавались в начальных классах. Если численные выражения являются основой для арифметического решения текстовых задач, уравнения являются основой для алгебраического решения текстовых задач [4].  

Задача: Гусь на земле увидел стаю гусей, летящих в небе, и сказал: «Привет вам, сто гусей». Один из гусей в небе ответил: «Нет, мы не сотня гусей. Если бы нам дали гуся, который стоил бы нас и половины нас, и четверти гуся, и вы присоединились к нам, то нас было бы сто». Сколько гусей летало в небе? Решим данную задачу арифметически и алгебраически в обоих методах.

Арифметически: если мы берем количество гусей в целом, то количество гусей — это общая ( ) доля. Мы добавляем 1  к числу гусей доли, чтобы получить 100.

Само собой разумеется, что здесь невозможно добавить 1 гуся к количеству гусей  доли. Поэтому запишем решение задачи в виде числового выражения следующим образом . В этом случае, равно этому .

Теперь мы решаем эту задачу алгебраическим способом, то есть путем построения уравнения: Обозначая число разыскиваемых гусей, то есть количество гусей в небе, через x, мы получаем следующее уравнение:

В этом случае    

Возникает

.

Как только задача решена, учитель спрашивает учеников, какой метод лучше, проще, и говорит им, что следующий метод — это алгебраический метод решения задачи. Чтобы найти решение задачи, можно перейти к полному алгебраическому методу, приведя еще несколько примеров, подобных алгебраическому методу.

Таким образом, учитывая, что алгебраический метод решения задачи понятен сегодняшним ученикам начальной школы, и порядок операций четко обозначен, учителю гораздо сложнее написать формулу арифметической задачи, состоящую из чисел. Поэтому целесообразно решить эту проблему путем построения уравнения.

Список литературы:

1. Абдуллаева Б.С., Садыкова А.В., Тошпулатова М.И. Математика. Учебник для бакалавров высших учебных заведений 5111700 — «Начальное образование и спортивное образование» — Т .: ТДПУ, 2014. — 2600 с.
2. Абдукодиров А. и др. Метод «Кейси-стади»: теория, практика и опыт — Т .: «Тафаккур каноти», 2012 — 131 с.
3. Азизходжаева Н.Х. «Педагогические технологии и педагогические навыки» — Ташкент.: Ташкентский государственный педагогический университет, 2003, 174 с.
4. Бойжигитов, С. К. Совершенствование использования технологии бенчмаркинга в условиях цифровой экономики / С. К. Бойжигитов // Экономика и социум. – 2020. – № 11(78). – С. 527-533.

Тесты по алгебре 7 класс. Тема: «Сложение и вычитание многочленов»

Правильный вариант ответа отмечен знаком +

1. Перед сложением или вычитанием каждый многочлен нужно:

— разложить на множители;

+ привести к стандартному виду;

— преобразовать в одночлен;

— возвести в степень.

2. Какой этап лишний при выполнении сложения (вычитания) многочленов:

— записать операцию, поместив многочлены в скобки и поставив между ними нужный знак;

— раскрыть скобки с учетом знаков перед ними;

— привести подобные члены;

+ представить результат в виде одночлена.

3. Упрости выражение (12x – 35y) – (4x – 23y):

— 8x + 12y;

— 8x – 58y;

+ 8x – 12y;

— 16x – 58y.

4. После приведения подобных членов в выражении (1 – x²) + (2x – 7) + (x² – 3)

— 2x² + 2x + 11;

+ 2x – 9;

— 3x² – x – 3;

— 4x – 9.

5. Алгебраическая сумма многочленов 5,4х – 3,5х² и 2,45х² – 1,6х равна:

+ 3,8х – 1,05х²;

— 7,85х – 5,1х²;

— 4,8х – 1,95х²;

— 1,05х² + 3,8х.

6. Разность многочленов 0,75a² – 2,25b² и 1,5b² + 0,23a² равна:

— -0,75a² – 2,02b²;

+ 0,52a² – 3,75b²;

— 0,98a² – 2,02b²;

— 0,98a² – 3,75b²;

7. Если к многочлену 2х + 5 – 2у прибавить 1, то получится:

— 3х + 5 – 2у;

+ 2х + 6 – 2у;

— 2х + 5 – у;

— 2х + 5 – 3у.

8. Что получится в результате сложения двух противоположных многочленов?

+ 0;

— 1;

— одночлен;

— многочлен.

9. Разность многочлена 2х² – 5х + 6 с противоположным ему многочленом будет равна:

— 0;

— 10х;

+ 4х² – 10х + 12;

— 4х² – 10х.

тест 10. При сложении многочлена 7x² + 2y² – 5 с противоположным ему выражением получится:

+ 0;

— 14x² + 4y² – 10;

— 1;

— x² + y² – 1.

11. Чтобы привести многочлен 2х + 3у – 5 + х + 2у – 7 к стандартному виду, нужно:

— разложить его на слагаемые, взяв многочлены в скобки;

— сложить все числовые значения;

+ привести подобные члены;

— перемножить все числовые и буквенные значения.

12. После приведения многочлена 2х + 3у – 5 + х + 2у – 7 к стандартному виду получится выражение:

— (2х + 3у – 5) + (х + 2у – 7);

+ 3х + 5у – 12;

— 20ху;

— 8ху – 12.

13. В записи многочленов (7_ + 3_ — 10_) и (13_ — 17_ — 2_) пропущены буквенные значения х², х и у. Известно, что при их сложении получился многочлен 5х² + 16у – 27х. Что это за многочлены?

— 7у + 3х² – 10х и 13х – 17у – 2х²;

+ 7х² + 3у – 10х и 13у – 17х – 2х²;

— 7у + 3х – 10х² и 13 х – 17х² – 2у;

— 7х + 3х² – 10у и 13х² – 17х – 2у.

14. В записи многочленов (5_ — 7_ + 11_) и (-2_ + 7_ — 9_) пропущены буквенные значения х, ху и у. Разность этих многочленов представлена в виде многочлена 20ху – 5у – 2х. Что это за многочлены?

+ 5х – 7у + 11ху и -2у + 7х – 9ху;

— 5у – 7х + 11ху и -2х + 7у – 9ху;

— 5х – 7у + 11ху и -2х + 7у – 9ху;

— 5у – 7х + 11ху и -2у + 7х – 9ху.

15. Рассмотри рисунки и скажи, какое выражение показывает, на сколько вторая фигура больше первой:

+ x² — 2y² + 2xy;

— -2y² + 2x² — 3xy;

— 3x² + 4y² + 4xy;

— x² — 4y² + 2xy.

16. Площадь какой из фигур можно представить в виде многочлена, получившегося при сложении двух многочленов: 3х² – 2у² – 2ху и 5у² – 4х² + ху?

17. Чему равна сумма многочленов 2х² + 3ху – 275х + 26у – 14у² и 14у² – 26у – 3ху + 275х – 2х²?

+ 0;

— 4х² + 6ху – 550х + 52у – 28у²;

— 6ху – 275х + 26у – 28у²;

— 4х² – 28у².

18. Если упростить выражение (2 + 3х²) – (х² – 2х + 3) – (х³ + х), то получится многочлен вида:

— х² – 2х + 5;

— х³ + 4х² – 3х + 5;

+ -х³ + 2х² + х – 1;

— -х³ + 2х² – х + 1.

19. Многочлен х² – ху² + 3х²у + 2у² был образован в результате сложения многочленов:

— (5х²у – 2ху² + 2х² – 2у²) + (2х²у + 3ху² – х² + 4у²);

+ (х²у – 3ху² + 2х² – у²) + (2х²у + 2ху² – х² + 3у²);

— (2х²у – ху² + 2х² – у²) + (4х²у + 2ху² – 2х² + 3у²);

— (2х²у – 5ху² + х² – у²) + (х²у + 4ху² – 2х² + 3у²);

тест-20. Значение выражения (0,75х – 0,26у) – (0,25х – 0,06у) + (0,6х – 0,1у) при х=2, у=6 равно:

— 1,4;

— -0,32;

— -0,58;

+ 0.4.

21. Решением уравнения (4х + 37) – (2х – 16) = 63является число:

+ 5;

— 21;

— 3,5;

— 58.

22. Многочлен 5х + 3у получился в результате разности многочленов:

— 3х + 2у и 2х – у;

+ х² – 3х + у и х² – 8х – 2у;

— 6х – 3у и х + 6у;

— 2х – у и 3х + 4у.

23. Сумма многочленов 3х + 2у и 2у – 5х равна разности многочленов:

— 3х – 3у и х + у;

— х – 3у и х + у;

+ 5х + 5у и 7х + у;

— 2х + у и 4х + 3у.

24. Если упростить выражение – (2х + 2,5у) + (х – 1,75у), то получится многочлен:

+ 0,75у – х;

— 3х + 0,75у;

— х + 0,75у;

— 0,75у – 3х.

25. Многочлен 2х + 5у – 7 получился в результате выполнения математических действий с выражениями:

— (х + 2у – 5) – (х + 3у – 2);

+ (3у – х – 2) + (2у + 3х – 5);

— (у + 2х + 3) – (4у – 4х + 4);

— (3х + 6у + 1) – (х + у – 6).

26. В каких выражениях результатом выполнения математических операций будет одночлен:

— (6х + 3у – 2ху) – (6х – 3у + 2ху);

— (3у – 5х – ху) + (3у — 5х + ху);

+ (2х – 5у + 7) – (2х – 5у + 2);

— (х + у – 2) + (х + у – 2).

27. Выбери такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х² – 2х + 7 была равна 2х² – х + 2:

+ х – х² – 5;

— х² + х – 5;

— 5 – х – х²;

— х – х² + 5.

28. Выбери такой многочлен, чтобы его разность с многочленом х + 3у была равна 3х – 2у + 1:

— 2у – 2х – 1;

+ 4х + у + 1;

— 2х + у + 1;

— 4х – у – 1.

29. После преобразования выражения (3х² – 5у + 1) – (2х² + 2у – 2) в многочлен стандартного вида, получается:

— х² – 3у – 1;

— х² + 3у + 1;

— х² – 7у – 1;

+ х² – 7у + 3.

тест_30. Если выражение 2х² – 1 представить в виде суммы двучленов, то оно может иметь вид:

— (2х² + 7) + (х² – 8);

— (х² – 3) + (х² + 4);

— (3х² – 2) + (3 – х²);

+ (2х² – 3х) + (3х – 1).

31. Если многочлен 3х + 7у представить в виде разности двучленов, то он может иметь вид:

+ (2х + 8у) – (у – х);

— (4х – 2у) – (х – 5у);

— (х + 3у) – (2х + 4у);

— (2х + 5у) – (2у – х).

32. В каком случае разность многочленов не будет представлена выражением 2х – 15:

— (3х + 27) – (х + 42);

— (х² + 2х) – (х² + 15);

+ (х² +2х + 7) – (х² – 8);

— (14 – 5х) – (29 – 7х).

33. Какой многочлен нужно прибавить к выражению 7х + 2у – 5, чтобы в результате получился одночлен?

+ 3у – 7х + 5;

— 7х – 5;

— 3х + 2у +5;

— х – 2у – 5.

34. Результатом сложения трех многочленов 3х² – 5х + 7, — х² + х – 2 и х² + 3х – 3 будет выражение:

— 5х² + 9х + 12;

+ 3х² – х + 2;

— х² – х + 5;

— 2х² + х – 2.

35. Какой многочлен нужно вычесть из выражения 5х – 2у + 13, чтобы результат делился на 5 без остатка при любом значении переменной:

— 3х + 2у – 2;

— х + 3у + 5;

+ 13 – 2у – 5х;

— у – 2х + 7.

36. В каком выражении после приведения подобных членов все числовые множители делятся на 3:

— (3х + 2у) – (х + у);

— (2х – 2у) + (х – 2у);

— (3х + у) – (х + 2у);

+ (2х – у) – (2у – х).

37. P₁ = 3х + 2у; P₃ = х + 3у; P₁ + P₂ = P₃. P₂ = ? (P – обозначение многочлена)

+ у – 2х;

— 2х + у;

— 4х – у;

— 4х + 5у.

38. P₁ = 3x – 5y; P₃ = 2x – 2y; P₁ – P₂ = P₃.

P₂ = ?

— 5х – 7у;

— х – 7у;

— 3у – х;

+ х – 3у.

39. После приведения подобных слагаемых в выражении (12x – 3y + 7z) – (5x + 2y + 3z) получится многочлен стандартного вида:

+ 7x – 5y + 4z;

— 7x – y + 10z;

— 7x – y + 4z;

— 7x – 5y + 10z.

тест*40. В каком случае представлен многочлен стандартного вида:

— (2х + 3у) – (у – х);

+ 2х + 3у – 7;

— 3х – у + 2х – 3;

— (5х + 2х) + (у – 3у) + (2 + 4).

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учеников

1. Организационный этап

(2мин)

(Слайд 1)

За окном осень — октябрь на дворе,

А в школе сегодня – открытый урок в 5 Г,

В мир математики погрузимся смело.

И будем мы с вами всецело:

Думать — коллективно!

Решать — оперативно!

Отвечать — доказательно!

Бороться — старательно!

И сложиться все замечательно!!!

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

(5 мин)

Ребята, что вы видите на слайде? (Слайд 2)

3+15;

 a+58;

 (45-23)*4;

 P=(a+b)*2;

S=t*v;

25+y;

30+с;

x-42

А как вы думаете, чем мы сегодня на уроке будем заниматься?

Формулируют тему и цели урока

1)На какие группы можно разделить эти выражения? (числовые, буквенные и формулы)

2) Что такое значение числового выражения? (результат)

3) Назовите числовые выражения?

4) Назовите буквенные выражения.

5) Назовите формулы.

3. Актуализация знаний

(10мин)

Двое учащихся работают по карточкам .

Карточка №1

Составьте выражения по задаче.

Маше а лет, а Пете —  на 10 лет меньше. Сколько лет Маше и Пете вместе. Решите задачу при а =17.

Карточка №2

В одной корзине было x грибов, а в другой – на 15 грибов больше. Сколько грибов было в двух корзинах вместе? Составьте выражения для решения задачи и решите задачу при x =24.

Пока ребята работают по карточкам, мы с вами тоже не будем скучать. Задание аналогичное. (слайд 3)

Составьте выражение по задаче:

1. В одном доме 300 квартир, а во втором доме на с квартир больше. Сколько квартир во втором доме? Сколько квартир в двух домах вместе?
2. Блокнот стоит x рублей, а карандаш на 42 рубля дешевле. Сколько стоит карандаш? Сколько стоят блокнот и карандаш вместе?
3. В танцевальном кружке занимаются 12 девочек и y мальчиков. Сколько всего детей занимаются в танцевальном кружке. Насколько девочек больше, чем мальчиков?

Проверим, что получилось у ребят.(проверка работы по карточкам)

4. Закрепление

изученного материала

(15 мин)

Открываем тетради, записываем в них число, классная работа. Закрепим с вами навыки и умения работы с числовыми буквенными выражениями в ходе решения примеров и задач по теме.

№1.

Найдите значение выражения (218+b)-416, если:

b=329,  b=582, b=416.

№2.

Упростите выражение и найдите его значение.

1)        234+m+328, если m=719;

2)        764-457-n, если n=128.

Учебник №257

Было – 67 к. и +y к.

Пересадили – x к.

Посадили – y к.

Стало — ?к.

Решение:

Ребята, скажите мы сразу можем ответить на данный вопрос?

Что мы должны сделать в первую очередь?

67-x+y.

Если x=18, y= 25, то 67-x+y=67-18+25=74 (к)- стало на первом участке.

Решите задачу№261

О чем говорится в задаче? Как будем ее решать?

Нет.

Составить выражение.

Было — 712л.

Вытекло за 1 ч.-18л.

Вытекло за t ч.-?

Осталось — ?л.

 Составим выражение: V=712-18t;

Если t=4, то 712-18t=712-18*4=640(л).

Если t=12, то 712-18t=712-18*12=496(л).

5. Физкультминутка

(3мин)

Гимнастика для глаз. (слайд 21)

Реснички опускаются,

Глазки закрываются.

Мы спокойно одыхаем,

Сном волшебным засыпаем.

Быстро, быстро поморгали. Посмотрели, не поворачивая головы, вправо, влево, вверх, вниз. Глазки закрыли, отдохнули. Открываем глазки.

Если я буду называть числовое выражение, то поднимаем руки вверх. Если буквенное выражение – опускаем.(1 мин)

5 + 3;         a +8;         28 – 10;         b * 3;         100 – a;         6 + 3 – b;         7 + 24 * 3;  300 – 100;         7 * 3 + x;         73 + 15;         x + y.        

Ну вот, ребята мы с вами всё вспомнили, а теперь проверим на сколько прочно вы это запомнили в ходе выполнения самостоятельной работы.

6. Самостоятельная работа (Карточки)

(5 мин)

Ребята, сейчас я раздаю карточки. Вам необходимо подписать их. Далее читаем задание и выбираем правильный ответ.

Вариант №1

1. При каком значении a верно равенство а * 17 = 102?

а) 85;         б) 1734;         в) 6;         г) другой ответ.

2. Запишите выражение: “частное суммы чисел а и b и произведения чисел 7 и c”.

а) а + b:7 *c;         б) (а + b) :(7 * c) ;         в) (а + b) :7 * c;         г) другой ответ.

3. Составьте выражение для решения задачи: “Брату а лет, а сестра на 8 лет моложе. Сколько лет брату и сестре вместе?”

а) а + 8;         б) а – 8;         в) а + (а + ;         г) другой ответ.

Вариант №2

1. При каком значении b верно равенство b + 143 = 328?

а) 571;         б) 125;         в) 85;         г) другой ответ.

2. Запишите выражение: “произведение частного чисел а и b на разность чисел с и 12”.

а) (а:b) *(с – 12) ;         б) (а:b) * c – 12;         в) а:(b * c) – 12;         г) другой ответ.

3. Составьте выражение для решения задачи: “У Ани b карандашей, а у Тани на 4 больше. Сколько карандашей у них вместе?”

а) b + 4;         б) b + (b + 4) ;         в) b – 4;         г) другой ответ.

7. Рефлексия учебной деятельности на уроке

(2мин)

На уроке мне было:

а) очень интересно;

б) не очень интересно;

в) интересно;

г) совсем не интересно.

Окончен урок, и выполнен план.

Спасибо, ребята, огромное вам.

За то, что упорно и дружно трудились,

И знания точно уж вам пригодились.

8. Информация о

домашнем задании

(2мин)

№262,

№1. Упростите выражение и найдите его значение:

(135+n)-23, если n=73, 60, 0