Сережа поспешил и сдал сочинение учительнице самым первым

Основатели так называемого критического движения в математике сознавали, что на протяжении более двух тысячелетий математики бродили в непролазных дебрях интуитивных представлений, правдоподобных аргументов, индуктивных рассуждений и формального манипулирования символами. Они предложили подвести прочный логический фундамент под те разделы математики, где он отсутствовал, исключить противоречия и те понятия, которые не имели четких определений, а также усовершенствовать обоснование таких разделов математики, как евклидова геометрия. Осуществление этой программы началось в 20-х годах XIX в., хотя в тот период критическое движение затронуло лишь немногих математиков. Когда исследования по неевклидовой геометрии приобрели более широкую известность, это, естественно, весьма стимулировало критическое движение, поскольку были обнаружены существенные изъяны в структуре евклидовой геометрии: стало очевидным, что даже эта часть математики, слывшая нерушимым оплотом и недосягаемым эталоном «истинной» строгости, нуждается в критическом пересмотре. А вскоре (1843) создание кватернионов поставило под сомнение уверенность, с которой математики обращались с вещественными и комплексными числами. Разумеется, многие математики по-прежнему пользовались нестрогими рассуждениями и, получая правильные результаты, убеждали себя в том, что как их доказательства, так и представления, изложенные на страницах учебников по математике, вполне обоснованны и логичны. Однако теперь подобной самоуверенностью страдали далеко не все.

Прекрасно понимая, что от претензий математики на роль носительницы абсолютных истин о реальном мире необходимо отказаться, критически мыслившие математики в то же время отдавали должное колоссальным достижениям своей науки в механике, акустике, гидродинамике, теории упругости, оптике, теории электромагнетизма, а также во многих отраслях техники; они по достоинству оценивали исключительную точность даваемых математикой предсказаний в этих областях. Математика сражалась под непобедимым знаменем истины, но одерживать победы ей позволяла какая-то скрытая и даже таинственная сила. Необычайная эффективность математических методов в естествознании, разумеется, нуждалась в объяснении (гл. XV), но отрицать мощь математики как инструмента познания и отмахиваться от нее не осмеливался никто. Без сомнения, эту мощь не следовало подрывать, погружаясь в лабиринты логических трудностей и противоречий. И хотя математики, поступившись строгими обоснованиями, нарушили собственные принципы доказательности, в их намерения отнюдь не входило навсегда оставлять математику на прагматической основе. На карту был поставлен престиж математиков, ибо как иначе они могли провести грань, отделяющую их возвышенную деятельность от прозаической работы инженеров и ремесленников?

И некоторые математики вознамерились еще раз пройти по едва различимым следам прошлого, оставленным в процессе бурного развития своей науки, и проложить надежные пути к тому, что уже достигнуто. Свои усилия они решили прежде всего направить на построение (или критическую перестройку) оснований математики.

Чтобы привести в порядок здание математики, требовались решительные и крутые меры. К тому времени уже стало ясно, что не существует твердой почвы, на которой можно было бы без опасений заложить фундамент математики: столь надежная на первый взгляд опора на истину оказалась обманчивой. Но, может быть, гигантское здание математики станет устойчивым, если под него подвести прочный фундамент иного рода, представляющий собой полную систему четко сформулированных аксиом, определений и явных доказательств всех результатов, сколь бы интуитивно очевидными они ни казались? Основной акцент делался не на истинность утверждений, а на их логическую совместимость, т.е. непротиворечивость. Теснейшая зависимость между аксиомами и теоремами должна была придать устойчивость всему зданию математики. Отдельные части этого здания оказались бы накрепко стянутыми скрепами независимо от того, насколько прочно само оно опирается на землю. Так колеблется под напором ветра гигантский небоскреб, оставаясь тем не менее единой, цельной конструкцией от крыши до фундамента.

Математики начали с оснований математического анализа. Но поскольку математический анализ предполагает использование арифметики вещественных чисел и алгебры, не имевших обоснования, нелогичность такого шага станет более очевидной, если обратиться к следующей аналогии. Представьте себе, что владелец пятидесятиэтажного дома со множеством жильцов, битком набитого мебелью и различной утварью, узнав о шаткости здания, решает перестроить его — и начинает капитальный ремонт с двадцатого этажа!

Но при всей кажущейся нелогичности выбор отправной точки для перестройки математики все же имел объяснение. К началу XIX в. различные типы чисел стали настолько привычными, что, хотя их использование и не было обосновано в рамках формальной логики, сами по себе свойства чисел не вызывали никаких сомнений. Не возникало трудностей и с применением евклидовой геометрии, хотя она и утратила ореол непогрешимости: безотказное служение человечеству на протяжении двух тысячелетий вселяло уверенность в те ее положения, которые не удавалось обосновать с помощью логики. Однако математический анализ был постоянной мишенью для критики. В этом обширном разделе математики встречались нестрогие доказательства, парадоксы и даже противоречия. К тому же многие результаты не были подкреплены даже практически.

В начале XIX в. проблема строгого обоснования математического анализа привлекла внимание трех мыслителей: священника, философа и математика Бернарда Больцано, Нильса Хенрика Абеля и Огюстена Луи Коши. К сожалению, Больцано жил в Праге, и его работы долгие годы оставались неизвестными. Абель умер в возрасте 27 лет и не успел продвинуться в обосновании анализа сколько-нибудь существенно. Коши работал в Париже, столице математического мира того времени, и к 20-м годам XIX в. имел репутацию одного из величайших математиков мира. Именно поэтому его заслуги в движении за обоснование математики получили наибольшее признание, именно поэтому он оказал наибольшее влияние на своих современников.

Коши решил построить обоснование математического анализа на понятии числа. Почему именно это понятие привлекло его внимание? Англичане, следуя Ньютону, пытались обосновать математический анализ, используя геометрию, — и потерпели неудачу. Коши понимал, что геометрия не может служить основой математического анализа. К тому же математики континентальной Европы, следуя Лейбницу, всегда использовали аналитические методы. Кроме того, хотя к 20-м годам XIX в. работы по неевклидовой геометрии не получили еще широкой известности, математики, по-видимому, были достаточно наслышаны о них, что побуждало их относиться к геометрии с некоторым недоверием. С другой стороны, в царстве чисел математики чувствовали себя достаточно уверенно вплоть до 1843 г., когда Гамильтон создал свои кватернионы; впрочем, даже это знаменательное событие первоначально не вызвало ни малейшего сомнения в том, что с вещественными числами все обстоит благополучно.

Коши поступил весьма мудро, решив построить математический анализ на понятии предела. Как это неоднократно случалось в истории математики, избранный Коши правильный подход уже предлагался ранее некоторыми проницательными умами. Еще в XVII в. Джон Валлис в «Арифметике бесконечно малых» (1655) и шотландский профессор Джеймс Грегори в «Истинной квадратуре окружности и гиперболы» (1667), а затем в XVIII в. Д’Аламбер со всей определенностью указали на понятие предела как на наиболее подходящую основу построения анализа.^{86} Особое значение имели взгляды Д’Аламбера, базировавшиеся на трудах Ньютона, Лейбница и Эйлера. Свое понимание предела Д’Аламбер отчетливо сформулировал в статье «Предел», написанной для «Энциклопедии» (1751-1765):

Д’Аламбер написал для «Энциклопедии» также статью «Дифференциал», в которой дал обзор работ Барроу, Ньютона, Лейбница, Ролля и других математиков и утверждал, что дифференциал — бесконечно малая величина, т.е. меньше любой «наперед заданной величины». Д’Аламбер счел нужным пояснить, что использует такую терминологию, следуя установившейся традиции. Что же касается самой терминологии, то она, по мнению Д’Аламбера, отличается еще большей краткостью и неясностью, чем подлежащее определению понятие. Правильная терминология и правильный подход должны быть основаны на понятии предела. Д’Аламбер критиковал Ньютона за то, что тот «объяснял» производную как скорость: ведь ясного представления о мгновенной скорости не существует и такое «объяснение», по мнению Д’Аламбера, вводит в математику чисто физическое понятие — движение. В своем сочинении «Разное» (Mélanges, 1767) Д’Аламбер повторил: «Любая величина есть либо нечто, либо ничто. Если величина есть нечто, то ей не дано исчезнуть бесследно. Если величина есть ничто, то она исчезает полностью». Д’Аламбер указал также на понятие предела. Но сам он не развил свою идею о пределе применительно к обоснованию математического анализа, и его современники не смогли оценить ее по достоинству.

Концепцию предела можно также обнаружить в «Размышлениях о метафизике исчисления бесконечно малых» Карно, в работе Люилье от 1786 г., удостоенной премии Берлинской академии наук, и в работе Карно, не получившей премии, но тем не менее удостоенной похвального отзыва той же академии. Весьма возможно, что все эти работы оказали влияние на формирование взглядов Коши. Во всяком случае, во введении к знаменитому ныне «Курсу алгебраического анализа» (Cours d’analyse algébrique, 1821) Коши высказался со всей определенностью: «Что же касается методов, то я стремился придать им ту степень строгости, которая достижима в математике».

Несмотря на слово «алгебраический», которое Коши вынес в заголовок своего курса, он не разделял традиционной веры в «общность алгебры». Коши имел здесь в виду рассуждения, неявно используемые его современниками: то, что истинно для вещественных чисел, истинно и для комплексных чисел; то, что истинно для сходящихся рядов, истинно и для расходящихся рядов; то, что истинно для конечных величин, истинно и для бесконечно малых величин. Коши очень тщательно определил и установил свойства основных понятий математического анализа: функции, предела, непрерывности, производной и интеграла. Он также ввел различие между бесконечными рядами, имеющими сумму в указанном им смысле, и бесконечными рядами, не имеющими такой суммы, т.е. различие между сходящимися и расходящимися рядами. Последние Коши объявил «вне закона».^{88} В октябре 1826 г. Абель имел все основания сообщить в письме своему бывшему учителю Хольмбе, что Коши «в настоящее время единственный, кто знает, как следует действовать в математике». Далее Абель называет Коши глупцом и фанатиком, но замечает, что тот по крайней мере считает необходимым «воздать дьяволу дьяволово».

Хотя Коши поставил своей целью обоснование математического анализа и заявил в переиздании своего курса (1829), что достиг мыслимых пределов строгости, он допустил немало ошибок, впрочем вполне понятных, если учесть тонкость затронутых им понятий. Приведенные Коши определения функции, предела, непрерывности и производной по существу были правильными, но язык, которым ему приходилось пользоваться, не отличался ни ясностью, ни точностью. Подобно своим современникам, Коши был убежден, что из непрерывности следует дифференцируемость (гл. VII), и сформулировал множество теорем, в условиях которых предполагал только непрерывность, тогда как в доказательстве использовал дифференцируемость, причем упорствовал в своих заблуждениях, даже когда ему указывали на ошибку. Введя со всеми необходимыми оговорками определение столь важного понятия, как «определенный интеграл», Коши намеревался показать, что для любой непрерывной функции значение такого интеграла существует и единственно; однако предложенное им доказательство оказалось ошибочным (поскольку Коши не сознавал необходимости введения более тонкого понятия — равномерной непрерывности).^{89} Ясно понимая различие между сходящимися и расходящимися рядами, Коши тем не менее неоднократно предлагал неверные теоремы о расходящихся рядах и приводил ошибочные доказательства. Так, он утверждал — и более того, доказывал, — что сумма бесконечного ряда непрерывных функций непрерывна (это верно лишь при условии равномерной непрерывности). Коши почленно интегрировал бесконечные ряды, утверждая, что проинтегрированный ряд соответствует интегралу от функции, представленной исходным рядом (и в этом случае его ошибка была обусловлена непониманием необходимости равномерной сходимости). Коши предложил критерий сходимости последовательности, ныне известный под названием критерия Коши, но не сумел доказать его достаточность, так как для доказательства этого требовалось использовать такие свойства вещественных чисел, которые не были известны ни Коши, ни его современникам. Коши был также убежден, что если функция двух переменных имеет в некоторой точке предел, когда каждая из переменных в отдельности стремится к точке, то эта функция должна стремиться к пределу и в том случае, когда обе переменные изменяются одновременно и (переменная) точка M (x, y) стремится к рассматриваемой точке N (a, b).^{90}

С самого начала работы по обоснованию математического анализа носили сенсационный характер. После заседания Парижской академии наук, на котором Коши изложил свою теорию сходимости рядов, Лаплас поспешил домой и оставался там взаперти до тех пор, пока не проверил на сходимость все ряды, которые он использовал в своей «небесной механике». Велика же была его радость, когда он обнаружил, что ряды сходятся.

Как ни парадоксально, сам Коши отнюдь не был склонен сковывать себя требованиями математической строгости. Написав три учебника (1821, 1823 и 1829) главным образом с целью строгого обоснования математического анализа, Коши в своих исследованиях продолжал полностью игнорировать строгость. Дав определение непрерывности, Коши никогда не доказывал, что рассматриваемые им функции непрерывны. Неоднократно подчеркивая важность сходимости рядов и несобственных интегралов, Коши оперировал с бесконечными рядами, преобразованиями Фурье и несобственными интегралами так, словно никаких проблем сходимости не существовало. Определив производную как предел, Коши предложил и чисто формальный подход, аналогичный предложенному Лагранжем (гл. VI). Коши допускал и полусходящиеся (осциллирующие) ряды, например 1 − 1 + 1 − 1 + … и перестановку членов в так называемых условно сходящихся рядах (некоторых рядах с положительными и отрицательными членами). Совершал он и другие «преступления», но безошибочная интуиция позволяла ему угадывать истину даже в тех случаях, когда ему не удавалось установить ее в соответствии со стандартами строгости, присущими его же собственным учебникам математического анализа.

Труды Коши вызвали к жизни многочисленные работы по обоснованию математического анализа. Но основной вклад в решение этой важной проблемы был внесен другим выдающимся математиком — Карлом Вейерштрассом (1815-1897). Именно ему суждено было завершить обоснование математического анализа. Результаты своих исследований Вейерштасс начал излагать в лекциях, прочитанных в 1858-1859 гг. в Берлинском университете. Самые ранние из сохранившихся конспектов лекций Вейерштрасса были сделаны его учеником Германом Амандусом Шварцем весной 1861 г. Труды Вейерштрасса полностью освободили математический анализ от какой бы то ни было зависимости от движения, интуитивных представлений и геометрической наглядности, которые во времена Вейерштрасса выглядели уже довольно подозрительно.

К 1861 г. Вейерштрасс отчетливо понимал, что вопреки широко распространенному убеждению (гл. VII) дифференцируемость отнюдь не следует из непрерывности. Мир был потрясен, когда в 1872 г. Вейерштрасс представил Берлинской академии пример функции, непрерывной при всех вещественных x, но не дифференцируемой ни при одном значении x. (Он сам не опубликовал свой пример; это было сделано, разумеется со ссылкой на Вейерштрасса, Полем Дюбуа-Реймоном в 1875 г. Ранее Вейерштрасса примеры непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции были с помощью геометрических соображений построены Больцано в 1830 г. и Шарлем Селирье примерно в то же время, но второй из этих примеров был опубликован лишь в 1890 г., а первый — еще позже; в силу этого Больцано и Селирье не оказали влияния на развитие математики.)

То обстоятельство, что Вейерштрасс привел свой пример на позднем этапе развития математического анализа, следует расценивать как удачу, ибо, как сказал в 1905 г. Эмиль Пикар, «если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции необязательно должны иметь производные, то дифференциальное исчисление никогда не было бы создано». Строгое мышление может стать препятствием для творческого начала.

Коши и даже Вейерштрасс — в начале своей деятельности по обоснованию математического анализа — рассматривали все свойства вещественных и комплексных чисел как нечто данное, не нуждающееся в обосновании. Первый шаг к логическому обоснованию вещественных и комплексных чисел был сделан в 1837 г. создателем кватернионов Гамильтоном. Гамильтон знал, что комплексные числа можно использовать для представления векторов на плоскости, и пытался найти (гл. IV) числа с тремя единицами, которые могли бы служить представлением векторов в пространстве. Гамильтон стал изучать свойства комплексных чисел с тем, чтобы обобщить их. Одним из результатов, изложенных в его работе «Алгебраические пары, с предварительным очерком о времени», было логическое обоснование комплексных чисел, при построении которого Гамильтон, однако, считал свойства вещественных чисел общеизвестными. Вместо комплексных чисел a + b√−1 Гамильтон ввел упорядоченные пары (a, b) вещественных чисел и определил операции над этими парами так, чтобы результаты совпадали с результатами операций, производимых над комплексными числами a + b√−1.^{91} Следует заметить, что Гамильтону пришлось создавать новую теорию комплексных чисел, поскольку для него, как и для всех его предшественников, были неприемлемы не только символ √−1, но до какого-то времени и отрицательные числа. Позднее в одной из своих работ Гамильтон писал:

Настоящая теория пар опубликована, дабы продемонстрировать скрытый смысл [комплексных чисел] и показать на этом примечательном примере, что выражения, которые все считали чисто символическими и не допускавшими интерпретации, входят в мир идей, обретая реальность и значимость,

Далее в той же статье говорится следующее:

Так Гамильтон убрал то, что он назвал «метафизическими камнями преткновения» в системе комплексных чисел.

В свою теорию пар Гамильтон включил и свойства вещественных чисел — пар вида (a, 0). В работе от 1837 г. он попытался логически обосновать систему вещественных чисел. Исходя из понятия времени, Гамильтон вывел свойства положительных целых чисел, а затем распространил эти свойства на рациональные (положительные и отрицательные целые числа и дроби) и иррациональные числа. Но развитая Гамильтоном теория была логически весьма несовершенна и особенно несостоятельна во всем, что касалось иррациональных чисел. Она была не только неясно изложена, но и неверна. Математический мир вполне справедливо просто не заметил эту работу Гамильтона. Интерес Гамильтона к обоснованию вещественных и комплексных чисел был ограниченным. Истинной целью его исследований были кватернионы. Но когда Гамильтону случалось работать в области математического анализа, он, подобно большинству своих современников, без малейших колебаний свободно оперировал свойствами вещественных и комплексных чисел.

Вейерштрасс первым понял, что обоснование математического анализа останется незавершенным, если не добиться более глубокого понимания системы вещественных чисел, и первым предложил строгое определение и вывод свойств иррациональных чисел на основе известных свойств рациональных чисел. Свои исследования Вейерштрасс начал еще в 40-х годах XIX в., но его результаты долгое время оставались неопубликованными; впервые они стали известны лишь из лекций, прочитанных Вейерштрассом в Берлинском университете в 60-е годы.

Некоторые другие математики, прежде всего Рихард Дедекинд и Георг Кантор, также правильно определили иррациональные числа и доказали их свойства, приняв за исходные свойства рациональных чисел. Работы этих математиков были опубликованы в 70-х годах XIX в. Дедекинд, как и в Вейерштрасс, отчетливо сознавал необходимость ясной теории иррациональных чисел для последовательного изложения математического анализа. В небольшой книге «Непрерывность и иррациональные числа» (1872) [46] Дедекинд писал, что начиная с 1858 г. он «острее, чем когда-либо, ощущал отсутствие строгого обоснования арифметики». В работе о теоремах анализа (гл. IX) Кантор также признавал необходимость последовательной теории иррациональных чисел. Работы Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора позволили математикам наконец доказать, что √2′√3 = √6.

Однако логическое обоснование рациональных чисел по-прежнему отсутствовало. Дедекинд понимал это и в работе «Что такое числа и для чего они служат» (1888) [47] описал основные свойства чисел, которые могли бы стать основой аксиоматического подхода к рациональным числам. Джузеппе Пеано (1858-1932), используя идеи Дедекинда и некоторые идеи, заимствованные из «Учебника арифметики» (1861) Германа Грассмана, построил в работе «Элементы арифметики» (1889) теорию рациональных чисел из аксиом, описывающих свойства положительных целых — (натуральных) чисел.^{92} Наконец логическая структура систем вещественных и комплексных чисел была создана.

Как побочный результат обоснования числовой системы была решена проблема обоснования привычной всем алгебры. Почему, свободно манипулируя символами так, как если бы они были натуральными числами, мы получаем верные результаты и в том случае, если вместо символов подставляем вещественные или комплексные числа? Это происходит потому, что вещественные и комплексные числа обладают такими же формальными свойствами, что и натуральные числа. Если не гнаться за строгостью, то можно сказать,что верно не только равенство 2′3 = 3′2, но и равенство √2′√3 = √3′√2.

Иначе говоря, ab можно заменить на ba независимо от того, означают ли a и b натуральные или иррациональные числа.

Весьма примечательна последовательность, в которой развивались события. Вместо того, чтобы, начав с целых чисел и дробей, перейти к иррациональным и комплексным числам, алгебре и математическому анализу, ученые решали проблему обоснования математики в обратном порядке. Они действовали так, будто крайне неохотно затрагивали проблемы, которые, как всем было ясно, можно было до поры до времени обходить стороной, и принимались за обоснование лишь в тех случаях, когда это вызывалось настоятельной необходимостью. Как бы то ни было, в 90-е годы XIX в., через каких-нибудь шесть тысяч лет (!) после того, как египтяне и вавилоняне «пустили в оборот» целые числа, дроби и иррациональные числа, математики смогли наконец доказать, что 2 + 2 = 4. Стало ясно, что даже великие математики должны заботиться о математической строгости.

В конце XIX в. была решена еще одна выдающаяся проблема. На протяжении 60 лет — с того времени, когда Гаусс выразил уверенность в непротиворечивости построенной им неевклидовой геометрии, вероятно, считая, что она может явиться геометрией реальной Вселенной, и вплоть до начала 70-х годов XIX в., когда были опубликованы работы Гаусса по неевклидовой геометрии и (впоследствии прославленная, а первоначально не оцененная) пробная лекция Римана на получение звания приват-доцента, — большинство математиков не принимали неевклидову геометрию всерьез (гл. IV). Выводы, напрашивающиеся из самого существования неевлидовой геометрии, настолько пугали своей непривычностью, что ученые предпочитали не задумываться над ними. У математиков все еще теплилась надежда, что в один прекрасный день в каждой из нескольких предложенных неевклидовых геометрий вскроются противоречия и эти странные творения человеческой фантазии можно будет предать забвению как бессмысленные.

К счастью, вопрос о непротиворечивости элементарных неевклидовых геометрий наконец удалось разрешить. Метод, которым была решена эта проблема, заслуживает — особенно в свете последующих событий — того, чтобы познакомиться с ним подробнее. Одна из неевклидовых геометрий — так называемая удвоенная эллиптическая геометрия, идея которой содержалась в лекции Римана 1854 г., — существенно отличается от евклидовой геометрии. В этой геометрии нет параллельных; любые две прямые пересекаются в двух точках; сумма внутренних углов треугольника больше 180°. Многие другие ее теоремы также отличаются от своих евклидовых аналогов. В 1868 г. Эудженио Бельтрами (1835-1900) обнаружил, что удвоенная эллиптическая геометрия плоскости применима к поверхности сферы, если прямые в удвоенной эллиптической геометрии интерпретировать как большие окружности на сфере (окружности, центры которых совпадают с центром сферы, например окружности, образуемые меридианами).

Может показаться, что предложенная Бельтрами интерпретация удвоенной эллиптической геометрии неприемлема. Создатели всех неевклидовых геометрий показали, что в их геометриях прямые ничем не отличаются от евклидовых прямых. Напомним, однако, что предложенные Евклидом определения прямой и других понятий (гл. V) были излишними. В любой области математики, как подчеркивал Аристотель, мы должны начинать наши построения с неопределяемых понятий. От прямых требуется лишь, чтобы они удовлетворяли аксиомам. Но большие окружности на сфере удовлетворяют всем аксиомам удвоенной эллиптической геометрии. А поскольку аксиомы удвоенной эллиптической геометрии применимы к большим окружностям на сфере, к этим окружностям должны быть применимы и теоремы удвоенной эллиптической геометрии, так как они логически вытекают из аксиом.

Если исходить из интерпретации прямой как большой окружности, то непротиворечивость удвоенной эллиптической геометрии устанавливается следующим образом. Если бы в удвоенной эллиптической геометрии существовали противоречивые теоремы, то должны были бы существовать противоречивые теоремы и в сферической геометрии — геометрии на поверхности сферы. Но сфера — один из объектов, изучаемых евклидовой геометрией. Следовательно, если евклидова геометрия непротиворечива, то должна быть непротиворечива и удвоенная эллиптическая геометрия.

Доказать непротиворечивость гиперболической геометрии (гл. IV) оказалось не так просто. Но как непротиворечивость удвоенной эллиптической геометрии удалось доказать на модели — сферической поверхности, так и непротиворечивость гиперболической геометрии была доказана на модели — несколько более сложной поверхности трехмерного евклидова пространства, изучаемой в (евклидовой!) дифференциальной геометрии. Нам нет необходимости описывать эту модель (см., например, [48]). Заметим лишь, что непротиворечивость гиперболической геометрии означает помимо прочего независимость аксиомы Евклида о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии. Действительно, если бы аксиома Евклида о параллельных не была независима от остальных аксиом евклидовой геометрии, т.е. если бы ее можно было вывести из них, то она была бы теоремой гиперболической геометрии, так как, за исключением аксиомы о параллельных, все остальные аксиомы гиперболической геометрии совпадают с аксиомами евклидовой геометрии. Но эта евклидова «теорема» противоречила бы аксиоме о параллельных гиперболической геометрии и гиперболическая геометрия была бы противоречивой. Следовательно, полуторавековые попытки вывести аксиому Евклида о параллельных (пятый постулат Евклида) из других аксиом евклидовой геометрии были заранее обречены на провал.

Неевклидовы геометрии, задуманные как «геометрии реального пространства», где прямая имеет тот же смысл (тот же вид, то же строение), что и в евклидовой геометрии, оказались применимыми к фигурам, совершенно отличным от тех, которые имели в виду создатели неевклидовых геометрий, и это важное обстоятельство имело серьезные последствия: неевклидовы геометрии получили совершенно различные интерпретации, ибо (как мы уже неоднократно отмечали) в любой аксиоматике должны быть неопределяемые понятия, которым в принципе можно придать какой угодно смысл — только бы удовлетворялись определяющие эти понятия аксиомы. Интерпретации неевклидовых геометрий получили название моделей. Таким образом, физический смысл той или иной математической теории оказался необязательным: одна и та же теория могла применяться к совершенно различным физическим или математическим ситуациям.

Непротиворечивость неевклидовых геометрий была доказана в предположении, что евклидова геометрия непротиворечива. У математиков 70-80-х годов прошлого века непротиворечивость евклидовой геометрии сомнений не вызывала. Несмотря на работы Гаусса, Лобачевского, Бойаи и Римана, евклидову геометрию продолжали считать естественной и непременной геометрией реального мира, а сама мысль о том, что геометрия реального мира может быть внутренне противоречивой, казалась нелепой. Тем не менее непротиворечивость евклидовой геометрии не была доказана логически.

Многие математики, относившиеся к неевклидовой геометрии почти презрительно, с удовлетворением восприняли доказательства непротиворечивости ее различных вариантов совсем по другой причине: дело в том, что хотя неевклидовы геометрии обретали смысл, но, как следовало из приведенных доказательств, лишь как модели, которые строились в рамках евклидовой геометрии. Это позволяло принять их как геометрии, реализуемые на тех или иных поверхностях, а не как геометрии, применимые к физическому миру, где прямые понимались в обычном смысле. Разумеется, подобный подход полностью противоречил взглядам Гаусса, Лобачевского и Римана (а в несколько ином смысле — и Бойаи).

Нерешенной оставалась лишь одна фундаментальная проблема, связанная с наведением строгости в математике: в основаниях евклидовой геометрии обнаружились изъяны. Однако в отличие от математического анализа природа геометрии и ее понятий была ясна. Установить неопределяемые термины, уточнить определения, восполнить недостающие аксиомы и завершить доказательства было сравнительно простой задачей. Она была решена независимо Морицем Пашем (1843-1930), Джузеппе Веронезе (1854-1917) и Марио Пиери (1860-1904). Давид Гильберт (1862-1943), по достоинству оценивший вклад Паша, предложил свой вариант аксиоматического построения евклидовой геометрии, который наиболее широко используется в наши дни. На едином дыхании он заложил основания неевклидовой геометрии Ламберта, Гаусса, Лобачевского и Бойаи, а также других геометрий, созданных в XIX в., главным образом проективной геометрии.^{93}

Так, к началу XX в. математическая строгость восторжествовала в арифметике, алгебре, математическом анализе (начала которого базировались на аксиомах для целых чисел) и геометрии (на основе аксиом для точек, прямых и других геометрических объектов). Многих математиков соблазняла возможность пойти еще дальше и достроить на понятии числа всю геометрию — план, осуществимый с помощью аналитической геометрии. Сама геометрия как таковая по-прежнему не вызывала у них доверия. У математиков еще не изгладился из памяти один из уроков, преподанных им неевклидовой геометрией, которая выявила серьезные изъяны в евклидовой геометрии, считавшейся до сих пор образцом математической строгости. Однако к началу XX в. программа сведения всей геометрии к числу не была выполнена. Тем не менее большинство математиков того времени говорили об арифметизации геометрии, хотя правильнее было бы говорить об арифметизации математического анализа. Так, на II Международном конгрессе математиков, состоявшемся В 1900 г. в Париже, Пуанкаре утверждал: «На сегодняшний день в математическом анализе остались только целые числа, а также конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой системой отношений равенства или неравенства. Математика, можно сказать, арифметизована». Паскалю принадлежит следующее высказывание: «Tout ce qui passe la Géométrie nous passe» (все, что выходит за рамки Геометрии, выходит за рамки нашего понимания). В начале XX в. математики предпочитали говорить иначе: «Tout ce qui passe l’Arithmétique nous passe» (все, что выходит за рамки Арифметики, выходит за рамки нашего понимания).

Движения, первоначально ставившие перед собой довольно ограниченные цели, по мере своего разрастания нередко начинают охватывать гораздо более широкий круг проблем, чем ранее предполагалось. Критическое движение в области оснований математики со временем сделало мишенью своих атак и логику — законы мышления, используемые в математических доказательствах при переходе от одного заключения к другому.

Начало логике как науке было положено сочинением Аристотеля «Органон» (Инструмент [мышления], около 300 г. до н.э.) [см. прим. {38} к гл. IV]. По признанию Аристотеля, он выделил законы мышления, используемые математиками, абстрагировал их от частностей и обнаружил, что эти законы обладают универсальной применимостью. Так, один из фундаментальных законов аристотелевой логики, закон исключенного третьего, гласит: всякое имеющее смысл высказывание либо истинно, либо ложно. Закон исключенного третьего Аристотель мог абстрагировать, например, из такого математического утверждения, как «всякое целое число либо четно, либо нечетно». Логика Аристотеля в основном представляла собой силлогистику — набор правил о выводе новых утверждений из уже известных.

На протяжении более чем двух тысячелетий логика Аристотеля не вызывала возражений у мыслителей, в частности у математиков. Правда, Декарт, подвергавший сомнению любые убеждения и учения, задал вопрос: откуда нам известно, что законы логики правильны? И сам же ответил на него: господь бог не стал бы вводить нас в заблуждение. Так Декарт обосновал для себя всеобщую убежденность в правильности законов логики.

Декарт и Лейбниц надеялись, что им удастся расширить логику до универсальной науки о мышлении, применимой ко всем областям человеческого разума, — построить своего рода универсальное исчисление мышления. Они намеревались уточнить и облегчить применение законов мышления введением буквенной символики, подобной алгебраической. О математическом методе Декарт отзывался так: «Это более мощный инструмент познания, чем все остальные, что дала нам человеческая деятельность, ибо он служит источником всего остального».

По замыслам Лейбница, имевшим несколько более конкретный характер, чем планы Декарта, для построения универсальной логики необходимы три основных элемента. Первый элемент — универсальный научный язык (characteristica universalis), частично или полностью символический и применимый ко всем истинам, выводимым посредством рассуждений. Вторая составная часть — исчерпывающий набор логических форм мышления (calculus ratiocinator), позволяющих осуществить любой дедуктивный вывод из начальных принципов. Третий элемент — набор основных понятий (ars сотbinatoria), через которые определяются все остальные понятия, своего рода алфавит мышления, позволяющий сопоставить символ каждой простой идее. Комбинируя символы и производя над ними различные операции, мы получаем возможность выражать и преобразовывать более сложные понятия.

К числу фундаментальных принципов следует отнести, например, закон тождества: A есть A (и A не есть «не A»). Из таких законов можно было бы вывести все мыслимые истины, включая математические. Кроме того, существуют фактические истины, но они в значительной мере опираются на так называемый принцип достаточного основания, состоящий в том, что эти истины могут быть именно такими, а не какими-либо иными. Лейбниц был основоположником символической логики, однако его работы в этой области оставались неизвестными до 1901 г.

Ни Декарту, ни Лейбницу не удалось развить последовательно символическое исчисление логики. Они создали лишь отдельные фрагменты.^{94} Вплоть до XIX в. логика Аристотеля сохраняла свои позиции. В 1797 г. Кант во втором издании «Критики чистого разума» назвал логику «замкнутым и полным учением». Хотя до начала XX в. большинство математиков в своих рассуждениях продолжали следовать неформальным, изложенным лишь словесно, а не символически, принципам аристотелевой логики, они пользовались и другими схемами рассуждений, не исследованными Аристотелем. Не вдаваясь в анализ используемых логических принципов, математики пребывали в уверенности, что их рассуждения не выходят за рамки адекватной дедуктивной логики. В действительности же они использовали интуитивно вполне разумные, но не сформулированные явно логические принципы.

В то время как внимание большинства математиков было сосредоточено на обосновании собственно математики, менее многочисленная группа занялась критическим пересмотром логики. Выдающихся успехов в этом направлении добился профессор математики Куинз-колледжа в Корке (Ирландия) Джордж Буль (1815-1864).^{95}

В своей работе Буль, несомненно, вдохновлялся примером общей (или абстрактной) алгебры, основы которой были заложены кембриджской группой — Пикоком, Грегори и де Морганом (гл. VII). Хотя использованный этими авторами принцип перманентности форм в действительности не мог служить обоснованием алгебраических операций, производимых над буквенными коэффициентами с вещественными или комплексными значениями, Пикок, Грегори и де Морган косвенно способствовали возникновению нового взгляда на алгебру как на науку о символах и операциях, которые могут иметь любую природу и представлять любые объекты. Работа Гамильтона о кватернионах (1843) показала, что возможны другие алгебры, отличные от привычной алгебры вещественных и комплексных чисел. Обобщение алгебраических рассуждений в форме так называемой алгебры операторов предложил в 1844 г. Буль. Его также беспокоила мысль о том, что алгебра не обязательно должна заниматься рассмотрением одних лишь чисел и что законы алгебры не обязательно должны совпадать с законами арифметики вещественных и комплексных чисел. Упомянув об этом в начале своей работы «Математический анализ логики» (1847), Буль вскоре развил алгебру логики. Шедевром по праву считается работа Буля «Исследование законов мышления» (1854). Основная идея Буля, менее претенциозная, чем идея Лейбница об универсальной алгебре, и более близкая по духу лейбницевскому calculus ratiocinator (логическая форма мышления), состояла в том, что существующие законы мышления представимы в символическом виде, позволяющем придать более точный смысл обычным логическим рассуждениям и упростить их применение. В своей книге Буль так сформулировал программу построения алгебры логики:

В предлагаемом вниманию читателей трактате мы намереваемся исследовать фундаментальные законы тех операций разума, посредством которых осуществляется мышление, дабы выразить их на символическом языке исчисления и на этой основе построить науку логики и ее метод.

Кроме того, Буля интересовали некоторые конкретные приложения логики, в частности к законам вероятности.

Буквенная символика обладает многими преимуществами. В ходе рассуждений тому или иному выражению иногда по ошибке можно придать смысл, отличный от первоначального, или употребить неправильное дедуктивное умозаключение. Так, при обсуждении света как оптического явления употребление выражения «повидать свет» может быть истолковано неверно (так как в обычной бытовой лексике оно означает «побывать во многих странах мира»). Но если свет как физическое явление обозначить, например, буквой l, то при любых преобразованиях буквенных выражений, содержащих l, эта буква будет означать только свет как физическое явление и ничего другого. Кроме того, все доказательства сводятся к преобразованию одних наборов символов в другие по заранее заданным правилам, заменяющим словесные формулировки законов логики. Правила преобразований выражают правильные законы логики в сжатом, четком и легко применимом виде.

Чтобы по достоинству оценить булеву алгебру логики, упомянем лишь некоторые из ее идей. Пусть символы x и y означают классы объектов, например класс собак и класс рыжих животных. Тогда xy означает класс объектов, принадлежащих одновременно классу x и классу y. Если x и y имеют предложенную нами интерпретацию, то xy означает класс рыжих собак. Равенство xy = yx верно при любых x и y. Если z — класс белых объектов и если x = y, то zx = zy. Кроме того, из самого смысла «произведения» xy следует, что xx = x.

Символ x + y означает класс объектов, принадлежащих либо классу x, либо классу y, либо классам x и y одновременно. (Это более поздняя модификация логических построений Буля, предложенная Уильямом Стенли Джевонсом (1835-1882).^{96}) Так, если x — класс мужчин, а y — класс избирателей, то x + y — класс мужчин и избирателей (включающий в себя помимо избирателей-мужчин также и избирателей-женщин). Нетрудно доказать, что если, скажем, z — класс людей старше 35 лет, то

z(x + y) = zx + zy.

Если x — некоторый класс объектов, то 1 − x (или −x) — множество всех объектов, не принадлежащих классу x. Так, если 1 — множество всех объектов, x — множество собак, то 1 − x (или −x) — множество всех объектов, не являющихся собаками. Соответственно −(−x) означает множество собак. Равенство

x + (1 − x) = 1.

означает, что все объекты либо относятся к собакам, либо нет. А это есть не что иное, как закон исключенного третьего для классов. Буль показал, как с помощью таких чисто алгебраических операций проводить рассуждения в самых различных областях.

Буль заложил также основы исчисления высказываний, хотя начало этой области логики восходит к стоикам (IV в. до н.э.). В интерпретации этого исчисления p, например, означает «Джон — человек». Утверждать p означает утверждать, что высказывание «Джон — человек» истинно. Тогда 1 − p (или −p) означает, что высказывание «Джон — человек» не истинно. Аналогично высказывание −(−p) означает: «Неверно, что Джон не человек», т.е. «Джон — человек». Закон исключенного третьего для высказываний, гласящий, что любое высказывание либо истинно, либо ложно, Буль записывал в виде p + (−p) = 1, где 1 соответствует истине. Произведение pq истинно, когда истинны оба высказывания p и q, а сумма p + q истинна, если истинно либо p, либо q (либо истинны оба высказывания).

Другое новшество было внесено де Морганом. В своем главном труде «Формальная логика» (1847) де Морган высказал идею о том, что логика должна заниматься изучением отношений в общем виде. Так, аристотелева логика занималась изучением отношения «быть» (x есть y). Классический пример: «Все люди смертны». Но аристотелева логика, по словам де Моргана, не в состоянии вывести из утверждения «Лошадь — животное» утверждение «Голова лошади — голова животного»: для этого необходимо ввести дополнительную посылку о том, что у всех животных есть головы. В сочинениях Аристотеля также есть фрагменты, посвященные логике отношений, хотя писал он о них довольно невразумительно и сжато. Кроме того, многие труды Аристотеля и обобщения, сделанные средневековыми учеными, были безвозвратно утеряны к XVII в. В необходимости логики отношений убедиться нетрудно. Так, следующее рассуждение, построенное только на отношении «быть», как легко видеть, ложно:

Действительно, рассуждение

вполне может привести к неправильному заключению, если понятие «брат» расширить, включив в него и двоюродного брата. Аристотелевой логике не удалось построить логику отношений. На этот ее недостаток обращал внимание еще Лейбниц.

Отношения далеко не всегда удается перевести на язык субъекта и предиката, когда предикат лишь утверждает, что субъект принадлежит к задаваемому предикатом классу. Часто бывает необходимо рассматривать и такие утверждения, как «2 меньше 3» или «Точка Q лежит между точками P и R». Для подобных высказываний также необходимо определять, что означает их отрицание, т.е. обратное утверждение, сложное высказывание, составленное из нескольких таких высказываний, и т.д.

Логика отношений была развита в серии статей, опубликованных в 1870-1893 гг. Чарлзом Сандерсом Пирсом (1839-1914), и систематизирована Эрнстом Шредером (1841-1902). Пирс ввел специальную символику для обозначения высказываний, выражающих отношения. Так, символ l_ij означает, что i любит j. Построенная Пирсом алгебра была сложной и малополезной. Позднее мы увидим, как рассматривает отношения современная математическая логика.

Пирс внес в науку логики еще одно важное дополнение, которое лишь слегка затронул Буль; он подчеркнул важность пропозициональных функций (функций-высказываний). Подобно тому как в математике мы рассматриваем функции, например y = 2x, отличая их от утверждений о конкретных числовых равенствах типа 10 = 2′5, так высказывание «Джон — человек» вполне конкретно, а высказывание «x — человек» означает пропозициональную функцию, зависящую от переменной x. Пропозициональные функции могут зависеть от двух и большего числа переменных: такова, например, функция «x любит y». Результаты Пирса позволили распространить логику и на пропозициональные функции.

Пирс ввел в логику и так называемые кванторы. Обычный язык неоднозначен по отношению к кванторам. В двух высказываниях:

субъект «американец» используется в двух различных смыслах: в первом высказывании речь идет о вполне конкретном лице — Джордже Вашингтоне, во втором — о любом американце. Обычно неоднозначность можно уменьшить, сославшись на контекст, в котором используется предложение, но в строгом логическом мышлении такая неоднозначность недопустима. Смысл высказывания должен быть ясен без всяких ссылок на контекст. Кванторы позволяют достичь однозначности высказываний. Мы можем утверждать, что какая-то пропозициональная функция истинна для всех индивидуумов из определенного класса, например для всех граждан США. В этом случае высказывание «Для всех x, x — люди» означает «Все граждане США — люди». Слова «для всех x» — квантор. Но мы можем также утверждать: существует по крайней мере один x, такой, что x — человек из США. В этом случае квантор — это слова «существует по крайней мере один x, такой, что». Каждый из этих типов кванторов имеет специальное обозначение: в первом случае ∀x (квантор общности), во втором ∃x (квантор существования).

Включение в логику отношений пропозициональных функций и кванторов позволило существенно расширить ее. Охватив те типы рассуждений, которые используются в математике, логика стала более полной.

Последний шаг в математизации логики в XIX в. был сделан профессором математики Йенского университета Готлобом Фреге (1848-1925). Его перу принадлежит несколько фундаментальных трудов: «Исчисление понятий» (1879), «Основания арифметики» (1884) и «Основные законы арифметики» (т. I — 1893, т. II — 1903). Восприняв идеи логики высказываний, логики отношений, пропозициональные функции и кванторы, Фреге внес свой вклад в развитие математической логики. Он ввел различие между простым утверждением высказывания и утверждением, что данное высказывание истинно. В последнем случае Фреге ставил перед высказыванием знак |—. Фреге проводил также различие между объектом x и множеством {x}, содержащим только x, между элементом, принадлежащим множеству, и включением одного множества в другое.

Фреге формализовал более широкое понятие импликации — так называемую материальную импликацию, хотя следы этого понятия в неформализованной, словесной форме можно проследить вплоть до Филона из Мегары (около III в. до н.э.).^{97} Логика имеет дело с рассуждениями относительно высказываний и пропозициональных функций, и весьма важная роль в этих рассуждениях отводится импликации. Так, если мы знаем, что Джон мудр и что мудрые люди живут долго, то с помощью импликации заключаем, что Джон будет жить долго.

Материальная импликация несколько отличается от обычно используемой импликации. Когда мы говорим, например, «Если пойдет дождь, то я отправлюсь в кино», между двумя высказываниями «Пойдет дождь» и «Я отправлюсь в кино» существует не просто какое-то отношение, а именно импликация: если антецедент (высказывание, стоящее в условном высказывании между «если» и «то») истинен, то из него с необходимостью следует консеквент (высказывание, стоящее в условном высказывании после «то»). Но в материальной импликации антецедентом p и консеквентом q могут быть любые высказывания. Между ними не обязательно должна существовать причинно-следственная связь и даже вообще какое бы то ни было отношение. Так, ничто не мешает нам рассматривать материальную импликацию «Если x — нечетное число, то я пойду в кино». Эта импликация ложна только в том случае, если x — нечетное число, а я все равно не отправлюсь в кино.

На более формальном языке это означает, что если p и q — высказывания и p истинно, то из истинности импликации «Если p, то q» («из p следует q», или «p влечет за собой q») мы вправе заключить, что q также истинно. Если же p ложно, то независимо от того, ложно или истинно q, материальная импликация «Если p, то q» считается истинной. И только в том случае, если p истинно, a q ложно, импликация считается ложной. Понятие материальной импликации расширяет привычное употребление связки «если …, то …». Но такое расширение не приводит к каким-либо затруднениям, так как обычно мы используем импликацию «если p, то q», только когда знаем, что p истинно. Кроме того, материальная импликация в какой-то мере согласуется с тем смыслом, который мы обычно вкладываем в условные высказывания «Если …, то …». Рассмотрим предложение «Если Гарольд получит сегодня жалованье, то он купит продукты». Здесь p — высказывание «Гарольд получит сегодня жалованье», q — высказывание «Он купит продукты». Но Гарольд может купить продукты, даже если он не получит сегодня жалованье. Следовательно, импликацию «Если p, то q» мы можем считать истинной и в том случае, когда p ложно, a q истинно. Другим, возможно еще лучшим, примером разумности такого решения может служить условное предложение «Если бы дерево было металлом, то дерево было бы ковким». Мы знаем, что оба высказывания (и антецедент, и консеквент) ложны, тем не менее вся импликация в целом истинна. Следовательно, если p ложно и q ложно, то импликацию «Если p, то q» также надлежит считать истинной. Понятие материальной импликации находит важное применение, позволяя судить об истинности q по истинности p и импликации «Если p, то q». Обобщение на случай, когда p ложно, удобно для математической логики и представляется наиболее разумным из всех вариантов.

Поскольку если p ложно, то q следует из p независимо от того, истинно ли q или ложно, в случае материальной импликации из ложного высказывания может следовать что угодно — консеквент может быть любым. Упреки тех, кто видит в этом неисправимый «порок» материальной импликации, можно было бы отвергнуть, сославшись на то, что в непротиворечивой системе математики и логики не должно быть ложных высказываний. Тем не менее возражения против понятия материальной импликации все же выдвигались. Так, Пуанкаре иронически заметил: «Но кто исправлял плохую кандидатскую математическую работу, тот мог заметить, насколько правильно смотрит на дело Рассел. Кандидат часто много трудится для того, чтобы найти первое ложное уравнение; но лишь только он его получил, для него уже не представляет никакого труда сделать из него самые неожиданные выводы, из которых иные могут оказаться и точными» ([1], с. 379). Но, несмотря на все попытки усовершенствовать понятие импликации, именно материальная импликация стала стандартным понятием, по крайней мере в математической логике, используемой как основа всей современной математики.

Фреге внес в развитие логики еще один вклад, важность которого была по достоинству оценена много позднее. В логике известно много принципиальных схем рассуждений. Их можно сравнить с многочисленными утверждениями евклидовой геометрии о треугольниках, прямоугольниках, окружностях и других фигурах. В результате пересмотра других областей математики, произведенного в конце XIX в., многие утверждения геометрии были выведены из небольшого числа основных утверждений — аксиом. То же самое Фреге сделал в логике. Его обозначения и аксиомы были достаточно сложными, и мы ограничимся лишь словесным описанием предложенного Фреге аксиоматического подхода к логике (см. также гл. X). Вряд ли кто-нибудь усомнится принять за аксиому утверждение «Если p, то p или q», так как высказывание «p или q» истинно, если истинно по крайней мере одно из входящих в него высказываний, p или q, а если p истинно, то одно из высказываний, p или q, заведомо истинно.

Можно принять также за аксиому, что если какое-то высказывание (или комбинация высказываний) A истинно и если из A следует B, где B — другое высказывание (или комбинация высказываний), то B истинно. Эта аксиома, называемая правилом вывода, позволяет нам выводить новые высказывания и утверждать, что они истинны.

Из приведенных аксиом мы можем, например, вывести

p истинно или p ложно,

т.е. закон исключенного третьего.

Можно также вывести закон противоречия, словесная формулировка которого гласит: не верно, что p и не p оба истинны (истинным может быть только одно из двух высказываний: либо p, либо не p). Закон противоречия часто используется в математике в так называемых доказательствах от противного. В доказательствах такого рода мы, предположив, что p истинно, заключаем, что p ложно. Но тогда p и не p истинны одновременно, что невозможно. Следовательно, p ложно. Иногда доказательство от противного проводится несколько иначе. Предположив, что p истинно, мы доказываем, что из p следует q. Но о высказывании q известно, что оно ложно. Следовательно, по одному из законов логики должно быть ложным и p. Многие другие законы логики, широко используемые в математических доказательствах, также выводимы из аксиом. Начало дедуктивному построению логики было положено Фреге в его работе «Исчисление понятий» и продолжено им в «Основных законах арифметики».

Фреге поставил перед собой и более претенциозную задачу, о которой пойдет речь в дальнейшем (гл. X). Пока же, не вдаваясь в подробности, заметим, что Фреге стремился своими трудами по логике заложить новую основу арифметики, алгебры и математического анализа — более строгую, чем удалось создать за последние десятилетия XIX в., ознаменовавшиеся критическим движением в области оснований математики.

Значительную роль в использовании математической логики для достижения большей математической строгости сыграл Джузеппе Пеано. Занимаясь преподаванием математики, Пеано, как до него Дедекинд, обнаружил недостаточность строгости существовавших до него доказательств и посвятил всю свою жизнь усовершенствованию оснований математики. Символику математической логики Пеано применил для записи не только законов логики, но и математических аксиом, а также для вывода теорем из аксиом с помощью преобразования по правилам математической логики комбинаций символов, выражающих аксиомы. Пеано открыто и со всей определенностью говорил о необходимости отказаться от интуитивных представлений. Достичь намеченной цели можно было, лишь используя буквенную символику, так как при этом интерпретация символов не влияла на математическое доказательство. Символика позволяла избежать обращения к интуитивным ассоциациям, связанным с обычными словами.

Для обозначения понятий, кванторов и таких связок, как «и», «или» и «не», Пеано ввел собственные символы. Его символическая логика была весьма рудиментарной, но тем не менее Пеано оказал огромное влияние на развитие работ по основаниям математики. Он был основателем и главным редактором журнала Revista di Matematica (1891-1906) и пятитомного «Формуляра математики» (1894-1908). Именно в «Формуляре» Пеано впервые опубликовал уже упоминавшуюся нами аксиоматику целых чисел. Пеано основал школу математических логиков, в то время как работы Пирса и Фреге, по существу, оставались незамеченными, пока Бертран Рассел не «открыл» в 1901 г. труды Фреге. О работах Пеано Рассел узнал в 1900 г. и считал символику Пеано более удачной, чем символика Фреге.

От Буля до Шредера, Пирса и Фреге все нововведения в логике сводились к применению математического метода: символики и дедуктивного вывода логических законов из логических аксиом. Вся эта работа по созданию формальной или символической логики была благосклонно встречена логиками и математиками, так как использование символики позволило избегать психологических, теоретико-познавательных и метафизических смысловых неоднозначностей и ассоциаций.

Систему логики, включающую пропозициональные функции, отношения типа «x любит у» или «точка A лежит между точками B и C», ныне принято называть исчислением предикатов первой ступени. Хотя, по мнению некоторых логиков, такое исчисление охватывает не все типы рассуждений, используемых в математике, например оно не включает математическую индукцию, современные логики отдают предпочтение именно этой логической системе.^{98}

Распространение логики на все типы рассуждений, используемых в математике, придание утверждениям большей точности за счет проведения различия между высказываниями и пропозициональными функциями, введение кванторов, несомненно, способствовали повышению математической строгости, к которой так стремились математики XIX в. Аксиоматизация логики полностью отвечала духу времени.

Имея в виду наш последующий анализ логической структуры математики, подчеркнем, что как в самой математике, так и в алгебре установление высоких стандартов строгости стало возможным благодаря аксиоматическому подходу, впервые использованному Евклидом. Движение за аксиоматизацию в XIX в. позволило выяснить некоторые особенности аксиоматического подхода. Рассмотрим их подробнее.

Одна из особенностей аксиоматического подхода — необходимость неопределяемых понятий. Математика строится независимо от остальных областей человеческого знания, поэтому одно математическое понятие приходится определять через другие. Но тогда возникла бы бесконечная цепочка определений. Выход из создавшегося затруднения состоит в том, что основные понятия должны быть неопределяемыми. Но как пользоваться неопределяемыми понятиями? Откуда мы знаем, что о них можно утверждать? Ответ на этот вопрос и дает аксиоматика; аксиомы содержат утверждения о неопределяемых (и определяемых) понятиях. Следовательно, аксиомы говорят нам, что можно утверждать о неопределяемых понятиях. Так, если точка и прямая неопределяемы, то аксиома о том, что две точки задают прямую и притом только одну, и аксиома о том, что три точки задают плоскость и притом только одну, служат теми утверждениями, которые мы можем использовать при выводе новых утверждений о точке, прямой и плоскости. Хотя Аристотель в «Органоне», Паскаль в «Трактате о геометрическом духе» и Лейбниц в «Монадологии» подчеркивали необходимость неопределяемых понятий, математики по непонятным причинам прошли мимо этих предупреждений и продолжали давать определения, не имевшие смысла. Еще в начале XIX в. Жозеф Диас Жергонн (1771-1859) высказал со всей определенностью важную мысль: аксиомы говорят нам все, что мы можем утверждать о неопределяемых понятиях, т.е. как бы содержат неявные определения таких понятий. Но математики всерьез восприняли эту идею лишь после того, как в 1882 г. Мориц Паш вновь подтвердил необходимость неопределяемых понятий.

Осознание того, что любая дедуктивная система должна содержать неопределяемые понятия, которые можно интерпретировать как угодно, лишь бы вводимые объекты удовлетворяли аксиомам, подняло математику на новый уровень абстракции. Это весьма рано понял Герман Грассман, отметивший в своей «Теории линейной протяженности» (1844), что геометрия не сводится исключительно к изучению реального, физического, пространства. Геометрия — конструкция чисто математическая. Она применима для описания реального пространства, но отнюдь не исчерпывается этой своей интерпретацией. Творцы аксиоматики, работавшие позднее, Паш, Пеано и Гильберт, всячески подчеркивали абстрактность геометрии. Тем не менее, отчетливо сознавая существование неопределяемых понятий, смысл которых ограничен лишь аксиомами, Паш в своих работах мысленно следовал единому образцу геометрии. Пеано, знавший работы Паша, в статье от 1889 г. высказал мысль о возможности многих других интерпретаций геометрии. Гильберт в «Основаниях геометрии» (1899) [50] заявил, что, хотя мы используем такие слова, как точка, прямая, плоскость и т.д., вполне можно было бы говорить о пивных кружках, стульях и любых других предметах, лишь бы они удовлетворяли аксиомам. То, что одна дедуктивная система допускает множество интерпретаций, можно расценивать как весьма благоприятное обстоятельство, позволяющее расширить круг возможных приложений, но вместе с тем оно приводит, как мы увидим в дальнейшем (гл. XII), и к некоторым неприятным последствиям.

Паш великолепно понимал современную аксиоматику. Именно ему принадлежит замечание (важность которого в конце XIX в. не была по достоинству оценена) о том, что во всех случаях необходимо дать доказательство непротиворечивости любой рассматриваемой системы аксиом, т.е. доказательство того, что выбранная система аксиом не порождает противоречащих друг другу теорем. Проблема непротиворечивости возникла в связи с неевклидовыми геометриями и была для них удовлетворительно разрешена. Однако неевклидова геометрия оставалась для многих довольно непривычной областью математики. Что же касается таких старых фундаментальных ее разделов, как арифметика или евклидова геометрия, то всякие сомнения в их непротиворечивости казались чисто академическими. Тем не менее Паш считал необходимым установить непротиворечивость и этих систем аксиом. Ему вторил Фреге, писавший в «Основаниях арифметики» (1884):

Обычно поступают так, будто принятие постулатов само по себе достаточно для того, чтобы все постулаты выполнились. Мы постулируем, что операция вычитания, деления или извлечения корня всегда выполнима, и считаем, что этого вполне достаточно. Но почему мы не постулируем, что через любые три точки можно провести прямую? Почему мы не постулируем, что все законы сложения и умножения остаются в силе для комплексных чисел с тремя единицами точно так же, как они выполняются для вещественных чисел? Это происходит потому, что такого рода постулаты содержат противоречие. Прекрасно! Но тогда первое, что нам необходимо сделать, — это доказать непротиворечивость наших остальных постулатов. А пока это не будет сделано, вся строгость, к которой мы так стремимся, останется столь же зыбкой и призрачной, как лунное сияние.

Пеано и его школа в 90-х годах XIX в. также стали несколько серьезнее относиться к проблеме непротиворечивости. Пеано был уверен в том, что методы, позволяющие доказывать непротиворечивость аксиом, не замедлят появиться.

Над проблемой непротиворечивости математики вполне могли бы задуматься еще древние греки. Почему же она выступила на передний план лишь в конце XIX в.? Как мы уже говорили, создание неевклидовой геометрии в значительной мере способствовало осознанию того, что геометрия является творением человека и лишь приближенно описывает происходящее в реальном мире. При всех неоспоримых достоинствах этого описания его нельзя считать истинным в том смысле, что оно не адекватно внутренней структуре окружающего мира и, следовательно, не обязательно непротиворечиво. Движение за аксиоматизацию математики в конце XIX в. заставило математиков понять, сколь глубокая пропасть отделяет математику от реального мира. Каждая аксиоматическая система содержит неопределяемые понятия, свойства которых задаются только аксиомами. Смысл неопределяемых понятий не зафиксирован раз и навсегда, хотя интуитивно мы представляем себе, что такое точки или прямые. Разумеется, предполагается, что аксиомы выбраны так, чтобы задаваемые им свойства находились в согласии с теми, которые мы интуитивно с ними связываем. Но можем ли мы быть уверенными в том, что нам удалось выбрать аксиомы именно таким образом, что, формулируя их, мы не привнесли некоторое нежелательное свойство (или же оно следует из принятых нами аксиом), которое может привести к противоречию?

Паш отметил еще одну особенность аксиоматического метода. В любой области математики желательно, чтобы аксиомы были независимыми, т.е. чтобы любую из принятых аксиом нельзя было вывести из остальных, так как аксиома, выведенная из других, является уже не аксиомой, а теоремой. Метод доказательства независимости той или иной аксиомы состоит в указании интерпретации или построении модели, в которой все аксиомы, кроме проверяемой на независимость, выполняются, а проверяемая аксиома не выполняется. (Такая интерпретация не обязательно должна быть совместимой с отрицанием проверяемой аксиомы.) Так, для доказательства независимости аксиомы Евклида о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии можно воспользоваться интерпретацией гиперболической неевклидовой геометрии, в которой выполняются все аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных, а сама аксиома о параллельных не выполняется. Интерпретация, удовлетворяющая проверяемой аксиоме и противоположной аксиоме, не была бы непротиворечивой. Следовательно, прежде чем воспользоваться для доказательства независимости какой-либо аксиомы интерпретацией, или моделью, необходимо убедиться в том, что эта интерпретация, или модель, непротиворечива. Так, независимость аксиомы Евклида о параллельных была доказана на модели гиперболической евклидовой геометрии, реализуемой на поверхности в евклидовом пространстве.

В дальнейшем мы расскажем о сомнениях, неадекватностях и глубоких проблемах, которые породила аксиоматизация математики; однако в начале XX в. аксиоматический метод считался идеалом математической строгости. Никто не превозносил аксиоматический метод больше, чем Гильберт, ставший к тому времени признанным лидером мировой математики. В статье «Аксиоматическое мышление» (1918) он утверждал:

Все, что может быть предметом математического мышления, коль скоро назрела необходимость в создании теории, оказывается в сфере действия аксиоматического метода и тем самым математики. Проникая во все более глубокие слои аксиом… мы получаем возможность все дальше заглянуть в сокровенные тайны научного мышления и постичь единство нашего знания. Именно благодаря аксиоматическому методу математика, по-видимому, призвана сыграть ведущую роль во всем нашем знании.

Аналогичные мысли Гильберт высказывал и в 1922 г.:

Аксиоматический метод поистине был и остается подходящим и неоценимым инструментом, в наибольшей мере отвечающим духу каждого точного исследования, в какой бы области оно ни проводилось. Аксиоматический метод логически безупречен и в то же время плодотворен; тем самым он гарантирует полную свободу исследования. В этом смысле применять аксиоматический метод — это значит действовать, понимая, о чем идет речь. Если ранее, до аксиоматического метода, приходилось действовать наивно, слепо веря в существование определенных отношений, то аксиоматический метод устраняет подобную наивность, сохраняя все преимущества уверенности.

Возможно, создается впечатление, что математики приветствовали установление прочной, строгой основы своей науки. Однако математикам ничто человеческое не чуждо. И далеко не все математики с энтузиазмом приветствовали точную формулировку таких основных понятий, как иррациональное число, непрерывность, производная и интеграл. Многие не поняли новой терминологии и сочли точные определения своего рода причудами, отнюдь не обязательными для понимания математики и даже для строгих доказательств. Те, кто так считал, полагались на свою интуицию, несмотря на сюрпризы, преподнесенные открытием непрерывных, но не дифференцируемых функций и других логически правильных, но противоречащих интуиции математических объектов. Так, в 1904 г. Эмиль Пикар (1856-1941), говоря о строгости в теории дифференциальных уравнений с частными производными, заметил: «Истинная строгость плодотворна и этим отличается от другой строгости, чисто формальной и утомительной, бросающей тень на затрагиваемые ею проблемы». Шарль Эрмит (1822-1901) в письме к Томасу Яну Стильтьесу от 20 мая 1893 г. признавался: «С чувством непреодолимого отвращения я отшатываюсь от достойного всякого сожаления зла — непрерывных функций, не имеющих производных». Пуанкаре (1854-1912), с чьей философией математики нам предстоит познакомиться в следующей главе, жаловался; «В прежние времена новые функции вводились для того, чтобы их можно было применять. Ныне же строят функции, чтобы прийти в противоречие с выводами наших предшественников. Такие функции не годятся ни для чего иного».

Многие авторы тех определений и доказательств, ошибочность которых стала очевидной, принялись утверждать, будто имели в виду именно тот смысл, к которому привела строгая теория. К подобному приему прибегал даже такой выдающийся математик, как Эмиль Борель. Другие возражали против, как они говорили, «выискивания блох». В одной из своих работ, опубликованной в 1934 г., Годфри Гарольд Харди назвал строгость неотъемлемым элементом математики. Другие математики не понимали природы математической строгости и, опасаясь неприятностей, поносили ее. Некоторые даже поговаривали об анархии в математике. Новые идеи, в частности те, которые способствовали установлению математической строгости, математики воспринимали ничуть не менее предвзято, чем обычно люди воспринимают любые новшества.

Успехи в области оснований математики обнаружили еще одну сторону математических творений. Строгость не только удовлетворяла потребностям математики XIX в., но и позволила нам кое-что понять в развитии математики. Предполагалось, что обоснованные по последнему слову «математической техники» строгие структуры гарантируют «доброкачественность» математики, но эти гарантии оказались необоснованными. Ни одна теорема арифметики, алгебры или евклидовой геометрии не была изменена в результате пересмотра оснований, и только некоторые теоремы математического анализа пришлось сформулировать точнее. Например, прежде чем воспользоваться производной непрерывной функции, современным математикам приходится вводить дополнительную гипотезу о том, что эта функция дифференцируема. В действительности все новые аксиоматические структуры и строгость лишь подтвердили то, в чем и без того не сомневались математики. Аксиомы позволили доказать уже известные, а не какие-то новые теоремы, так как «старые» теоремы в подавляющем большинстве были правильными. В целом это означало, что в основе математики лежит не логика, а здравый смысл и интуиция. Строгость, по выражению Жака Адамара, лишь освящает то, что завоевано интуицией. Герман Вейль назвал строгость гигиеной, с помощью которой математик поддерживает здоровье и силу своих идей.

Как бы то ни было, к началу XX в. строгость снова стала играть заметную роль в математике и служить, хотя и с большим запозданием, гарантией прочности и обоснованности достижений, накопленных математикой за много столетий. Математики могли наконец во всеуслышание заявить, что исполнили свой долг по отношению к стандарту, установленному древними греками, и не без облегчения отметить, что, за исключением незначительных поправок, здание, построенное ими на эмпирической или интуитивной базе, теперь было в основном подкреплено логикой. При мысли об этом математиков охватывало ликование и даже самодовольство. Оглядываясь в прошлое, они могли указать несколько кризисных ситуаций (иррациональные числа, математический анализ, неевклидова геометрия, кватернионы) и поздравить себя с тем, что всякий раз им удавалось успешно разрешить возникавшую проблему.

На II Международном конгрессе математиков, состоявшемся в 1900 г. в Париже, с докладом на пленарном заседании выступил Анри Пуанкаре, соперничающий тогда с Гильбертом в борьбе за лидерство в математике. Несмотря на скептическое отношение к ценности некоторых усовершенствований в основаниях математики, Пуанкаре не без гордости заметил:

Пуанкаре повторил эти преисполненные гордости слова в одном из очерков, составивших его книгу «Ценность науки» (1905) [1]. И эта гордость вполне понятна, если учесть, какая проницательность потребовалась, чтобы добиться строгости в различных разделах математики. Наконец-то математика обрела основания, которые с радостью приняли все, за исключением нескольких тугодумов. Математикам было чему радоваться.

Один из персонажей «Кандида» Вольтера философ доктор Панглосс даже в ожидании повешения твердит о «лучшем из миров». Так и математики, не ведая, что вскоре их ожидает взрыв ими же заложенного сокрушительного заряда, с энтузиазмом рассуждали о том, что достигли наилучшего из возможных состояний. Между тем тучи уже сгущались, и если бы математики, собравшиеся в 1900 г. на конгресс, не были так поглощены заздравными тостами, то они без труда бы заметили их.

Но и среди участников достопамятного конгресса 1900 г. нашелся человек, который прекрасно понимал, что в основаниях математики разрешены далеко не все проблемы. На этом конгрессе Давид Гильберт выступил с знаменитым докладом, где перечислил 23 проблемы [51], решение которых, по его мнению, девятнадцатое столетие завещало двадцатому. Первая из названных проблем состояла из двух частей. Георг Кантор ввел трансфинитные числа для обозначения мощности (числа элементов) бесконечных множеств. В этой связи Гильберт предложил доказать, что трансфинитное число, выражающее мощность множества всех вещественных чисел, является ближайшим к трансфинитному числу, выражающему мощность множества всех целых чисел. К этой проблеме мы вернемся в гл. IX.

Во второй части первой проблемы Гильберта говорилось о необходимости поиска метода, который позволил бы переупорядочить вещественные числа, чтобы их множество стало вполне упорядоченным. С понятием вполне упорядоченного множества мы подробнее познакомимся в дальнейшем, а пока достаточно лишь сказать, что если множество всех вещественных чисел вполне упорядочено, то в любой извлеченной из него подпоследовательности должен существовать первый элемент. При обычном упорядочении вещественных чисел это требование не выполняется: например, если мы рассмотрим все числа, которые больше, например, 5, то в этом подмножестве первый элемент отсутствует.

Вторая проблема Гильберта была более очевидной и имела более широкое значение. Мы уже упоминали о проблеме непротиворечивости, поднятой в связи с неевклидовыми геометриями, и о доказательствах их непротиворечивости, исходивших из предположения о непротиворечивости евклидовой геометрии. Используя аналитическую геометрию, Гильберт показал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика. И содержание второй проблемы Гильберта составляло требование дать доказательство непротиворечивости арифметики.

Обе части первой проблемы Гильберта были известны еще Кантору. Паш, Пеано и Фреге обращали внимание также и на проблему непротиворечивости. Но только Гильберт в своем докладе, 1900 г. в полной мере продемонстрировал фундаментальный, непреходящий характер этих проблем. Большинство математиков, слушавших доклад Гильберта, несомненно, считали проблемы непротиворечивости тривиальными, несущественными, своего рода математическими курьезами и придавали большее значение другим проблемам, сформулированным Гильбертом. Что же касалось непротиворечивости арифметики, то она ни у кого не вызывала сомнений. То, что многие сомневались в непротиворечивости неевклидовой геометрии, вполне понятно, если учесть, сколь необычной и даже противоречащей интуиции была эта геометрия. Но вещественные числа находились в обращении более пяти тысяч лет, и о них было доказано бесчисленное множество теорем. Никаких противоречий при этом обнаружено не было. Аксиомы вещественных чисел приводили к хорошо известным теоремам. Как же система аксиом вещественных чисел могла быть противоречивой?

Но всякие сомнения в том, насколько мудро поступил Гильберт, включив названные выше проблемы в число 23 наиболее важных проблем и, более того, отведя им почетные первые места, вскоре рассеялись. Тучи, собравшиеся над математикой, закрыли теперь весь горизонт. Началась гроза, и некоторые математики услышали раскаты грома. Но даже Гильберт не мог предвидеть все неистовство бури, обрушившейся на здание математики.

---

85.
Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983, с. 164.

86.
Концепцию предела как исходного пункта математического анализа иногда связывают также и с Ньютоном, различавшим «первое число» (с которого переменная начинает изменение) и «последнее число» (предел (!) — значение, к которому она приходит) и придававшим особое значение «последним числам». Однако увлеченный физической интерпретацией анализа (производная как скорость), Ньютон не потрудился даже дать понятию «последнего числа» сколько-нибудь отчетливое определение, что лишало основанные на этом понятии конструкции доказательной силы.

87.
В данном Д’Аламбером определении предела ныне вызывает сомнение лишь замечание о том, что стремящаяся к a величина не может a превзойти; Д’Аламбер требовал, чтобы из x→a следовало постоянство знака разности x − a, в то время как Коши это последнее условие отбросил.

88.
Вряд ли было бы уместно входить здесь в технические детали приводимых Коши определений и доказательств. Для нас важно лишь подчеркнуть, что именно Коши приступил к планомерному обоснованию математического анализа.

89.
Функция y = f(x) называется непрерывной, скажем на интервале а < x < b, если для каждой точки x этого интервала и каждого (сколь угодно малого!) числа ε > 0 существует такое δ, что |y(x) − у(x₀)| < ε коль скоро |x − x₀| < δ, и равномерно непрерывной на этом интервале, если соответствующее значение δ можно считать не зависящим от x₀ (а только от ε); тонкое (и важное) различие между непрерывностью и равномерной непрерывностью было осознано лишь Кантором и Вейерштрассом.

90.
Неверность этого утверждения Коши следует из рассмотрения простейшей функции Z = Z(x, у), где Z = 0, при xy = 0 и Z = 1 при xy ≠ 0.

91.
Другими словами, Гамильтон полагал (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); (a, b)′(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Подобное же построение теории комплексных чисел ранее (около 1840 г.) было дано одним из создателей неевклидовой геометрии Я. Бойаи в работе, представленной на конкурс, объявленный Лейпцигским научным обществом. Но, к сожалению, эта работа не была должным образом оценена жюри конкурса и потому осталась неопубликованной.

92.
Систему аксиом, описывающую натуральные числа, несколько раньше (1888) Дж. Пеано указал Р. Дедекинд.

93.
Первым автором, полностью решившим задачу обоснования евклидовой геометрии, был, по-видимому, итальянец М. Пиери, ученик Дж. Пеано. Несколько позже в том же 1899 г. появились в значительной степени основанные на более ранних исследованиях Паша «Основания геометрии» Д. Гильберта, где производилось тщательное выделение отдельных групп аксиом, описывающих то или иное из неопределяемых отношений между основными элементами (точками, прямыми и плоскостями): принадлежность (точки, прямой или плоскости); понятие «между» и т.д. В настоящее время имеется много разных систем обоснования евклидовой геометрии (см., например, [49]).

94.
Принадлежащие Лейбницу фрагменты «логического исчисления» были разработаны достаточно глубоко; однако они не удовлетворяли Лейбница, поскольку были весьма далеки от поставленной им (и, видимо, неразрешимой) задачи «свести любое рассуждение к вычислению», создать такое положение, при котором, по утопическим мечтам Лейбница, один из спорящих всегда смог бы сказать другому: «Вы утверждаете одно, я — другое; ну что же, проверим, кто из нас прав: вычислим, милостивый государь».

95.
Дж. Буль родился в очень бедной семье мелкого торговца, в силу чего он сумел окончить лишь несколько начальных классов школы для бедных, которые, разумеется, ничего не дали ему в области математики. Все свои знания Буль приобрел путем самообразования. Стремясь разобраться в математике глубже, Буль обратился к трудам классиков науки; тогда и родились у него первые самостоятельные идеи, которые он изложил в статьях, направленных в «Кембриджский математический журнал». К счастью, редактору журнала, представителю «кембриджской группы» математиков Д. Грегори, поиски Буля оказались достаточно близкими. Именно с помощью «кембриджцев» Булю удалось в конце жизни стать профессором математики во вновь открытом католическом колледже (университете) в Корке. Характерно, что первая развернутая система формальной (символической) логики принадлежит самоучке Булю — не закончив даже средней школы, он тем самым не был связан путами традиционных взглядов и установок, смог взглянуть на математику свежим взглядом и оценить ее логический статут с той ясностью и полнотой, которая позволила Б. Расселу позже сказать: «Чистую математику открыл Буль в сочинении, которое называлось «Законы мысли».

96.
У самого Буля сумма x + y обозначала класс объектов, принадлежащих либо x, либо y, но не x и y одновременно; сегодня в этом случае говорят не о сумме, а о «симметричной разности» x и y и пишут xΔy.

97.
Выше уже указывалось, что логические сочинения Аристотеля (аристотелева силлогистика) формализовали в основном логическое отношение (не операцию, а именно отношение) следования; у Аристотеля можно найти также отчетливые фрагменты учения о кванторах. Полагают, что элементы логического исчисления — разумеется, не без влияния Аристотеля — были созданы в несколько более поздних стоической и мегарской школах, от которых до нас, однако, не дошли сколько-нибудь существенные письменные памятники мысли.

98.
По мнению некоторых логиков, чтобы охватить все типы рассуждений, используемых в математике, потребовалось бы ввести так называемое исчисление предикатов второй ступени, в котором кванторы применяются к предикатам. Так, чтобы выразить отношение равенства x = y, мы должны были бы утверждать дополнительно применимость к y всех предикатов, применимых к x, и для этого ввести квантор предикатов либо словесно («для всех предикатов»), либо с помощью символов x = y ↔ (F)(F(x) ↔ F(y)).

Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Количество баллов на высшую категорию учителя 2021». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.

Аттестация учителей бывает двух видов:

• Обязательная, подтверждающая, что педагог оправданно занимает должность;
• Добровольная — установление степени квалификации.

Обязательное подтверждение проводится с периодичностью в пять лет и подразумевает оценивание трудовой деятельности. Учителя представляет к аттестации директор образовательного учреждения, в то время как для присвоения квалификации (первой или высшей) педагог самостоятельно заявляет о таком желании.

Аттестация учителей по новым правилам в 2021 году: что об этом уже известно?

При аттестации, которая устанавливает компетентность педагога, работодатель за 1 месяц до начала процедуры представляет ему все собранные сведения, характеристики и результаты методической работы. Педагог подтверждает ознакомление письменно – росписью.

Период обязательной аттестации длится в рамках двух месяцев. Дату, место и время процедуры оповещают не позднее, чем за 1 месяц до начала.

Во время добровольной аттестации учитель самостоятельно подает заявление без временных рамок. Законодательством не установлено точного периода самой процедуры, поэтому педагог лично подает документацию в подходящее для него время. Однако, если педагогическому работнику была ранее присвоена квалификационная категория, то подавать заявку требуется за 3 месяца до истечения действия предыдущих результатов. В противном случае может истечь срок еще на этапе рассмотрения заявки.

• Профессиональный педагогический экзамен

Профессиональный экзамен проводится с использованием единой информационной системы. Помимо ЕФОМ он содержит механизм для проведения оценки, результаты прохождения аттестаций и иные сведения.

На портале также размещаются типовые оценочные материалы, критерии их оценивания и образцы решений. Это поможет аттестуемому предварительно подготовиться к испытаниям.

Оценку ответов проводят аккредитованные эксперты, отбираемые из числа участников педагогических общественных организаций, ассоциаций и других корпоративных некоммерческих организаций.

При проведении аттестации на соответствие занимаемой должности и установление квалификационных категорий максимальная оценка по данному этапу равняется 60 баллам.

• Оценка динамики образовательных результатов педагога

При аттестации учителя исследуются результаты его учеников за последние 5 лет по следующим направлениям:

1. результаты ЕГЭ, ОГЭ и ВПР;
2. результаты проведения независимых предметных и метапредметных диагностик;
3. данные независимых оценок качества образования, в том числе результаты международных исследований;
4. участие в образовательных олимпиадах различного уровня

Максимальная оценка данного этапа – 20 баллов.

• Оценка сведений о сложности профессиональной деятельности учителя

Аттестационный комитет по установлению компетентности педагога формируется учебным учреждением и состоит из председателя первичной профсоюзной организации, его зама, секретаря и членов комиссии – собранных из числа педработников.

Если учитель отсутствует во время заседания в связи с уважительной причиной, то процедура подтверждения соответствия переносится на другую дату, и директор оповещает педагогического работника за месяц до новой проверки. Однако в случае неявки учителя на аттестацию без уважительного повода комиссия имеет право провести процедуру оценки в его отсутствие.

В ходе обязательной аттестации педагоги сдают экзамен письменно, устно или в объединенной форме. Это могут быть:

• ответы на профессиональные вопросы;
• прохождение тестов на компьютере,
• подготовка конспекта проведения урока;
• решение нестандартных ситуации;
• собеседование.

При добровольной аттестации эксперты анализируют пакет документов педработника, его профессиональные достижения. На заседании учителю присутствовать необязательно. Однако, если педагог захочет стать участником аттестации, то ему нужно заранее подать заявку о возникшем желании.

Аттестацию педагогов перенесли. Но почему коллеги рекомендуют ее пройти сейчас?

Аттестация преподавателей проходит по нескольким темам, она достаточно сложная. Педагог должен ответить на вопросы по психологии и педагогике, по законодательству, по методам и средствам преподавания. Также он должен отлично знать свой предмет.

ВАЖНО! Основная форма прохождения аттестации – тестирование.

Оно будет считаться пройденным, если педагог ответить как минимум на шестьдесят из ста вопросов. Дается время на ответы – два с половиной часа.

Результаты аттестации работнику должны быть известны сразу. Составляется протокол, в нем указываются результаты, документ подписывается каждым членом комиссии. Если педагог не согласен с результатами аттестации, он может их обжаловать.

Новая модель аттестации проходила апробацию в российских школах последние 2 года. Самое главное, что стоит знать об этом – в ноябре 2018 года министр просвещения Ольга Васильева сообщила, что от видеосъемки уроков в ведомстве решили отказаться

, так как на это нужно получать согласия родителей. Также отказались учитывать мнение выпускников.

Учителя, которые участвовали в апробации новой системы, рассказали о своих впечатлениях:

• на первые 2 блока ЕФОМ отводилось по 10-12 дней, на последний блок – 4 часа;
• вопросы из первого блока могут касаться не только предмета. Например, у учителя спрашивают: если кабинет оборудован в соответствии с ФГОС общего образования, какие элементы предметной среды и как он будет использовать, проводя обобщающий урок в двух разных классах, и т.д.;
• видеозапись урока допускалась как полная (45 минут), так и фрагменты в 15 или 30 минут. Разрешено снимать урок даже на смартфон;
• диагностическая работа проверяла знания предмета, психологии и физиологии детей. В частности, учителю предложили разработать внеклассное занятие или проверить работу ученика в соответствии с критериями ГИА.

Апробацию проводили в 104 школах 19 регионов России

, всего в ней поучаствовали 619 учителей. Все их предложения обещали учесть в финальном варианте системы аттестации.

Большая часть учителей по всей России относятся к новшествам отрицательно. Конечно, главный раздражитель – обязательную видеозапись урока – обещали отменить, но претензий к новой системе

все равно еще много.

В частности, приводятся такие аргументы:

• процедура отвлечет педагогов от их главной работы – учить детей;
• само наличие множества аттестационных процедур может говорить о недоверии к учителю и к его профессионализму;
• новая процедура аттестации направлена не на результат (знания учеников), а на контроль процесса (доскональное знание ФГОС);
• для оценки работ учителей в рамках ЕФОМ планируется привлекать экспертов, но это затруднительно: учителей слишком много, а тот факт, что экспертами могут быть другие учителя, вызывает вопросы об объективности процесса.

Сегодня, в условиях пандемии, активность в виртуальном пространстве только растет. И в социальных сетях все сильнее размываются грани между личной сферой и деловой. Острее становится вопрос о влиянии поведения в соцмедиа на личный бренд. Особенно он важен для людей публичных профессий, к которым также относится профессия педагога.

Как же вести себя педагогу в социальных сетях? Стоит ли добавлять в друзья своих учеников, размещать свои фотографии в купальнике и рассуждать об острых политических ситуациях? Узнайте мнение эксперта и учителей из разных стран.

Информации о переносе сроков внедрения новой системы пока немного. Например, приказ Министерства образования об утверждении «дорожной карты» по введению НСУР не изменился – в справочных системах он отображается как действующий, но даты в нем те же (то есть, до ноября 2020 года должны создать базу с данными о компетенциях учителей.

Желание чиновников побыстрее внедрить новую систему подтверждается еще и тем фактом, что в апреле этого года (когда все школы были уже закрыты и переведены на дистанционное обучение), заместитель профильного комитета Госдумы депутат Любовь Духанина раскритиковала действующую систему аттестации – по данным ОНФ, только 17% учителей считают, что ее результаты объективны.

Но вскоре в Министерстве просвещения вышел приказ, которым сроки действия аттестации педагогов продлеваются. Это касается тех, чей срок действия аттестации истекает с 1 апреля по 1 сентября 2020 года – для них срок продлен до 31 декабря. Но сделано это было лишь для того, чтобы педагоги с истекающим сроком аттестации не потеряли доплаты за категорию, пока не могут пройти ее из-за карантинных мер.

Несмотря на то, что основная часть нововведений касательно НСУР откладывается как минимум на сентябрь 2021 года, кое-что ждет учителей уже с нового учебного года. Прежде всего, это новые правила Роспотребнадзора, связанные с коронавирусом – в ряде регионов педагогам придется вести уроки в защитных масках, а из-за разделения времени начала и конца уроков, рабочий день может серьезно затянуться. Правда, основная часть забот ляжет на администрацию школ, хотя учителям, возможно, придется дополнительно вести уроки в дистанционной форме для учеников, которые не смогут посещать школу лично.

Второе нововведение более приятное – это новая доплата для классных руководителей в размере 5000 рублей в месяц. Она не будет заменять собой уже имеющиеся выплаты, а еще школам запретили снижать размер зарплаты педагогов из-за доплаты. По желанию регионы могут доплачивать и больше – но уже за счет собственных средств.

И, наконец, учителей может ждать новая система оплаты труда, которая закрепит определенную долю оклада в зарплате, и в теории приблизит доходы педагогов к тому уровню, который обещают «Майские указы».

Так, если законопроект будет принят, правительство получит право устанавливать отраслевые системы по оплате труда сотрудников государственных и муниципальных организаций. А главное – эти нормы в итоге могут увязать с нормой учебной нагрузки и средней зарплатой по региону. То есть, за стандартные 18 учебных часов в неделю учитель будет получать зарплату на уровне средней по региону.

Правда, до 1 ноября правительство будет только собирать отзывы о предложении, так что внедрение новой системы может тоже затянуться до следующего учебного года.

В Российской Федерации профессия учителя является достаточно востребованной, но в то же время многих людей, работающих или задумывающихся о трудоустройстве по этой специальности, смущают относительно небольшие перспективны карьерного и профессионального развития. Чтобы обеспечить педагогам возможность карьерного роста в действующем законодательстве предусмотрено проведение аттестации педагогических работников, в рамках которой учителям присваиваются различные квалификационные категории.

Соответственно, высшая категория учителя — это вершина профессионального роста российских педагогических работников. Она устанавливается в рамках проведения отдельной аттестации в отношении педагогических работников, которые в добровольном порядке или по представлению работодателя, хотят получить фактическое подтверждение своей квалификации.

В рамках действующей системы образования преподаватели могут не только обеспечивать себе карьерный рост за счет повышения квалификационной категории, но также и за счет развития в горизонтальном направлении в рамках расширения спектра доступных задач. Кроме этого, многие учителя могут также развиваться не только в рамках педагогической деятельности, но и повышать свой статус и доход за счет роста в управленческой вертикали системы образования.

Высшая категория учителя нуждается в регулярном подтверждении. Единовременное прохождение аттестации предполагает предоставление такой категории лишь на время — по окончании установленного периода её придётся подтверждать вновь.

С точки зрения российского законодательства порядок аттестации учителей и других педагогических работников имеет определенное нормативно-правовое регулирование. Именно поэтому как самим учителям, так и другим сотрудникам общеобразовательных учреждений будет полезно ознакомиться с нормативно-правовыми документами и актами, которые регламентируют вопрос установления требований к высшей категории учителя:

• Пакет документов для аттестации

• Экспертное заключение об уровне профессиональной деятельности учителя начальных классов, предъявляемым к квалификационным категориям (первой или высшей) в Республике Крым

• МЕТОДИКА АТТЕСТАЦИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ РАБОТНИКОВ

• Об аттестации педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность, в целях установления квалификационной категории

• Документы для прохождения аттестации.

Количество баллов на высшую категорию учителя 2021

1.Вопрос №1:

Что входит в понятие стимулирующих выплат для учителей?

Ответ:

Стимулирование труда все больше набирает популярность среди работников бюджетной сферы. Данная система оплаты труда введена для стимулирования сотрудников к участию не только в школьном процессе, но и проведению внеклассных мероприятиях, подготовка различных конкурсов, концертов, олимпиад. Разработка и внедрение в процесс жизни ученика новых технологий и методик для улучшения качества работы и получения знаний. А также контакт и индивидуальная работа с родителями учащихся, привлечении их в качестве помощников, все это влияет на получение дополнительных наград и поощрений со стороны государства и директора учреждения, потому что именно он является замыкающим звеном в начислении баллов.

2.Вопрос №2:

Правильно ли это, что учитель должен зарабатывать стимулирующие выплаты?

Ответ:

Труд учителя должен быть высоко оценен в наше время. Поскольку данная профессия является трудной и нервной. А заработная плата не так высока, чтобы стараться и напрягаться. Поэтому возможно и есть положительные моменты в том, что разработана дополнительная система по увеличению дохода педагога за счет стимулирующих выплат, тут каждый решает для себя, хочет он получать больше или ему достаточно оклада, который есть. В основном педагоги стараются проявить инициативу, разработать какие-либо новшества для учебного процесса, чтобы повысить и свой уровень преподавания и материальное положение.

Стимулирующие выплаты предусмотрены для того, чтобы педагог, который хочет заработать, повысить свой статус в сфере образования, получить высокий уровень категории мог это делать не только по своей инициативе, но и получить за это денежное вознаграждение.

Директора учебных учреждений конечно же должны придерживаться Законодательных актов, а именно протокола, который утвердила трехсторонняя комиссия, однако у них есть право разрабатывать нормативные акты внутри своей школы положение о стимулировании труда. Самым удобным вариантом является прописать в трудовом договоре, каким образом происходит стимулирование.

В качестве критериев стимулированных выплат — 2021 учителям и воспитателям дошкольных образовательных учреждений (ДОУ) приведены следующие рекомендации:

• наличие в арсенале учителя за каждый месяц дополнительных проектов, для расширения знаний детей
• работа и контакт с родителями;
• разработка методики и улучшения учебного процесса;
• организация, проведение, подготовка различных внеклассных оздоровительных мероприятий;
• помощь детям из неблагополучных семей, улучшение их учебного процесса;
• разработка различных интерактивных пособий, портфолио.

Для учреждений общего и профессионального образования дополнительное значение будут иметь:

• положительная и растущая динамика по улучшению и совершенствованию знаний учащихся;
• участие в общих проектах учреждения.

Для учителей школ дополнительным стимулирующим требованием является участие в различных городских смотрах, показ и демонстрация открытых уроков, приглашение гостей на урок.

Таким образом получается, что размер заработной платы формируется не только за счет установленного оклада, но и за стимулирующие выплаты. У каждого педагога есть оценочный лист, где фиксируется выполнение педагогом требований критерия. Реализация мероприятий в рамках каждого критерия добавляет педагогу баллы.

Учитель математики заработала 30 баллов за разработку методики обучения по особой программе, которая имела успех.

Учитель русского языка набрал 25 баллов за участие в районных олимпиадах со своими учениками, где трое заняли призовые места.

Ещё 2 педагога набрали по 55 баллов, регулярно посещавшие со школьниками культурные мероприятия, проводили открытые уроки и привлекали родителей для организации различных внешкольных мероприятий.

Рассчитаем общее число набранных преподавателями баллов: 55 х 2 + 30 + 25 = 165 баллов.

1.Вопрос №1:

Что входит в понятие стимулирующих выплат для учителей?

Стимулирование труда все больше набирает популярность среди работников бюджетной сферы. Данная система оплаты труда введена для стимулирования сотрудников к участию не только в школьном процессе, но и проведению внеклассных мероприятиях, подготовка различных конкурсов, концертов, олимпиад.

Разработка и внедрение в процесс жизни ученика новых технологий и методик для улучшения качества работы и получения знаний. А также контакт и индивидуальная работа с родителями учащихся, привлечении их в качестве помощников, все это влияет на получение дополнительных наград и поощрений со стороны государства и директора учреждения, потому что именно он является замыкающим звеном в начислении баллов.

2.Вопрос №2:

Правильно ли это, что учитель должен зарабатывать стимулирующие выплаты?

Труд учителя должен быть высоко оценен в наше время. Поскольку данная профессия является трудной и нервной.

А заработная плата не так высока, чтобы стараться и напрягаться. Поэтому возможно и есть положительные моменты в том, что разработана дополнительная система по увеличению дохода педагога за счет стимулирующих выплат, тут каждый решает для себя, хочет он получать больше или ему достаточно оклада, который есть.

В основном педагоги стараются проявить инициативу, разработать какие-либо новшества для учебного процесса, чтобы повысить и свой уровень преподавания и материальное положение.

С кажды�� годом постепенно увеличивается минимальная заработная плата по все регионам. Работники бюджетной сферы, к которым относятся учителя и педагоги не исключение.

Заработная плата учителей в г. В каждом учебном учреждении своя методика расчета данных баллов.

Уполномоченным федеральным органом исполнительной власти устанавливается обязательный на всей территории РФ единый федеральный минимум баллов, подтверждающий успешное прохождение учителем оценки квалификации.

2. Соответствие занимаемой должности УЧИТЕЛЬ – обязательная аттестация, проходит один раз в пять лет. Результаты этой аттестации действительны в случае перехода учителя на работу в другую образовательную организацию, в том числе на территории другого субъекта РФ.

Сведения о результатах освоения образовательных программ с указанием учебных дисциплин по классам, в которых работал учитель; качественного показателя и показателя успеваемости по годам за три года, предшествующие аттестации (или меньшее число лет, если полный курс по предмету, который ведет учитель, рассчитан меньше, чем на три года

ЕГЭ, ОГЭ с указанием предмета; минимально-установленного балла и среднего республиканского показателя по предмету; с указанием классов (групп); количества участников (сдававших ЕГЭ, ОГЭ); минимального и максимального балла по классам и годам; среднего балла по годам за три года, предшествующие аттестации (или меньшее число лет при отсутствии результатов).

Поскольку аттестация учителей в 2021 году станет жестче и не исключено, что не все её смогут пройти, возникает закономерный вопрос о том, что будет с таковыми. По словам Анзора Мурзаева, увольнять или наказывать педагогов не будут, поскольку цели изменений совсем иные – формирование высококвалифицированного педагогического состава с высоким уровнем знаний. Чем больше знает учитель, тем больше знаний он сможет передать ученикам.

1. Квалификационная категория присваивается посредством оценки труда педагога – комиссия изучает его «портфолио». При этом нет точных ЕФОМ и критерий квалификации.
2. Действующие правила Минобразования не позволяют молодому преподавателю рассчитывать на получение высшей квалификационной категории. По правилам, предварительно защищается первая категория, затем высшая. Но это возможно через 2 года после последней аттестации.
3. «Портфолио» — аттестационный документ, для создания которого требуется приложить усилия. Для этого учитель затрачивает свое время.
4. После аттестации у педагогов часто пропадает желание продолжать свое образование, так как мотивация равна нулю. Такое решение связывают с отсутствием перспектив должностного роста.

1. Формирование аттестационной комиссии.
2. Подготовка списка аттестуемых и составление графика проведения проверки.
3. Формирование представления для каждого испытуемого.
4. Сама процедура.
5. Выведение оценки и оформление результатов.

Если же педагог сдавал на высшую категорию, то в случае неудачи у него остается первая до окончания срока ее действия. После окончания срока необходимо будет либо подтвердить первую категорию, либо аттестоваться на высшую.

На сегодняшний день существующие модели аттестации никак не отражаются на профессиональном росте учителя. Благодаря новой модели можно рассчитывать на построение педагогической карьеры в разных направлениях.

Чтобы повысить качество работы преподавателей, ежегодно в процесс их обязательной аттестации вносятся различные коррективы. Процесс проверки профессионализма преподавателей осуществляется по форме КИМов, используя за основание объективную оценку общефедерального уровня.

Входной экзамен сдают специалисты, которые только устраиваются на рабочее место в образовательную организацию. Педагога проверяют по 4 компетенциям, указанным выше. Такой экзамен позволяет определить «пробелы» в знаниях и навыках для дальнейшего развития.

Процедуру проводят также для специалистов, которые:

• 5 лет не работали по профессии;

• не имеют опыта работы учителем;

• выпустились из колледжа или вуза.

Учитель добровольно решает пройти аттестационную проверку, чтобы подтвердить квалификацию и получить первую или высшую категорию. Процедура проводится по старым правилам — в каждом регионе процесс различается. Для этого необходимо подавать соответствующее заявление и документы (можно в электронном виде). В зависимости от места нахождения учебной организации процедуру проводят Минпросвещения или департамент образования.

Аттестационная комиссия рассматривает портфолио педагога, куда входят благодарности и награды. Также нужно предоставить характеристику с работы. Присвоенная категория действует 5 лет, потом ее потребуется снова подтвердить.

• Педагогические работники, у которых срок действия сертификатов истек в 2020 году, могут не проходить аттестацию до конца 2021 года;

• с 1 сентября планируют изменить процедуру, введя оценку компетенций педагогов (ЕФОМ);

• педагоги могут подать документы на присвоение категории электронно и получить решение в течение 60 дней;

• новая аттестация учителей в 2021 (с сентября) предполагает появление возможности получить еще 2 категории — «учитель-наставник» и «учитель-методист».

Пока вопрос об изменениях в процедуре остается открытым. Если все-таки аттестация преподавателей в 2021 году будет проводиться по новым правилам, педагогам придется тщательнее готовиться.

Рекомендуем пройти повышение квалификации, чтобы устранить пробелы в знаниях — вспомнить теорию по детской психологии, педагогике, современным педагогическим технологиям, а также изучить основные положения ФГОС и так далее.

Новая аттестация учителей с 2021 года

• Профессии будущего
• Профессии будущего
• Индустрия красоты
• Мода
• IT-индустрия
• Дизайн
• Веб-дизайнер
• Программисты

(в ред. Приказа Минпросвещения РФ от 23.12.2020 N 767)

В соответствии с частью 4 статьи 49 Федерального закона от 29 декабря 2012 г. N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» (Собрание законодательства Российской Федерации, 2012, N 53, ст. 7598; 2013, N 19, ст. 2326; N 23, ст. 2878, N 27, ст. 3462; N 30, ст. 4036; N 48, ст. 6165; 2014, N 6, ст. 562, ст. 566) и подпунктом 5.2.28 Положения о Министерстве образования и науки Российской Федерации, утвержденного постановлением Правительства Российской Федерации от 3 июня 2013 г. N 466 (Собрание законодательства Российской Федерации, 2013, N 23, ст. 2923; N 33, ст. 4386; N 37, ст. 4702; 2014, N 2, ст. 126; N 6, ст. 582), приказываю:

В связи с утратой силы Постановления Правительства РФ от 03.06.2013 N 466 с 10.08.2018 следует руководствоваться принятым взамен Постановлением Правительства РФ от 28.07.2018 N 884.

1. Утвердить по согласованию с Министерством труда и социальной защиты Российской Федерации прилагаемый Порядок проведения аттестации педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность.

2. Установить, что квалификационные категории, установленные педагогическим работникам государственных и муниципальных образовательных учреждений до утверждения Порядка, указанного в пункте 1 настоящего приказа, сохраняются в течение срока, на который они были установлены.

3. Признать утратившим силу приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 24 марта 2010 г. N 209 «О Порядке аттестации педагогических работников государственных и муниципальных образовательных учреждений» (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 26 апреля 2010 г., регистрационный N 16999).

Министр
Д.В.ЛИВАНОВ

Приложение

УТВЕРЖДЕН
приказом Министерства образования
и науки Российской Федерации
от 7 апреля 2014 г. N 276

1. Порядок проведения аттестации педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность (далее — организация), определяет правила, основные задачи и принципы проведения аттестации педагогических работников организаций.

Настоящий Порядок применяется к педагогическим работникам организаций, замещающим должности, поименованные в подразделе 2 раздела I номенклатуры должностей педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность, должностей руководителей образовательных организаций, утвержденной постановлением Правительства Российской Федерации от 8 августа 2013 г. N 678 (Собрание законодательства Российской Федерации, 2013, N 33, ст. 4381), в том числе в случаях, когда замещение должностей осуществляется по совместительству в той же или иной организации, а также путем совмещения должностей наряду с работой в той же организации, определенной трудовым договором (далее — педагогические работники).

2. Аттестация педагогических работников проводится в целях подтверждения соответствия педагогических работников занимаемым ими должностям на основе оценки их профессиональной деятельности и по желанию педагогических работников (за исключением педагогических работников из числа профессорско-преподавательского состава) в целях установления квалификационной категории .

Часть 1 статьи 49 Федерального закона от 29 декабря 2012 г. N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» (Собрание законодательства Российской Федерации, 2012, N 53, ст. 7598; 2013, N 19, ст. 2326; N 23, ст. 2878; N 27, ст. 3462; N 30, ст. 4036; N 48, ст. 6165; 2014, N 6, ст. 562, ст. 566).

3. Основными задачами проведения аттестации являются:

стимулирование целенаправленного, непрерывного повышения уровня квалификации педагогических работников, их методологической культуры, профессионального и личностного роста;

определение необходимости повышения квалификации педагогических работников;

повышение эффективности и качества педагогической деятельности;

выявление перспектив использования потенциальных возможностей педагогических работников;

учет требований федеральных государственных образовательных стандартов к кадровым условиям реализации образовательных программ при формировании кадрового состава организаций;

обеспечение дифференциации размеров оплаты труда педагогических работников с учетом установленной квалификационной категории и объема их преподавательской (педагогической) работы.

4. Основными принципами проведения аттестации являются коллегиальность, гласность, открытость, обеспечивающие объективное отношение к педагогическим работникам, недопустимость дискриминации при проведении аттестации.

5. Аттестация педагогических работников в целях подтверждения соответствия педагогических работников занимаемым ими должностям проводится один раз в пять лет на основе оценки их профессиональной деятельности аттестационными комиссиями, самостоятельно формируемыми организациями (далее — аттестационная комиссия организации) .

Часть 2 статьи 49 Федерального закона от 29 декабря 2012 г. N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» (Собрание законодательства Российской Федерации, 2012, N 53, ст. 7598; 2013, N 19, ст. 2326; N 23, ст. 2878; N 27, ст. 3462; N 30, ст. 4036; N 48, ст. 6165; 2014, N 6, ст. 562, ст. 566).

6. Аттестационная комиссия организации создается распорядительным актом работодателя в составе председателя комиссии, заместителя председателя, секретаря и членов комиссии.

7. В состав аттестационной комиссии организации в обязательном порядке включается представитель выборного органа соответствующей первичной профсоюзной организации (при наличии такого органа).

8. Аттестация педагогических работников проводится в соответствии с распорядительным актом работодателя.

9. Работодатель знакомит педагогических работников с распорядительным актом, содержащим список работников организации, подлежащих аттестации, график проведения аттестации, под роспись не менее чем за 30 календарных дней до дня проведения их аттестации по графику.

10. Для проведения аттестации на каждого педагогического работника работодатель вносит в аттестационную комиссию организации представление.

11. В представлении содержатся следующие сведения о педагогическом работнике:

а) фамилия, имя, отчество (при наличии);

б) наименование должности на дату проведения аттестации;

в) дата заключения по этой должности трудового договора;

г) уровень образования и (или) квалификации по специальности или направлению подготовки;

д) информация о получении дополнительного профессионального образования по профилю педагогической деятельности;

е) результаты предыдущих аттестаций (в случае их проведения);

ж) мотивированная всесторонняя и объективная оценка профессиональных, деловых качеств, результатов профессиональной деятельности педагогического работника по выполнению трудовых обязанностей, возложенных на него трудовым договором.

12. Работодатель знакомит педагогического работника с представлением под подпись не позднее чем за 30 календарных дней до дня проведения аттестации. После ознакомления с представлением педагогический работник по желанию может представить в аттестационную комиссию организации дополнительные сведения, характеризующие его профессиональную деятельность за период с даты предыдущей аттестации (при первичной аттестации — с даты поступления на работу), а также сведения о прохождении им независимой оценки квалификации (далее вместе — дополнительные сведения). (в ред. Приказа Минпросвещения РФ от 23.12.2020 N 767)

Федеральный закон от 3 июля 2016 г. N 238-ФЗ «О независимой оценке квалификации» (Собрание законодательства Российской Федерации, 2016, N 27, ст. 4171) (в ред. Приказа Минпросвещения РФ от 23.12.2020 N 767)

При отказе педагогического работника от ознакомления с представлением составляется акт, который подписывается работодателем и лицами (не менее двух), в присутствии которых составлен акт.

13. Аттестация проводится на заседании аттестационной комиссии организации с участием педагогического работника.

Заседание аттестационной комиссии организации считается правомочным, если на нем присутствуют не менее двух третей от общего числа членов аттестационной комиссии организации.

В случае отсутствия педагогического работника в день проведения аттестации на заседании аттестационной комиссии организации по уважительным причинам его аттестация переносится на другую дату и в график аттестации вносятся соответствующие изменения, о чем работодатель знакомит работника под роспись не менее чем за 30 календарных дней до новой даты проведения его аттестации.

Действие квалификационных категорий педагогов продлено на весь 2021 год

Безусловно, для Министерства образования важна квалификация каждого педагога. Аттестация необходима для определения профпригодности преподавателя. К тому же, если педагог изъявил желание перейти на следующую профессиональную ступень и получить более высокую категорию, то без аттестации не обойтись. Помимо этого большинство родителей выступают за введение новой системы, так как каждый из них хочет, чтобы их ребенок получал качественное образование.

Однозначно, власти хотят улучшить систему образования, на то есть свои причины:

• теперь рост по карьерной лестнице не будет зависеть от выслуги лет;
• оценка достижений учеников и навыков учителей будет осуществляться объективно;
• будет создан специальный преподавательский рейтинг, который будет напрямую зависеть от профессиональной деятельности;
• педагогам дадут возможность разрабатывать оптимальную концепцию подготовки школьников по нормам и правилам новой системы образования ФГОС.

До конца 2019 система аттестации работала в тестовом режиме, однако с начала 2020 она постепенно будет внедряться во всех регионах. Конечно, это потребует дополнительных усилий от педагогов.

В ходе тестирования результаты превзошли все ожидания. Для аттестации создана трехступенчатая система оценивания:

1. Письменная работа. Экзамен проходит по профильной дисциплине. В ходе аттестации проверяются знания – как предметные, так и методическая компетенция педагога. В письменной работе есть не только задачи по предмету, но и вопросы по планированию и построению учебного процесса.
2. Видеозапись урока. Эта концепция позволяет оценить коммуникативные и педагогические навыки преподавателя. На видео учителю необходимо показать, как он проводит урок, опираясь на план, и предоставить несколько самостоятельных работ учеников с выставленными оценками.
3. Педагогический кейс. Учителю будет предоставлена вымышленная ситуация, где он должен будет рассказать способы ее разрешения. Примером может послужить общение с детьми из неблагополучных семей и составление плана по внедрению их в общественную жизнь класса и школы.

Помимо этих трех пунктов оценивается успеваемость школьников, собственные достижения педагога и условия профессиональной деятельности.

Под профессиональную аттестацию попадают все, за исключением, пребывающих в отпуске по беременности и уходу за ребенком до трехлетнего возраста. В категорию не сдающих экзамен также попадают те педагогические сотрудники, которые проработали на своей должности менее 2 лет.

Центр аттестации ежегодно избирает членов комиссии. Преподавателей предупреждают заблаговременно о времени и месте проведения оценивания. Каждый из них должен в течение двух недель после начала аттестационного процесса отправить все сведения в региональный центр.

После этого члены комиссии анализируют полученные данные и выносят заключение по поводу профпригодности того или иного сотрудника учебного заведения. Все данные заносятся в специальный протокол, а вердикт должен быть вынесен в течение 10 дней. Если результат не устроил, то, согласно действующему законодательству, решение можно обжаловать.

Лучше бы новые правила аттестации отменили. Если кто не в курсе, то с 2021 года начнут повсеместно действовать новые правила аттестации, которые весьма неадекватные.У нас все педагоги получили всё, что хотели в свой срок. Особенно, первая категория, за неделю можно собрать портфолио, дистанционно.Подала на высшую категорию, была первая, сказали, аттестация будет проходить дистанционно, на что собственно и надеюсь.У нас аттестация была после 11 декабря, в удалённом режиме по Зум. И дальше, скорее всего, так же будет продолжаться.

Сегодня, чтобы пройти аттестацию, учитель собирает огромный комплект документов, а сама процедура очень субъективная. Мы же планируем внедрить единые федеральные оценочные материалы, которые будут проверять предметные, методические, психолого-педагогические и коммуникативные компетенции учителей.Мы хотим сделать этот процесс простым для учителя и прозрачным. Чтобы аттестацию можно было пройти прямо на рабочем месте, в два клика, без дополнительных препятствий.В рамках нацпроекта «Образование» в 2021 году будем выстраивать единую систему научно-методического сопровождения профессионального развития педагогов. Школы, педагогические колледжи, вузы, институты повышения квалификации — все должно работать в единой системе. Создаем Федеральный реестр образовательных программ дополнительного профессионального образования для педагогов. Координировать всю работу будет федеральная Академия Минпросвещения.

11 декабря вышел приказ №713 Минпросвещения России, по которому педагогическим работникам продлевается действие квалификационных категорий, сроки действия которых заканчиваются с 1 сентября 2020 года по 1 октября 2021 года, до 31 декабря 2021 года. Оригинал Приказа в прикреплении к статье.

? Как мы помним, в 2018 году, несколько добровольцев уже проходили тестирование по своим предметам для апробации модели. И эксперимент провалился. Надеемся, удалось сделать правильные выводы и скорректировать модель. Потому, как в этот раз рассчитывать на перенос внедрения не приходится. В частности, вот что ответил Сергей Кравцов учителю Наталье Рыбаковой (впервые опубликовано в Российской газете)

Ранее мы уже поднимали этот вопрос. Почитать можно здесь>>. С 1 сентября 2021 года запускается новая модель аттестации педагогических работников, пока в режиме апробации. По крайней мере, так обещал Министр Просвещения РФ в своем интервью Российской газете (источник здесь).

При этом педагогические работники, срок действия квалификационных категорий которых продлен приказами N 193 и N 713, вправе в соответствии с Порядком проведения аттестации педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность», утвержденным приказом Минобрнауки России от 7 апреля 2014 г. N 276 (зарегистрирован Минюстом России 23 мая 2014 г., регистрационный N 32408), пройти аттестацию в целях установления квалификационной категории, независимо от того, что срок действия имеющихся у них квалификационных категорий был продлен до 31 декабря 2021 года.

При этом отмечаем, что согласно пункту 2 приказа N 193 действие квалификационных категорий педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность, сроки действия которых закончились в период с 1 апреля по 1 сентября 2020 года, было продлено до 31 декабря 2020 года, то есть срок действия квалификационных категорий указанных педагогических работников закончился 31 декабря 2020 года.

— о закреплении в региональных соглашениях положений, связанных с сохранением за педагогическими работниками условий оплаты труда с учетом имевшихся квалификационных категорий по истечении сроков их действия, в случаях, предусмотренных пунктом 5.10.4. Отраслевого соглашения.

В случае успешного прохождения указанными педагогическими работниками аттестации в целях установления квалификационной категории в период, на который приказами N 193 и N 713 продлевается действие имеющихся у них квалификационных категорий, решение аттестационной комиссии вступает в силу со дня его вынесения, при этом действие приказов N 193 и N 713 на указанных педагогических работников со дня установления им первой или высшей квалификационной категории перестает распространяться.

Следовательно, на указанных педагогических работников распространяется действие приказа N 713, продляющего до 31 декабря 2021 года квалификационные категории педагогических работников, срок действия которых закончился в период с 1 сентября 2020 года по 1 октября 2021 года.

Имею стаж работы 44 года.Неужели с таким опытом работы я работаю плохо?Наоборот, постоянно совершенствую свои знания, каждый урок продумываю так, чтобы детям было интересно, постоянно продумываю воспитательные моменты…Ведь учитель это такая профессия,которая не позволяет ему просто сидеть на уроке и скучать. А как можно измерить творчество, познавательную активность ребят? Приходите на уроки и смотрите,как работают дети на уроках, как проявляет свои лучшие профессиональные качества учитель.Я считаю,что надо упростить аттестацию для учителей,которые проработали в школе много лет и неизменно имели высшую квалификационную категорию в течение многих лет.

Видимо, тут учителя недовольны…
Очень нужна эта аттестация! И учителям со стажем 40 лет не меньше, чем новым учителям.
Наконец-то проверят кто учит наших детей!
С психологической точки зрения у большинства учителей вообще подхода нет. Они не умеют себя вести … и тех учителей, на которых хотелось бы быть похожим, или у кого хотелось бы учиться почти нет…
Эт�� очень печально!

• Документации, удостоверяющей личность и образование;
• Данные о прошлых оценках и присуждении квалификации;
• Удостоверения о совершенствовании уровня компетенций;
• Профессиональных и деловых достижений педагога;
• Характеристики с места работы.

Обязательное подтверждение проводится с периодичностью в пять лет и подразумевает оценивание трудовой деятельности. Учителя представляет к аттестации директор образовательного учреждения, в то время как для присвоения квалификации (первой или высшей) педагог самостоятельно заявляет о таком желании.

При добровольной аттестации эксперты анализируют пакет документов педработника, его профессиональные достижения. На заседании учителю присутствовать необязательно. Однако, если педагог захочет стать участником аттестации, то ему нужно заранее подать заявку о возникшем желании.

Предполагается, что ЕФОМ позволит оценивать учителей по единым для всей России требованиям, и дать оценку их компетенциям – предметным, методическим, психолого-педагогическим и коммуникативным (соответственно, для каждого блока компетенций предусмотрены определенные оценочные материалы).

Аттестация преподавателей проходит по нескольким темам, она достаточно сложная. Педагог должен ответить на вопросы по психологии и педагогике, по законодательству, по методам и средствам преподавания. Также он должен отлично знать свой предмет.

Новые правила гласят, что занимать должность преподавателя не сможет тот сотрудник, который не имеет даже базовой аттестационной категории. Если существующий педагогический работник не получит соответствующую категорию, то его отправят на курсы повышения квалификации, после которых экзамен можно будет сдать заново. В течение периода обучения рабочее место остается за преподавателем вместе со стандартной ежемесячной зарплатой. В случае провальной повторной аттестации администрация имеет право отстранить сотрудника от обязанностей.

Молодым учителям, впервые пришедшим на работу в школу, придется сдавать аттестацию на вхождение в профессию. Процедура аттестации пока не утверждена. Скорее всего, это будет первичная проверка знаний. Правда, возникает вопрос, для чего это нужно, поскольку учитель только что закончил вуз и сдал государственные экзамены.

Срок действия любой категории продолжается в течение пяти лет. Спустя отведенный срок педагог может подать заявление на присвоение высшей категории. Процедура очень похожа на предыдущую, но отличается повышенными требованиями к квалификации и уровню трансляции опыта.

Испытание состоит из очного этапа, где изучается практической опыт педагога и уровень заполнения отчетной документации. Заочный этап проходит в виде анализа предоставленного самоотчета, где по каждой позиции начисляется определенное количество баллов. Затем на заседании комиссии, принимается коллегиальное решение о соответствии учителя заявленной категории. В случае положительного исхода голосования, приказом присваивается категория.

Порядок присвоения категории определен Приказом Министерства образования и является обязательным для исполнения. В нем прописаны равные условия для всех аттестующихся, принципы, общие и особые условия, критерии оценки. На категорию обращают особое внимание работодатели при устройстве на работу и родители.

Аттестация является личным делом педагога, и никто не в праве его заставлять или обязывать. При приеме на работу наличие категории может стать решающим фактором, а возможно работодателя будут интересовать другие компетенции потенциального сотрудника. Но вот без подтверждения соответствия занимаемой должности обойтись не удастся, это обязательное условие деятельности.

Региональная комиссия анализирует достижения педагога, знакомится с практическим опытом, изучает письменный самоанализ или портфолио. Затем принимает решение о присвоении категории в соответствии с набранными баллами. Издается приказ и аттестационный лист.

Например, Омской области в 2021 году выделены 10 млн рублей, следовательно, число вакансий с правом на выплату — 10. Но количество вакансий в сельских школах обычно гораздо больше. Поэтому на уровне области власти устанавливают список вакансий, где положена выплата, и на эти вакансии объявляют конкурс. На оставшиеся вакансии устроиться тоже можно, но миллиона не получить.

Взять больше часов, как в городе, получится не всегда: просто нет такого количества классов и детей. Зато зачастую в сельских школах не хватает учителей по другим предметам, поэтому можно совмещать. Например, учитель физкультуры может взять ведение нескольких секций, ОФП и спецзанятия для детей с инвалидностью. Еще можно взять классное руководство, за которое из федерального бюджета платят 5000 Р , плюс есть региональная доплата.

Платят в Вологодской области больше, чем в Кировской. Многие учителя, которые участвуют в программе, берут дополнительную нагрузку: совмещают ставки, чтобы получать больше. В сельских школах большой дефицит кадров, и земский учитель может стать еще, например, замом по воспитательной работе или педагогом-психологом.

Большая загвоздка программы в том, что люди боятся сообщать своему руководству об участии в ней. Один из критериев — подтвердить, что вы работающий педагог. И когда нужно делать копию трудовой книжки, брать выписки приказов, естественно, в твоей школе возникают вопросы. Тут все по-разному действуют: одни раскрывают все карты директору, другие придумывают отговорки. Страшно ведь проиграть, и потом на тебя будут в своей же школе показывать: вот он не прошел. Поэтому к конкурсу нужно готовиться еще и морально. Быть готовым и к большим переменам, и к тому, что может не получиться.

Дополнительно можно представить любые документы. Рекомендую приложить все бумаги, которые подтверждают достижения в педагогической или научной деятельности. Это могут быть сертификаты о повышении квалификации и прохождении профессиональной переподготовки, присвоении категории или ученой степени.

Аттестация педагогов в 2021 году — последние новости

«Данные решения приняты в интересах здоровья и безопасности всех участников и организаторов экзаменов, чтобы снизить эпидемиологические риски и сделать проведение итоговой аттестации школьников в 2021 году максимально безопасным. При проведении экзаменов также будут применены все рекомендованные Роспотребнадзором меры эпидемиологической безопасности, которые успешно зарекомендовали себя на ЕГЭ в 2020 году и позволили предупредить новый всплеск заболеваемости после экзаменов», – прокомментировал изменения руководитель Рособрнадзора Анзор Музаев.

10. Для допуска к ЕГЭ выпускникам 11-х классов нужно получить «зачет» за итоговое сочинение. Выпускникам прошлых лет писать итоговое сочинение не нужно, но они имеют право написать его по желанию, если результаты сочинения нужны для получения дополнительных баллов при поступлении в вуз.

Педагогические работники (учителя, учителя-дефектологи, учителя-логопеды, педагоги-организаторы, педагоги дополнительного образования, педагоги-психологи, социальные педагоги, педагоги-организаторы, преподаватели, преподаватели-организаторы ОБЖ, мастера производственного обучения, методисты, воспитатели, старшие воспитатели, старшие вожатые, тьюторы, руководители/инструкторы физического воспитания, музыкальные руководители, концертмейстеры и др.), которым для получения второй, первой, высшей квалификационной категории или для подтверждения уже имеющейся категории необходимо пройти процедуру аттестации и получить экспертное заключение об уровне профессиональной деятельности педагогического работника образовательного учреждения, имеют возможность воспользоваться образовательными услугами электронного журнала «Экстернат.РФ» и Автономной некоммерческой образовательной организации «Центра повышения квалификации педагогов и дополнительного образования «АНЭКС».

Порядок аттестации определяется Министерством образования Российской Федерации. Министерство издает определенные Постановления, Положение об аттестационной комиссии и аттестации.

ВНИМАНИЕ! Основной нормативный документ по данному вопросу – «Порядок проведения аттестации педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность».

Положение было издано в 2021 году, оно в основном касается учителей школы. В 2015 году принят порядок проведения аттестации профессорско-преподавательского состава. Как часто педагогов проверяет аттестационная комиссия?

По законодательству педагоги проходят аттестацию каждые пять лет. Существования нормы по проведению проверки не позволяет, все же, проводить ее без подготовки. Педагогические работники предварительно извещаются о таком событии, имеют время на подготовку.

В ходе аттестации определяется уровень профессиональных знаний, оценивается опыт, деловые качества, умение использовать новое, современные методики обучения. Соответствует педагог своей должности или нет – решает работодатель.

Результаты аттестации могут значительно сказаться на дальнейшей карьере учителя. Успешное прохождение аттестационной проверки позволит поднять категорию учителя, а это не только престиж, но и повышение зарплаты.

Квалификационные категории педагогическим работникам присваиваются срок для следующей проверки. Но иногда после аттестации выходят приказы, в которых категория учителя понижается, он переводится на другую работу.

Следует ответственно относится к такой профессии, как педагог. Она требует постоянного совершенствования по своей специальности, дополнительного образования на протяжении всей преподавательской деятельности.

Как педагогам пройти аттестацию в 2021 году. Обзор изменений законодательства

Федеральный Закон 273 (статья 43) «Об образовании в Российской Федерации» выделяет два типа аттестации:

• Раз в пять лет проводится стандартная, обязательная аттестация педагогических работников. Правила определяют ее обязательность для всех педагогов, независимо от образования, опыта. Занимаемой должности.
• Педагогический работник может аттестоваться еще дополнительно добровольно, помимо обязательной. Часто таким способом можно поднять свою категорию, повысить должность.

Обязательная и добровольная аттестация проводится по одной и той же схеме. Их цели – оценка уровня преподавателя и его работы в школе, в вузе, в другом учебном заведении.

В аттестации заинтересованы те из преподавателей, кто хочет и может повысить категорию до первой или высшей:

1. Учителя без категории, но стремящиеся получить первую.
2. Учителя первой категории. Они должны подтверждать периодически свою квалификацию.
3. Также учителя с первой категорией, стремящиеся к высшей.
4. Педагоги с высшей категории для ее подтверждения по установленному графику аттестаций.

Такие педагоги составляют заявление на прохождение обязательной или добровольной сертификации.

Аттестация педагогов помогает определять качество педагогической деятельности работника, стимулировать его профессиональный и личностный рост. Порядок прохождения этой процедуры описан в Приказе Минобрнауки России от 7 апреля 2014 года №276.

Существует два вида аттестации, первая – на соответствие педагога занимаемой должности. Отдельные категории работников должны проходить её обязательно, в том числе учитель, педагог дополнительного образования, воспитатель, логопед, преподаватель, старший методист, социальный педагог и другие. Второй вид аттестации – для установления квалификационной категории (первой или высшей) – можно проходить по желанию.

Такое мероприятие имеет несколько важных целей, определенных законодательством:

1. Устанавливается целесообразность повышения категории определенных педагогов.
2. Стимулируется самообразование и самоподготовка учителей, так как появляется возможность повышения категории и зарплаты.
3. Педагоги улучшают свою профессиональную подготовку.
4. Дифференцируется зарплата в зависимости от результата аттестационной проверки.

Во время аттестации руководство школы составляет представление на тех работников, которые проходят проверку. В этих представлениях есть много ценных сведений о педагогах, руководстве учебного заведения.

ВНИМАНИЕ! После проверки издается приказ на соответствие занимаемой должности, оформляется другая документация.

Какие сведения о сотруднике собираются для проведения его аттестации?

• Указывается его полное имя, отчество, фамилия.
• Должность, которую он занимает до прохождения аттестационной проверки.
• Дата, когда учитель подписал договор на трудоустройство.
• Также есть указание о законченном учебном заведении.
• Категория учителя, расшифровка специализации.
• Показывается, как педагог прошел предыдущую аттестацию.
• Даются сведения о дополнительном образовании.
• Также в документе должна быть дана оценка моральных, деловых качеств, его отношение к работе.

До этого времени информация о педагоге для аттестации подготавливалась им самим, теперь этим занимается руководство учебного заведения. Но педагог может возразить, если сведения предоставлены неправдивые, дополнить их.

Сразу после окончания учебного заведения учитель приобретает статус «молодой специалист». Он сохраняется в течение трех лет и предусматривает доплату.

После того, как молодой специалист отрабатывает по специальности два года, у него есть возможность пройти квалификационные испытания на первую категорию. Принимает решение о присвоении областная комиссия оценки качества.

Испытание состоит из очного этапа, где изучается практической опыт педагога и уровень заполнения отчетной документации. Заочный этап проходит в виде анализа предоставленного самоотчета, где по каждой позиции начисляется определенное количество баллов. Затем на заседании комиссии, принимается коллегиальное решение о соответствии учителя заявленной категории. В случае положительного исхода голосования, приказом присваивается категория.

Если учитель не принимает решения об аттестации на первую категорию, присваивается соответствие занимаемой должности внутри учреждения. Специально созданная комиссия коллегиально решает этот вопрос.

Срок действия любой категории продолжается в течение пяти лет. Спустя отведенный срок педагог может подать заявление на присвоение высшей категории. Процедура очень похожа на предыдущую, но отличается повышенными требованиями к квалификации и уровню трансляции опыта.

Если учитель чувствует в себе силы, возможно досрочное присвоение категории, но не ранее чем через два года работы.

Чем отличается аттестация на категорию от подтверждения соответствия занимаемой должности

Аттестация на категорию проходит с участием экспертов Центра оценки качества образования. Решение о присвоении принимается на областном уровне.

Подтверждение занимаемой должности по форме немного отличается в сторону упрощения и проводится специалистами учреждения с участием администрации.

Еще одно основное отличие, оплата по первой категории выше, чем по соответствию занимаемой должности.

Квалификационный экзамен (аттестация педагогических работников)

Начальный этап — это подача заявления с аргументированной позицией, почему учитель считает возможным получение первой категории.

Требования к заявителю:

• Стабильные результаты учеников при контроле знаний;
• Школьники показывают результаты в олимпиадах, соревнованиях и других мероприятиях;
• Учитель транслирует педагогический опыт среди своих коллег на уровне учреждения и на уровне педагогических сообществ.

Региональная комиссия анализирует достижения педагога, знакомится с практическим опытом, изучает письменный самоанализ или портфолио. Затем принимает решение о присвоении категории в соответствии с набранными баллами. Издается приказ и аттестационный лист.

Если учитель не прошел аттестацию, то внутри учреждения проходит испытание на соответствие занимаемой должности. Через пять лет можно повторно подавать заявление.

Подтверждение категории проходит приблизительно аналогично. Проводится в тех случаях, когда педагог не желает повышать уровень квалификации, предпочитая оставить прежний.

К специалисту высшей категории предъявляются повышенные требования:

• Активное участие в работе методических объединений, их организация и проведение заседаний, разработка программно-методического сопровождения и участие в конкурсах педагогического мастерства;
• Стабильно положительная динамика в обучении, результаты учеников на олимпиадах регионального уровня и выше;
• Наличие публикаций в педагогических сообществах регионального уровня и выше.

Обязательно наличие первой квалификационной категории не менее двух лет.

Комиссия принимает решение на основе анализа деятельности и самоанализа, с присвоением соответствующего количества баллов.

Через пять лет процедура подтверждения проводится аналогично, но начисление баллов происходит лишь на основе предоставленного самоанализа деятельности.

• для педагога устанавливается оклад в размере, утвержденном региональными органами исполнительной власти, но не менее размера, действующего ранее по Единой тарифной ставке;
• педагог имеет право на получение надбавок, начисленных за квалификационную категорию, стаж работы, уровень образования и учетной степени (при наличии).

Первым этапом расчета зарплаты педагога с учетом стимулирующих выплат является определение базового оклада педагога. Размеры базовых окладов устанавливаются локальными нормативными актами региональных органов исполнительной власти (например, положение об оплате труда работников муниципальных образовательных организаций).

03 мая 2021 vektorurist 182

Поделитесь записью

Похожие записи
• Как заполнить 3 ндфл в 2021 г. Продажи автомобиля за 2021г
• На сколько увеличится выплата ветеранам труда в 2021 году
• Можно ли получать стипендию и пособие по уходу пожилым человеком
• Можно ли купить квартиру с использованием материнского капитала у свекрови

Приказ Минобрнауки РФ от 07.04.2014 N 276

Перечни должностей основных категорий специалистов отрасли, которым могут устанавливаться указанные надбавки, и порядок их установления определяются соответствующими министерствами, республиканскими органами государственного управления (образования, здравоохранения, культуры, спорта и туризма, социальной защиты, по архивам и делопроизводству, Белтелерадиокомпанией).

При выполнении работы на условиях совместительства по основному месту работы и у другого нанимателя выплата надбавок основным категориям специалистов, имеющим квалификационные категории, производится на общих основаниях, как и основным работникам.

Это интересно: Субсидия На Квартиру Кому Положена 2021 Московская Область Сумма

• Опыт коллег
• Я и другие
• Мотивация
• Деньги
• Методики
• Полемика
• Бюрократия
• Все статьи

Прежде всего, ожидается запуск системы профессионального роста. Для работников педагогической системы это значит, что для них будет внедрение новых должностей, а также ожидаются изменения правил работы профдеятельности. Все это должно создать для любого педагога, независимо от того в каком заведении он работает, либо какой ВУЗ он заканчивал, равные требования и условия.

Изначально в 2020-м году планировалось попробовать новую модель, но не вводить её сразу, потом аттестация педагогических работников должна была произойти в ноябре, но пандемия несколько изменила планы, поэтому теперь тестирование будет проводиться в несколько этапов:

• определённое тестирование, которое состоит из нескольких блоков – тесты, составление учебного плана и так далее;
• составление кейса для педагога, который в будущем позволит более просто справляться с тяжелыми ситуациями;
• практический анализ работы педагога. Считается, что это должен быть самый сложный этап, потому что планируется оценивать учителя по видеозаписи урока, а также по тому, как он ведёт проверку своих работ. Правда, потом возникла информация по поводу того, что запись видео точно не нужна, но это ещё пока спорный момент.

В качестве завершения планируется оценивать успешность педагога по его специальности. Здесь учитываются индивидуальные достижения в педагогике, заслуги профдеятельности и так далее.

Вся вышеперечисленная оценка эффективности работы педагога должна была изначально проводиться в первый год работы. Затем через три года, после этого – через пять.

Причём речь идет не про экзамены по плану, на основе каждого из этапов должна происходить оценка и вероятности повышения в должности для учителя – от младшего и до повышения по должности наставника, но точно сказать о том, как будет проходить аттестация учителей в 2021 году пока очень сложно.

Естественно, пандемия внесла некие коррективы. Сроки переноса на сегодняшний день точно неизвестны, но пока в приказе министерства по срокам действия программы стоят даты 2020 года, которые легко можно считать недействительными.

На самом деле, желание власти ввести новую систему аттестации быстрее обусловлено ещё и тем, что в прошлом году многие заведения были переведены на удалённую работу, и одна из депутатов Государственной Думы подвергла жёсткой критике эту систему аттестации, которая есть сегодня. Считается, что аттестация педагогов не слишком продумана и ее результаты можно легко назвать необъективными. Любовь Духанина, которая и являлась критиком, сказала, что нужно как можно быстрее изменить аттестацию.

Однако Министерство образования выпустило приказ по поводу того, чтобы продлить сроки её действия, потому что страна решала куда более важные проблемы. Тем более переаттестацию пройти было невозможно, и чтоб не лишать учителей без аттестации доплат, нужно было продлевать действие программы.

Сегодня точно можно сказать о том, что действие программы теперь планируется осенью нового года, причём с этой даты будет работать как обновленная система оценки, так и новые категории квалификации. Правда, документа по этому поводу все равно ещё нет, но эксперты делают заявления, что с осени будет действовать проба новой системы оценки квалификации для педагогов, но опять же точной информации о том, как будет проходить аттестация педагогов в 2021 году, не будет.

И отдельно нужно сказать, что если сегодня система педагогического развития состоит из нескольких ступеней молодого специалиста, то в новом году изменится градация по должностям. Будет учитель, и градация должностей:

• старший и младший.

И чтобы перейти на более высокую должность нужно будет отработать не менее пяти лет в школе – речь идёт о старшем учителе. Для получения квалификации наставника понадобится не менее 10 лет стажа. Естественно, аттестация будет проводиться по новому обновленному госстандарту.

Похожие записи:

07:44, 05.01.2022

В Казани малоимущая глухонемая женщина получила в подарок просроченные сладости

01:00, сегодня

Мать задушила 10-месячную дочь на прогулке и спрятала ее тело в лесу

00:01, сегодня

Один из убийц пятилетней девочки ранее был судим за оборот порнографии

12:33, 03.01.2022

Вот куда отдают своих детей успешные родители Казани

22:00, 05.01.2022

Названа группа крови, обладатели которой имеют невероятные сверхчеловеческие способности

ЖК Крылья — дом сдан

От 65 000 рублей за квадратный метр

А вы успели забронировать квартиру?

РЕКЛАМА. Застройщик — ООО «СПБ СТРОЙСЕРВИС». Проектная декларация на сайте

20:00, 05.01.2022

Пропавшую трехлетнюю девочку нашли замерзающей в сугробе

14:06, 28.12.2021

Что выбрать?: раскрути колесо фортуны и узнай что выгоднее

19:00, 05.01.2022

Известный в России профессор-историк захламил квартиру и погиб в куче мусора

07:48, 07.06.2021

Вот что делают казанские невесты, чтобы подготовиться к свадьбе за несколько недель

14:09, 05.01.2022

Через два дня после дня рождения: умер бывший госсоветник при Президенте РТ Фильза Хамидуллин

13:52, 05.01.2022

Найден убитым бандит, на которого не так давно пожаловались Путину

13:31, 05.01.2022

В Татарстане в жилом доме прогремел взрыв — трое госпитализированы

10:30, 16.06.2021

Попробуйте эти завтраки и узнаете, как изменится ваше настроение

13:24, 05.01.2022

В консульство Казахстана в Казани пришло сообщение о заложенной бомбе

12:32, 05.01.2022

Жена прожила с супругом 25 лет, а потом хладнокровно зарезала его ножницами

10:00, 14.12.2021

Профориентация и новые знания:казанские школьники приняли участие в программе «Введение в профессию»

12:12, 05.01.2022

Открылось движение по ледовой переправе Верхний Услон-Казань

12:05, 05.01.2022

В Казани на пожаре в частном доме заживо сгорели два человека

17:58, 31.08.2021

Бары, рестораны и караоке Казани: гид по самым необычным и интересным заведениям города

11:54, 05.01.2022

В Башкирии спасатели нашли пропавших туристов из Татарстана

11:19, 05.01.2022

Следователи показали видео из комнаты, где жили похитители и убийцы пятилетней девочки

14:50, 14.12.2021

Гнев, выгорание, синдром самозванца… — казанский психолог объяснил причину ваших чувств и эмоций

10:59, 05.01.2022

В Казани сотрудники Росгвардии пришли на помощь женщине, сломавшей на улице ногу

10:49, 05.01.2022

Суровые морозы в Татарстане сменятся резким потеплением: уже завтра все изменится

17:58, 24.12.2021

Как спасти зубы? Поразительные фото до/после от казанской стоматологической клиники

10:37, 05.01.2022

В Татарстане нашли мертвым мужчину, который пропал за несколько часов до Нового года

10:27, 05.01.2022

В Татарстане в массовом ДТП с пятью машинами пострадали люди

09:00, 16.12.2021

Парк Хаус дарит казанцам MINI COOPER и тысячи классных призов

10:07, 05.01.2022

На звезду Пацанок завели дело за нападение с ножом на собственную мать

09:51, 05.01.2022

Мужчина бросил на морозе трехлетнего сына, чтобы продолжить пьянку

10:05, 29.12.2021

Вот как избежать проблем: казанские специалисты рассказали, как принимать работу после ремонта

09:40, 05.01.2022

В Татарстане пойман подозреваемый в убийстве женщины, доставленной в больницу с ножом в груди

09:28, 05.01.2022

В Татарстане сын и мать отравились угарным газом в собственном доме

09:38, 27.12.2021

«Ловит даже за городом»: в Татарстане за последний год значительно улучшилось качество связи

08:56, 05.01.2022

Двое взрослых мужчин похитили и жестоко убили пятилетнюю девочку

08:44, 05.01.2022

В заливе под Казанью провалились и почти затонули трактор и экскаватор

14:54, 23.07.2021

Домашние животные все чаще болеют: советы, которые помогут предотвратить опасность

08:27, 05.01.2022

Академик РАН Лео Бокерия рассказал, где у человека располагается душа

07:56, 05.01.2022

Совестливый попался: в Казани мужчина ограбил жертву и написал на стене извинения кровью

12:30, 10.12.2021

Баварские дома от 56 тыс рублей за кв.м. — получите скидку 100 000 рублей и теплые полы в подарок

06:00, 05.01.2022

Не проморгай: Павел Глоба назвал 3 знака Зодиака, которым повезет в любви в 2022-м году

05:00, 05.01.2022

Годовалый ребенок отравился средством от тараканов и умер спустя два месяца комы

15:56, 07.12.2021

В Казани можно купить квартиру за 20 тыс. рублей в месяц — еще и скидка 500 000 рублей полагается

01:00, 05.01.2022

8-летняя девочка скончалась во время игры с собакой

00:01, 05.01.2022

Вооруженные мужчины с битами напали на рейсовый автобус

17:08, 30.09.2021

Готовим зимний гардероб: подсказываем, в чем выходить на улицу чтобы блистать при любой погоде

22:00, 04.01.2022

Названа группа крови, носители которой стареют быстрее остальных

20:00, 04.01.2022

Гололедица и сильный мороз: Гидрометцентр Татарстана озвучил прогноз погоды на первую неделю января

12:38, 03.01.2022

Скидки на напольные покрытия! — выгодные условия и помощь в выборе

18:00, 04.01.2022

В Татарстане еще семь человек скончались от вируса Covid-19

17:00, 04.01.2022

В Казани за прошедшие сутки вывезли более 20 тысяч тонн снега

12:54, 28.12.2021

Вы открыли новую меня — счастливую, женственную! — проект Преображение для девушки из Казани

16:00, 04.01.2022

Татарстанские дети стали чаще жаловаться на буллинг в школе

15:00, 04.01.2022

В Татарстане за прошедшие сутки выявлено 93 новых случая коронавируса

17:51, 09.11.2021

Корпоратив, за который не стыдно: как казанцы будут отмечать праздники

14:00, 04.01.2022

В Набережных Челнах в одной из квартир нашли труп 52-летнего мужчины

13:00, 04.01.2022

Татарстанские спасатели спасли на Волге замерзавшего рыбака

12:39, 29.12.2021

Вот как казанцы смогут справиться со своей деликатной проблемой

12:00, 04.01.2022

В Татарстане двое подростков разгромили точку в торговом центре

10:00, 04.01.2022

В Нижнекамске «Лада» сбила 79-летнюю пенсионерку, перебегавшую дорогу в неположенном месте

14:49, 14.12.2021

В Новый год по-новому: как за новогодние праздники обновить внешний вид квартиры

09:00, 04.01.2022

В Татарстане в результате столкновения легковушки и бензовоза погибли два человека

06:00, 04.01.2022

Переломный момент в жизни: Павел Глоба назвал три знака Зодиака, которых ждут перемены в 2022 году

17:36, 08.12.2021

Вот что делают казанцы, чтобы сберечь и укрепить свое здоровье

05:00, 04.01.2022

Мужчина запустил фейерверк в подъезде многоквартирного дома и получил проблемы с полицией

01:00, 04.01.2022

Автоледи без прав опрокинула машину на крышу и скрылась с места происшествия

14:22, 24.12.2021

ТОП-5 нескучных салатов: казанский шеф-повар показал, как разнообразить новогодний стол

00:01, 04.01.2022

13-летняя школьница убила отца, защищая мать в канун Нового года

22:00, 03.01.2022

Названа группа крови, обладатели которой наиболее склонны к агрессивному типу рака

13:15, 19.11.2021

Вот на какое жилье могут рассчитывать казанцы в 2022 году

18:00, 03.01.2022

В новогоднюю ночь пьяный отец зарезал собственного сына

17:00, 03.01.2022

Девять детей госпитализировано с подозрением на отравление хлором

14:58, 24.12.2021

За новогодним настроением – в ТРЦ «Франт»!

16:00, 03.01.2022

В Татарстане за два праздничных дня произошло 32 пожара и погибло 3 человека

15:00, 03.01.2022

В Нижнекамске из-за сообщения о бомбе эвакуировали торговый центр

13:53, 24.12.2021

Вы никогда не бываете дома одни: что поджидает казанцев в самом “безопасном” месте

14:00, 03.01.2022

В Татарстане упавший из окна годовалый ребенок остался чудом жив

12:00, 03.01.2022

В Казани за два первых дня года выпала почти половина от месячной нормы осадков

11:01, 22.12.2021

Профориентация: школьники из Азнакаево приняли участие в программе “Введение в профессию»

11:00, 03.01.2022

Ученый КФУ назвал товары, которые могут подешеветь после Нового года

10:00, 03.01.2022

В Казани мужчина прокатился по проезжей части на сноуборде, прицепившись к каршеринг-авто

15:45, 28.12.2021

Говядина с вареньем или с грибным рагу? — какие бургеры выбирают казанцы

09:00, 03.01.2022

В Казани 32-летний мужчина получил ожоги от разорвавшейся в руках петарды

06:00, 03.01.2022

«Великие неудачники»: Павел Глоба назвал три знака Зодиака, которых ждут проблемы в 2022 году

17:55, 29.10.2021

Теперь казанские мамы могут выбрать все для своего ребенка за 20 минут

05:00, 03.01.2022

Автоледи влетела в подъезд, спутав тормоз и газ: из-за помятой двери жильцы не смогли попасть домой

01:00, 03.01.2022

42-летняя женщина скатилась с горки на тюбинге и попала под колеса автомобиля

00:01, 03.01.2022

Два человека задохнулись в застрявшем на трассе автомобиле

22:00, 02.01.2022

Вам не страшны никакие вирусы: названа группа крови с самым сильным иммунитетом

10:39, 31.12.2021

В Челнах рассказали о работе общественного транспорта 1 января

11:20, 30.12.2021

На пляже в Челнах хотят построить аквапарк

10:27, 30.12.2021

Два человека пострадали в результате ДТП на проблемном перекрестке в Челнах

09:48, 30.12.2021

В Челнах на автомойке нашли труп 21-летнего парня

06:30, 30.12.2021

Семья с тремя детьми попала в жуткое ДТП: отец и старшая дочь погибли

05:30, 30.12.2021

Мужчина поджег машину начальника за отказ выплатить долг по зарплате

18:33, 29.12.2021

Челнинец пытался отсудить у бывшей жены деньги, переведенные ей на карту еще во время брака

17:59, 29.12.2021

Жильцы дома в Челнах, где прогремел взрыв, вернулись в отремонтированные квартиры

13:12, 29.12.2021

Врач призвал молиться для победы над коронавирусом

12:59, 29.12.2021

Яркий ответ челнинским крановщицам: Баскетболистки устроили эротическую фотосессию ради календаря

11:56, 29.12.2021

Один из крупнейших городов Татарстана может остаться без пассажирских автобусов: в чем причина

11:25, 29.12.2021

Челнинка пыталась незаконно вывезти из страны 47 тысяч долларов

09:28, 29.12.2021

В Челнах таксист на Гранте сбил 79-летнюю пенсионерку

06:30, 29.12.2021

Это единственное, что вы можете сделать: Доктор Мясников раскрыл способ избежать похмелья

05:30, 29.12.2021

68-летний пенсионер семь лет насиловал свою несовершеннолетнюю внучку

19:06, 28.12.2021

В лобовом столкновении Калины и Гранты под Челнами пострадали два человека

15:31, 28.12.2021

Они мои спасители: Челнинские врачи удалили опухоль в сердце молодой пациентке

15:19, 28.12.2021

Легкомоторный самолет упал на жилой комплекс, число погибших и пострадавших не известно

14:34, 28.12.2021

В частном секторе Набережных Челнов появится детский сад

14:04, 28.12.2021

В трех ДТП в Челнах пострадали три человека, в том числе 11-летний ребенок

12:20, 28.12.2021

В Челнах открылся первый виртуальный концертный зал

10:58, 28.12.2021

Мы каждый день рыдаем в обнимку: В Челнах новорожденный ребенок умер от отека мозга

10:40, 28.12.2021

Стало известно, какие дороги в Челнах перекроют в новогоднюю ночь

06:30, 28.12.2021

Четырехлетняя девочка попала в реанимацию, съев фейерверк

05:30, 28.12.2021

Водитель скорой помощи нашел на улице в 40-градусный мороз 3-летнего ребенка без одежды

01:00, сегодня

Мать задушила 10-месячную дочь на прогулке и спрятала ее тело в лесу

00:01, сегодня

Один из убийц пятилетней девочки ранее был судим за оборот порнографии

20:00, 05.01.2022

Пропавшую трехлетнюю девочку нашли замерзающей в сугробе

19:00, 05.01.2022

Известный в России профессор-историк захламил квартиру и погиб в куче мусора

Вот что поможет казанцам чувствовать себя активно в осенний период

Вслед за редакцией ProKazan: куда стоит сходить каждому казанцу

Вот почему у казанцев должны быть идеальная улыбка

Новости СМИ2

13:52, 05.01.2022

Найден убитым бандит, на которого не так давно пожаловались Путину

12:32, 05.01.2022

Жена прожила с супругом 25 лет, а потом хладнокровно зарезала его ножницами

11:38, 05.01.2022

Подростки из детского дома угнали авто и попали в жесткое ДТП

11:19, 05.01.2022

Следователи показали видео из комнаты, где жили похитители и убийцы пятилетней девочки

10:07, 05.01.2022

На звезду Пацанок завели дело за нападение с ножом на собственную мать

09:51, 05.01.2022

Мужчина бросил на морозе трехлетнего сына, чтобы продолжить пьянку

09:03, 05.01.2022

Ребенок внезапно умер, играя во дворе с собакой

08:56, 05.01.2022

Двое взрослых мужчин похитили и жестоко убили пятилетнюю девочку

08:27, 05.01.2022

Академик РАН Лео Бокерия рассказал, где у человека располагается душа

05:00, 02.01.2022

Мигрант едва не изнасиловал мать двоих детей на улице ночью

01:00, 02.01.2022

Мужчина погиб при запуске фейерверка

19:00, 01.01.2022

Парень зарезал свою девушку, выходящую из лифта

16:02, 01.01.2022

Муж зарубил жену топором во время праздничного застолья

12:12, 01.01.2022

В новогоднюю ночь женщину нашли убитой во дворе у мусорки

11:51, 01.01.2022

В новогоднюю ночь неизвестные подожгли психоневрологический диспансер

11:08, 01.01.2022

Врач предупредила, что новогодние песни очень опасны для психики

10:22, 01.01.2022

В туалете городского парка нашли женщину с перерезанным горлом

10:09, 01.01.2022

Врачи 23 раза за сутки спасали от смерти одну и ту же женщину

10:01, 01.01.2022

В лесу обнаружили раздетого ребенка без сознания, Следком расследует дело

05:00, 31.12.2021

Треть россиян считают, что новый 2022 год будет лучше уходящего 2021-го

01:00, 31.12.2021

Стоимость поездок в такси в 2022 году существенно вырастет

19:00, 30.12.2021

Главная елка Казани оказалась самой дорогой в России

17:26, 30.12.2021

Президент России Путин подписал закон о запрете списания соцвыплат банками за долги

17:14, 30.12.2021

Слабоумие и отвага: четверо подростков напали на полицейских, двое сбежали, украв регистратор

15:27, 30.12.2021

Женщине, выгуливающей собаку, отрезало пальцы поводком в лифте

11:43, 30.12.2021

Ученые РАН потратили более 700 тысяч на изучение зла и ада

09:53, 30.12.2021

Элвин Грей покинул Россию после отмены корпоративов и показал первые фото после переезда

08:38, 30.12.2021

Родителей школьника, замерзшего насмерть по пути в школу, отстранили от похорон

08:28, 30.12.2021

Таксист изнасиловал пятилетнего мальчика и выгнал на мороз, ребенок погиб

05:00, 30.12.2021

Свора бродячих собак насмерть загрызла 53-летнюю женщину: обезображенное тело не сразу опознали

01:00, 30.12.2021

Пятерых обвиняемых в 23 фактах изнасилований сирот суд оправдал и отпустил

20:00, 29.12.2021

Водитель реанимобиля умер за рулем и влетел в здание

19:00, 29.12.2021

Подозревают убийство: в квартире нашли тело 10-месячного ребенка

14:16, 29.12.2021

Илья Прусикин на похоронах перепутал гроб отца, с которым не виделся 15 лет

11:12, 29.12.2021

11-летний мальчик боялся опоздать в школу и умер на улице от обморожения

10:39, 29.12.2021

Корпоратив полицейских закончился дракой и побоищем: полиция написала заявление в полицию

08:20, 29.12.2021

Пермский суд оставил на свободе подростка, который стрелял в школе

07:19, 29.12.2021

Попова предсказала ухудшение ситуации с коронавирусом после новогодних праздников

07:00, 29.12.2021

Замывали пятна крови: полиция задержала отца и сына, которые убили и расчленили женщину

05:00, 29.12.2021

Мужчина, убивший человека на спор, отправился в колонию, посадили и его друга

01:00, 29.12.2021

Стало известно, какую пенсию получает Дед Мороз

19:00, 28.12.2021

Полицейский убеждал злоумышленника не сознаваться в преступлении

14:15, 28.12.2021

Выживший в крушении вертолета из Казани в Удмуртии выжил, сняв одежду с пилота

13:33, 28.12.2021

Племянник погибшего пилота Ми-2 сообщил, что мать Дамира Гафурова еще не знает о смерти сына

13:08, 28.12.2021

Медсестра избила школьника за отказ от прививки

11:39, 28.12.2021

11-летний мальчик набросился с ножом на собственного отца, защищая мать, но она теперь защищает мужа

11:22, 28.12.2021

Боевая бабушка: в квартире 80-летней пенсионерки нашли склад оружия в обувных коробках

10:23, 28.12.2021

Врач Фархад Ислами заявил, что горячий чай увеличивает риск заболеть раком в два раза

09:51, 28.12.2021

Минздрав Удмуртии рассказал о тяжелом состоянии выжившего в крушении вертолета Ми-2 из Казани

08:52, 28.12.2021

Мужчина лег в больницу поднять иммунитет и умер странной смертью

08:39, 28.12.2021

Спецназ прямо на матче задержал футболиста, который бегал от тюрьмы 13 лет

07:57, 28.12.2021

Пилот вертолета из Казани, упавшего в Удмуртии, погиб: спасатели искали место крушения полсуток

00:01, 28.12.2021

Мужчина жестоко убил друга за неснятую в гостях обувь

20:00, 27.12.2021

В гостях у бабушки: школьника доставили в больницу с разрывом кишки после переедания

15:15, 27.12.2021

Замерз насмерть: у реки нашли труп депутата от КПРФ

14:54, 27.12.2021

Певцы Элвин Грей и Фирдус Тямаев после судов и разборок решили помириться

14:17, 27.12.2021

В Следкоме считают, что жену и двух детей мог зарезать сам глава семьи

09:41, 27.12.2021

Подросток разбился насмерть, катаясь на тюбинге с необорудованного склона

09:33, 27.12.2021

Один человек погиб в массовом ДТП с 30 автомобилями на трассе

09:08, 27.12.2021

Татарстан станет пилотным регионом, где выдадут жителям цифровые паспорта

08:36, 27.12.2021

Центробанк с 2022-го начнет контролировать все переводы между физлицами

08:04, 27.12.2021

Семью из четырех человек зарезали, не пожалели даже двоих детей

07:28, 27.12.2021

Электромонтажника, который пожаловался на пытки в полиции, нашли обезглавленным

05:00, 26.12.2021

Есть пробитие!: мужчина обманул World of Tanks на 670 миллионов рублей

01:00, 26.12.2021

Внутри России зафиксировали незавозные случаи омикрона

00:01, 26.12.2021

МЧС создаст реестр коррупционеров из числа своих бывших сотрудников

20:00, 25.12.2021

В ПФР заявили, что пенсионеры из сел могут получить прибавку к пенсии в 25%

15:14, 25.12.2021

Стало известно, где и с кем встретит Новый год Владимир Путин

13:34, 25.12.2021

Врач-хирург выпал из окна больницы с высоты седьмого этажа и выжил

11:26, 25.12.2021

Пятилетняя девочка умерла после двух визитов скорой помощи

10:17, 25.12.2021

Много ел: хозяин дома убил голодного гостя и сам вызвал полицию

10:08, 25.12.2021

Женщина заблудилась во время метели и замерзла насмерть

09:52, 25.12.2021

Бандиты обложили данью военных, платят даже воевавшие в Сирии

09:07, 25.12.2021

Фигуристка из Казани Камила Валиева лидирует на чемпионате России

01:00, 25.12.2021

Стало известно, куда собрался переезжать Элвин Грей

00:01, 25.12.2021

Мне дико смешно: журналистка похвасталась, что прошла на конференцию к Путину с температурой

11:38, 24.12.2021

Машинист поезда случайно заметил, как у дороги закапывают труп, и сдал убийц

11:13, 24.12.2021

Двухлетний мальчик пережил клиническую смерть после обычного подзатыльника

11:01, 24.12.2021

Замкнуло ИВЛ: в реанимации ковидной больницы начался пожар — погибли двое

10:09, 24.12.2021

У арестованного ректора вуза нашли дома золотой унитаз, нож со свастикой и шапку Мономаха

08:50, 24.12.2021

Мужчину отправили под суд за создание бумажного автомата и дымовых бомб

08:02, 24.12.2021

Пенсионерка, больная коронавирусом, загорелась во время кислородотерапии и умерла

05:00, 24.12.2021

Полиция отказывается вскрывать квартиру, в которой, вероятно, лежит труп

01:00, 24.12.2021

Путин заявил, что может стать адвокатом Деда Мороза, на которого подали в суд

20:00, 23.12.2021

Мужчина два месяца жил с пятисантиметровой веткой в глазу

15:38, 23.12.2021

Путин поручил обеспечить поддержку многодетных семей после вопроса из Татарстана

14:27, 23.12.2021

Арестованный ректор КФУ не признает вину в заказном убийстве и просит принести исторические книги

13:44, 23.12.2021

Путин рассказал, почему бы он хотел жить в Казани

13:12, 23.12.2021

Шлеп-шлеп-шлеп и не спрашивали: Путин назвал недостаточным уровень вакцинации и вспомнил СССР

12:28, 23.12.2021

Обнаруженная в овраге рядом с телом брата голая девочка пережила клиническую смерть

11:20, 23.12.2021

Семиклассница погибла в ванной из-за смартфона

11:11, 23.12.2021

Неизвестные украли ребенка и увезли его на машине прямо на глазах у его матери

07:33, 23.12.2021

Двое детей замерзли в овраге, один погиб: задержана их мать

07:15, 23.12.2021

Сегодня Путин ответит на вопросы, которые волнуют миллионы россиян

05:00, 23.12.2021

9-летний школьник-лунатик босиком и в трусах дошел во сне до школы в -22°C

01:00, 23.12.2021

Работник Ленты в Томске спалил гипермаркет из-за сильного нежелания работать

00:01, 23.12.2021

Сотрудники полиции пытали верующего горячим чайником, чтобы получить пароль от ноутбука

19:00, 22.12.2021

Мужчине дали срок за то, что он отрезал знакомому половой орган

11:52, 22.12.2021

Делом ректора КФУ Гафурова занялся центральный аппарат Следкома

11:03, 22.12.2021

Фигуриста Соловьева, партнера Бородиной по Ледниковому периоду, жестоко избили

08:24, 22.12.2021

Элвин Грей с женой готовятся к переезду

08:13, 22.12.2021

В Татарстане теперь действуют новые требования для прибывающих из-за границы

07:56, 22.12.2021

«Дочка» «Ростеха» заявила о пропаже 10 самолетов спецназначения в Казани

07:00, 22.12.2021

Сотрудник кафе убил коллегу прямо на рабочем месте, когда в зале обедали опера угрозыска

05:00, 22.12.2021

Штраф окаянный: сотрудник ДПС пропел уведомление о штрафе на церковный распев

01:00, 22.12.2021

Мужчина занимался мастурбацией в маске и умер от асфиксии

00:01, 22.12.2021

Четырехлетняя девочка несколько дней провела в квартире с трупом матери-таксистки

19:00, 21.12.2021

Отпустите: 14-летняя девочка пыталась покончить с собой в здании школы

15:07, 21.12.2021

В Госдуму внесли законопроект о ежемесячной выплате 10 тысяч рублей семьям с детьми с 1 января 2022

11:34, 21.12.2021

Полиция нашла тайник с двумя из 23-х миллионов, вынесенных в коробке кассиршей банка

11:05, 21.12.2021

Четырехлетний мальчик умер от истощения из-за матери, которая ушла в запой

10:05, 21.12.2021

В МЧС России разработали ГОСТ по срочному захоронению трупов в братских могилах

09:20, 21.12.2021

Минздрав добавил вакцинацию от коронавируса в национальный календарь прививок

07:00, 21.12.2021

Неизвестный жестоко порезал женщине лицо ножницами

05:00, 21.12.2021

Ногу отбросило на 15 метров: мужчине оторвало ногу снегоходом, виновный скрылся

01:00, 21.12.2021

На городском кладбище нашли пакеты с человеческими останками

19:00, 20.12.2021

Группа «Кино» отправится в турне в год 60-летия Виктора Цоя — когда ждать в Казани?

14:23, 20.12.2021

Начало развала страны: политолог Сатановский резко высказался о спиливании креста в Татарстане

12:14, 20.12.2021

Роспотребнадзор изучает возможность ввести штрафы за отказ вакцинироваться

11:56, 20.12.2021

12-летний ребенок напал с ножом на врача по указанию ранее судимого отца

10:00, 20.12.2021

Полиция проверяет сочинение школьника, который написал о желании стать киллером

12:19, 18.12.2021

Лицо вдребезги: подростки жестоко избили на улице взрослого мужчину, который шел с работы

14:10, 05.12.2021

Пожилая пациентка пожаловалась на издевательства санитарок в больнице

12:24, 05.12.2021

Найден труп 14-летней школьницы, которая накануне поссорилась с парнем

14:30, 04.12.2021

Женщина, пропавшая 4 года назад, найдена мертвой

11:38, 04.12.2021

Школьник умер после драки с одноклассником

10:54, 28.11.2021

Главный пристав региона вломился к беременной подчиненной со спецназом

09:41, 27.11.2021

Полиция арестовала депутата за изнасилование 14-летней девочки

11:59, 20.11.2021

Бывшего министра образования приговорили к 5 годам колонии за педофилию

11:56, 04.11.2021

Труп новорожденного в полиэтиленовых пакетах нашли в шкафу в квартире, его мать в тяжелом состоянии

11:55, 30.10.2021

ФСБ задержала студента, который угрожал расстрелять однокурсников и педагогов

11:52, 23.10.2021

Маленький ребенок получил пулевое ранение, находясь в больнице

12:37, 20.10.2021

11-летний житель Татарстана просто упал во дворе, но лишился ноги и теперь рискует лишиться жизни

12:39, 14.10.2021

Путин не решил, будет ли баллотироваться на пост президента в 2024 году

18:34, 13.10.2021

Названы причины COVID-19, при которых людям нужно вызвать «скорую»

17:58, 13.10.2021

В одной из московских школ произошла стрельба

03:34, 13.10.2021

Путин назвал главной проблемой России низкие зарплаты

18:54, 12.10.2021

В Чебоксарах женщина ударила ножом в шею водителя автобуса

13:42, 12.10.2021

Лидеров финансовой пирамиды Finiko этапировали из Казани в Москву

12:02, 12.10.2021

Вирусолог предложил ввести ежемесячный штраф за отказ от вакцинации от COVID-19

11:13, 18.09.2021

Дворники нашли завернутые в ковер человеческие кости

12:25, 16.09.2021

КАМАЗ заявил о повышении окладов работникам с октября

11:50, 16.09.2021

Росатом планирует построить в Набережных Челнах мусорный завод за 400 млн рублей

13:36, 11.09.2021

Мужчина задушил 8-месячную дочь своей сожительницы

09:48, 11.09.2021

Следователь сумел обмануть всех и сбежать с полученной взяткой в 3 миллиона рублей

15:01, 08.09.2021

Суд дал срок бойцу ММА Максу Топору за то, что тот заступился за девушек

14:05, 08.09.2021

Мужчина долго собирал арсенал мин времен войны, но не выдержал и сам сдал его полиции

13:00, 08.09.2021

Вызвал доктора: мужчина запер пришедшего на вызов врача-терапевта в квартире и порезал его

10:04, 08.09.2021

Хотела большой и чистой любви: молодую девушку жестоко изнасиловали после первого свидания

09:49, 08.09.2021

Российский диетолог рассказала, какая еда вызывает раннее старение

09:25, 08.09.2021

Опубликованы кадры из шалаша, в котором изнасиловали и убили двух десятилетних школьниц

12:04, 06.09.2021

Шойгу заявил о намерении построить в Сибири новые города и перенести туда столицу

11:15, 29.08.2021

В Казани их много: где прячутся старинные клады в столице Татарстана

13:07, 28.08.2021

Подросток-байкер сбил семью с двумя детьми

12:23, 28.08.2021

Ребенок выпил бензин-растворитель и умер

11:36, 21.08.2021

Мужчина с ножом напал на работницу сауны и отобрал смехотворную сумму

09:52, 08.08.2021

Мужчину убили из-за 5 миллионов и спрятали тело в матрасе

15:26, 07.08.2021

После массовой драки полиция задержала около 10 человек

11:58, 07.08.2021

Детского врача-психиатра подозревают в изнасиловании 16-летней пациентки

12:17, 01.08.2021

Президент России поручил начать выплаты на школьников со 2 августа

12:25, 31.07.2021

В Петербурге накрыли подпольное казино, организованное жителем Набережных Челнов

11:09, 31.07.2021

Парализованная мать актера Марша Турецкого 10 дней жила в квартире с трупом сына

12:24, 26.07.2021

За границу в пандемию: что нужно знать туристу?

08:45, 26.07.2021

Городские легенды: аномальные места в Казани, где легко можно встретить призраков

18:40, 25.07.2021

Изрезанные тела матери и сына обнаружили в квартире

11:26, 25.07.2021

Задел кондиционер и умер: правоохранители разбираются в смерти 9-летнего мальчика

13:19, 23.07.2021

Новые методы: жестокого убийцу удалось найти по фото в соцсетях через 10 лет после преступления

10:28, 23.07.2021

Школьники пытались покончить с собой в детском летнем лагере

09:32, 23.07.2021

Автобус с детской футбольной командой вспыхнул как спичка

12:45, 21.07.2021

Избежал тюрьмы? Какое будущее может ждать казанского стрелка после признания его невменяемым

10:09, 21.07.2021

В Омской области сына-суицидника подозревают в расправе над матерью-инвалидом

10:04, 21.07.2021

Сталин, бесы и слепцы: 9 задокументированных чудес, сотворенных Казанской иконой Божией матери

09:15, 19.07.2021

Вирусологи назвали новые симптомы у болеющих коронавирусом

09:08, 18.07.2021

Тело пропавшей молодой женщины нашли залитым в бетон в овраге

16:58, 17.07.2021

В Саранске полиция и медики оставили труп в луже на несколько часов из-за ливня

09:56, 16.07.2021

Искали ее больше месяца: полиция задержала девушку, которая подожгла на улице незнакомца

09:34, 16.07.2021

Сиротами остались трое детей: участкового с 15-летним стажем убили и сожгли

08:52, 15.07.2021

Мужчина развратил 13-летнюю школьницу во время купания в речке

09:29, 13.07.2021

Пациент жестоко избил доктора в больнице за просьбу надеть маску

08:54, 13.07.2021

Мужчина насмерть сбил своего годовалого ребенка

12:37, 12.07.2021

Возбуждено дело после избиения победительницы шоу Пацанки

09:46, 12.07.2021

Тушу неизвестного зверя вынесло на берег — ученые не знают, кто это такой

11:31, 09.07.2021

В России появились мошенники, предлагающие бонусы за прививки от ковида

09:56, 09.07.2021

Сын явился на работу к отцу и поджег его, мужчина умер

11:29, 07.07.2021

Многодетный отец семерых детей истязал своих отпрысков и теперь ответит за это

09:25, 06.07.2021

Пострадали 15 детей: мужчину будут судить по 27 эпизодам педофилии и создания детского порно

08:53, 06.07.2021

Убийственный аромат: двое рабочих погибли при очистке свинофермы

08:49, 05.07.2021

Мужчина поднял ребенка над головой и швырнул об землю

10:35, 04.07.2021

10-летнего мальчика насмерть засыпало песком

10:15, 02.07.2021

Мужчина убил знакомого и вывез его тело на тележке на пустырь

15:22, 01.07.2021

3 года и штраф в полмиллиона: Путин подписал закон, ужесточающий наказание за повторную пьяную езду

17:01, 29.06.2021

Живем, как в пещере: жители дома в Казани месяц сидят без газа из-за соседа, который пропал

11:21, 11.06.2021

Событие, изменившее жизнь страны: прошел месяц со дня кровавого расстрела в школе Казани

13:53, 08.06.2021

Убьют: медики Зеленодольской ЦРБ заявили, что начальство кошмарит их так, что они боятся жить

12:17, 05.06.2021

Он жив: гражданская жена пропавшего рыбака-казанца ищет его сама и подозревает криминал

11:57, 04.06.2021

Приходите завтра: жители Казани жалуются на мебельщиков, которые их цинично обманывают

11:33, 31.05.2021

Детский кешбэк: как жителям Татарстана отправить детей на отдых вдвое дешевле — инструкция

10:02, 31.05.2021

Вы че творите?: житель Казани требует наказать банк за передачу его личных данных непонятно кому

15:25, 26.05.2021

Он хотел подражать: мать обвиняемого в терроризме первоклашки из Казани рассказала, как было дело

13:45, 25.05.2021

Перестать экономить: активист рассказал, что может сделать новый глава Метроэлектротранса Казани

14:38, 21.05.2021

Думаю, меня хотели убить: полиция отказалась расследовать дело избитой жительницы Казани

14:15, 18.05.2021

Нужно достать боль: психологи рассказали, как дети и родители переживают стрельбу в школе Казани

18:01, 14.05.2021

Люди в страхе, стрелок добился цели, а где вы были?: активист в Казани пикетирует ФСБ, МВД, мэрию

16:54, 12.05.2021

Когда вместо звонка раздаются выстрелы: стрельба в российских школах, или чему нас учит история

14:00, 06.05.2021

В Казани бывших гаишников вышвыривают на улицу из служебного жилья как отработанный мусор

14:54, 28.04.2021

У нее бывают заскоки: чиновника в РТ обвинили в избиении сотрудницы за ее отказ выйти на субботник

16:20, 27.04.2021

Солите руль и не говорите о ДТП: названы мистические приметы водителей и пассажиров в Казани

15:17, 26.04.2021

Сказали, ждать смерти: 9-летнему жителю Казани не могут помочь в России, но не все еще потеряно

13:13, 23.04.2021

Пожизненно и 8,5 лет сверху: татарстанскому киллеру Ринтику вынесли удивительный приговор

11:39, 15.04.2021

Меньше миллиона не брали: на чем просчиталась дерзкая и неуловимая банда Бонни и Клайда из Казани

12:45, 13.04.2021

Не виновен: беременная девушка осужденного за педофилию парня из Татарстана намерена защищать его

15:43, 06.04.2021

Мне терять уже нечего: жительница Казани разоблачила мошенников, поджигающих дома ради страховки

13:36, 29.03.2021

Никогда себе не прощу: глава поселка в Татарстане застрелил женщину вместо лисы, но избежал тюрьмы

07:16, 27.03.2021

Звериные перфомансы: как подравшиеся слоны в цирке Казани раскололи общество и поссорили звезд

07:00, 24.03.2021

Кто ответит за жизни людей? В Татарстане решили строить ЖК в зоне сибиреязвенного скотомогильника

15:49, 16.03.2021

Хлеб делили, думал, братья: как партнеры по бизнесу в Казани превратились в заклятых врагов

19:04, 12.03.2021

Роли четко распределены: что происходит внутри цыганской ОПГ, берущей людей в рабство в Казани

07:13, 10.03.2021

Деньги отмывают, а щенки умирают: зоозащитники в Казани требуют закрыть Зооцентр

12:48, 07.03.2021

Мужчины ущемляют в дорожных правах: как работается женщинам в такси на улицах Казани

11:07, 24.02.2021

Это уже надломленные люди: чего ждать Татарстану после выхода на волю самых кровавых бандитов 90-х

17:45, 20.02.2021

Дети просились с ним: многодетная мать в Казани после ДТП осталась без мужа и с огромным долгом

14:10, 19.02.2021

Если это и памятник, то хрущевской эпохе: как в Казани пройдет реновация речпорта и нужна ли она

14:02, 18.02.2021

Каршеринг на тропе войны: по дорогам Казани носятся неуловимые и безнаказанные лихачи

15:05, 16.10.2020

Ситуация сложная, не скрываем: в больницах Казани копятся очереди, Минздрав просит не паниковать

15:43, 14.07.2020

В Казани начали открывать торговые центры, но там пока пусто: фоторепортаж

11:30, 16.06.2020

“Разве мы виноваты?”: как регистрация иностранцев в Казани переросла в беспорядки с участием полиции

20:45, 11.12.2019

«Когда я освободился, будто попал в рай»: экс-заключенный из РТ о жизни в колонии

18:44, 05.02.2019

«Плачу 2 ипотеки, живу в «курятнике»: аварийщики о том, как живут на 6 кв.м.

16:02, 25.01.2019

Казанцы перестали выбрасывать мусор на свалки, сортируя его дома

12:53, 21.01.2019

Проход в десятки сантиметров и забор: дом на Бутлерова оказался в изоляции

10:41, 18.01.2019

Водители жалуются на нечищенные стоянки, а дорожникипаркуют там грязный снег

16:24, 16.01.2019

Фоторепортаж: сколько водителей скручивают номера в центре Казани, мешая другим

10:13, 14.01.2019

Неизвестная Казань: улица Волкова с уникальным домом и воспоминаниями жителей

08:35, 05.12.2018

Без воды, газа и канализации. Мама с двумя детьми пытается выжить в бараке

17:00, 14.11.2018

Казанца оштрафовали за разоблачительный пост Вконтакте на 55 тысяч рублей

12:18, 25.10.2018

«Сделали не по закону, а по понятиям». Пенсионер пожаловался на захват дома УК

12:42, 19.10.2018

Мне сломали 3 ребра. Казанец пожаловался на издевательства со стороны полиции

18:45, 05.07.2018

«Нас поджигают, чтобы согласились»: Мать с ребенком-инвалидом переселяют из центра в Юдино

12:28, 23.05.2018

В Казани ради новой дороги от Кварталов до М7 могут уничтожить три новых поселка

11:53, 16.05.2018

«Решил за 3 дня». Московский бизнесмен бросил столицу и уехал жить в деревню под Казанью