Разлагать на множители как пишется

Разложение на множители. Понятие и примеры.

        Напоминаю, что тождественные преобразования выражений — основа всей математики. Превращение, шаг за шагом, страшного и неудобного выражения в белое и пушистое. Смысл любого тождественного преобразования — это запись математического выражения в другом виде c сохранением его сути. Кто не в теме — сходите по ссылке. Там всё предельно просто и доступно.)

        Что такое разложение на множители? Всё элементарно. Прямо из самого названия. Можно не помнить (или не знать — кому как), что такое множитель, но то что это слово происходит от глагола «умножить» догадаться-то можно?)

        Так вот:

        Разложить на множители означает: представить исходное выражение в виде умножения чего-то на что-то.

        И все дела. Надеюсь, математика и русский язык на меня не в обиде…)

        Допустим, надо разложить число 18. Можно записать:

        18=2·9

        Вот мы и разложили число 18 на множители. Представили 18 в виде умножения 2 на 9. Обратите внимание, что циферки справа (2 и 9) совсем другие, нежели слева (1 и 8). Но при этом мы прекрасно понимаем, что 18 и 2·9 — одно и то же. Суть числа 18 от преобразования не изменилась.

        А можно ли разложить 18 по-другому? Можно! Например:

        18 = 2·9 = 3·6 = 2·3·3 = 0,5·36 = 1,5·12 = 4·3,5 = …….

        Вариантов разложения — бесчисленное множество.

        Зачем раскладывать на множители? Вопрос философский. Просто так — незачем, конечно. Но есть в математике темы, где без разложения на множители не обойтись. Ну вот прям никак…) Если говорить о числовых выражениях, то, прежде всего, это сокращение дробей и действия с корнями.

        Например, задание:

        Вычислить:

        

        Пример не подарок, прямо скажем. Как из такого здоровенного числа корень извлекать? Без калькулятора! Да и извлечётся ли он нацело? Непонятно… Зато, если разложить число 7056 на множители, да сгруппировать в кучки одинаковые, жизнь-то наладится!

        

        И калькулятора не понадобилось!)

        Но числовые выражения — ещё полдела. А вот разложение на множители алгебраических (т.е. буквенных) выражений — штука не просто полезная, она — необходимая! Сомневаетесь? Напрасно. Чисто для примера:

        Упростить выражение:

        

        Кто не в теме, как раскладывать на множители, решить этот пример не сможет. А кто в теме, упрощает и получает:

        

        Класс, правда?) Кстати, решение довольно простое. Ниже сами увидите. Или, к примеру, такое задание:

        Решить уравнение:

        x¹⁰—x⁹=0

        Страшно? Решается в уме, между прочим! С помощью разложения на множители. Ответ: x=0; x=1.

        А если уравнение заменить на неравенство? Например:

        x¹⁰—x⁹<0

        Задание другое, но первый шаг решения всё равно тот же самый! Один в один. Разложение на множители.

        Ответ: x ∈ (0; 1)

        Чуть ниже мы разберём оба этих примера.

        Или другой пример, для старшеклассников:

        Решить уравнение:

        lg¹⁰x — lg⁹x =0

        Что, внушает? А вы не бойтесь! Читайте дальше и увидите, как всё просто! Ответ будет такой:

        x=0; x=10

        На этих примерах я показал основную цель разложения на множители. А именно — упрощение выражений и решение некоторых типов уравнений и неравенств.

        Практические советы:

        1. Если перед нами сложное дробное выражение, то можно попробовать разложить числитель и знаменатель на множители. Очень часто дробь сокращается и упрощается.

        2. Если перед нами злое уравнение или неравенство, где слева — что-то страшное, а справа — ноль, то можно попытаться разложить левую часть на множители. Чаще всего это проясняет ситуацию.

Как раскладывать на множители? Основные способы разложения.

        Итак, вот они:

        1. Вынесение общего множителя за скобки;

        2. Группировка;

        3. Формулы сокращённого умножения;

        4. Разложение квадратного трёхчлена.

        Прошу запомнить этот джентльменский набор! Причём именно в таком порядке. Это важно. Все замороченные примеры имеет смысл проверять на все возможные способы разложения. От простого к сложному. Что-то работает, что-то нет. Это нормально.)

        Вот и мы начнём. По порядочку. Итак!

        1. Вынесение общего множителя за скобки

        Самый простой и в то же время самый распространённый способ. Хуже никогда не делает. Делает либо лучше, либо никак.) Потому и стоит первым пунктом.

        Все вы знаете (уж я-то надеюсь!) распределительный закон умножения:

        a(b+c) = ab+ac

        Или, если слагаемых несколько:

        a(b+c+d+…) = ab+ac+ad+…

        Все равенства в математике работают в обоих направлениях. Как слева направо, так и справа налево. Имеем полное право записать:

        ab+ac = a(b+c)

        Или:

        ab+ac+ad+… = a(b+c+d+…)

        Что происходит при такой записи? Слева буковка а — общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё что есть. А справа это самое а находится уже за скобками. Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.

        Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала пример совсем примитивный. Но на этом примитивном примере я покажу самые важные моменты для любого разложения на множители. Итак, вникаем.

        Разложить на множители:

        ху+10у

        Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Игрек, конечно! Его и будем выносить за скобки. Делается это так. Сразу пишем игрек за скобками:

        ху+10у = y(….

        А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый игрек. По порядочку. Вот так:

        

        И все дела.) Разумеется, так подробно расписывать не нужно. Это действие в уме делается. Но понимать, что, как и откуда крайне желательно.

        Фиксируем в голове:

        При вынесении пишем общий множитель за скобками. В скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый общий множитель. Поочерёдно.

        Вот мы и разложили выражение ху+10у на множители. Превратили его в умножение игрека на (х+10). Кстати, обращаю ваше внимание, что исходное выражение тоже содержало в себе умножение. Даже два: x·y и 10·y. Но оно не было разложено на множители! Почему? Потому, что в исходном выражении, помимо умножения, было ещё и сложение, знак «+»! А выражении y(x+10) — только умножение! Почувствуйте разницу!

        «Стоп-стоп! Но ведь в скобках по-прежнему есть сложение!» — слышу я недовольные возгласы…

        Да. Внутри скобок есть сложение. Но весь фокус в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой! С этой точки зрения в выражении y(x+10) кроме умножения ничего нет.

        Кстати, насчёт раскрытия скобок! А как проверить, всё ли мы правильно сделали? Элементарно! Достаточно заново раскрыть скобки, т.е. обратно помножить на скобки то что вынесли. И посмотреть, получилось ли исходное выражение?

        Смотрим:

        y(x+10) = xy+10y

        Всё путём!)

        Этот-то пример совсем простецкий, чисто для знакомства. Но если слагаемых несколько, да с разными знаками, то «ашипки» сыплются как из рога изобилия!

        Запоминаем простую вещь:

        При необходимости проверяем результат разложения обратным перемножением.

        Усложняем задачу.

        Разложить на множители:

        2ху+10у

        Ищем общий множитель. Ну, с игреком всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Есть! Это двойка. Можно ведь записать наше выражение вот как:

        2ху+10у=2xy+2·5y

        Теперь видно, что общим множителем будет 2y. Именно его и выносим:

        2ху+10у = 2y(x+5)

        Разложили.)

        Кстати, а что будет, если вынести только игрек? Да ничего необычного:

        2ху+10у = y(2x+10)

        Это тоже будет разложением на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть такая возможность. В данном случае в скобках можно вынести двойку:

        y(2x+10) = 2y(x+5)

        Как видите, всё то же самое, только с одним лишним действием. Посему запоминаем:

        При вынесении общего множителя за скобки стремимся вынести максимально возможный общий множитель.

        Продолжаем наши игры?

        Разложить на множители:

        2xy+10y–3x–15

        Что будем выносить? Двойку? Икс? Игрек? Не-а.) Не катит. Напоминаю, что выносить за скобки можно только общий множитель. Тот, который сидит во всех слагаемых без исключения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету… Что, можно не раскладывать? Ну да, рано обрадовались.)

        Знакомимся!

        2. Группировка

        Строго говоря, группировка не является самостоятельным способом разложения на множители. Скорее, это продвинутый метод вынесения общего множителя за скобки для более крутых примеров. В чём суть: надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Словами это не описать, только на конкретном примере показать можно.

        Итак, перед нами выражение:

        2xy+10y–3x–15

        Видно, что какие-то общие числа и буквы имеются. Но! Общего множителя, который был бы во всех слагаемых, нет! Что делать?

        Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Поступаем красиво и элегантно. Разбиваем выражение на кусочки! Или — группируем. Как разбиваем? Элементарно! Ставим скобки. Например, можно так:

        2xy+10y–3x–15 = (2xy+10y)–(3x+15)

        Вот здесь всплывает частый ляп. Обратите внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, но слагаемые 3x и 15 внутри скобок стали с плюсом. Если обратно раскрыть скобки, то знаки поменяются и мы получим исходное выражение. Т.е. суть исходного выражения от скобок не изменилась.

        Но если вы просто взяли и воткнули скобки, не учитывая смену знака, например вот так:

        2xy+10y–3x–15 = (2xy+10y) — (3x–15)  ,

        то это будет грубейшей ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет ясно. Дальше решать нет смысла, да…

        Но вернёмся к разложению на множители. Итак, с помощью скобок мы разбили исходное выражение на две группы. Такое, казалось бы, надуманное действие приводит (иногда) к потрясным результатам! Смотрим на первые скобки (2xy+10y) и соображаем, что можно вынести. Ну, этот пример мы выше уже решили. Можно вынести 2у:

        (2xy+10y) = 2y(x+5)

        А теперь изучаем вторые скобки (3x+15). Здесь можно вынести тройку:

        (3x+15) = 3(x+5)

        Всё наше выражение будет выглядеть вот так:

        (2xy+10y)–(3x+15) = 2y(x+5)–3(x+5)

        Разложили на множители? Нет. Напоминаю, что в результате разложения должно получиться только умножение. А у нас знак минус торчит посерёдке, всё портит… Но! В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (x+5). Я не зря говорил, что скобки целиком — это единое цельное выражение, которое можно рассматривать как одну букву. Значит, эти скобки можно… вынести за скобки.) Да, именно так!

        Выносим (x+5) за скобки. В скобках пишем результат деления каждого слагаемого на (x+5).  Получится:

        2y(x+5)–3(x+5) = (x+5)(2y-3)

        Всё! Вот теперь в нашем выражении кроме умножения ничего нет. Значит, разложение на множители увенчалось успехом. Вот так оно выглядит:

        2xy+10y–3x–15 = (x+5)(2y-3)

        Итак, запоминаем суть группировки:

        Если в исходном выражении нет общего множителя, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри каждой скобки общий множитель ИМЕЛСЯ. Выносим его для каждой из скобок и смотрим, что получилось. Если повезло и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, то выносим эти скобки за скобки.

        Но не так всё просто. Может и не повезти. Группировка — процесс творческий. Не всегда с первого раза получается. Иногда приходится всячески хитрить: пробовать другую комбинацию, менять слагаемые местами или даже добавлять слагаемые. Главное — не падать духом!

        Поучительный пример:

        Разложить на множители:

        х²+3xy+2y²

        С чего начинать? Общего множителя явно нет, выносить за скобки нечего. Группировка также не катит: три слагаемых красиво не сгруппируешь. Но! Если расписать 3xy как сумму 2xy+xy, (т.е. разбить одно из слагаемых на два), всё получится! Смотрите!

        х²+3xy+2y² = х²+2xy+xy+2y² = (х²+2xy)+(xy+2y²)

        Как я додумался именно до такого разбиения? Открываю секрет. Я посмотрел на исходный пример и поприкидывал. Примерно так:

        «Так, значит… С ходу не группируется, слагаемых — три, одно остаётся без пары. Хотя бы четыре для группировки нужно. Да и коэффициенты не ахти. Придётся выкручиваться и какое-то слагаемое разбивать на два. Но какое? Для удачной группировки важно иметь как можно больше одинаковых значков и как можно меньше — разных! Посмотрю-как я на коэффициенты! Надо же за что-то цепляться, искать хоть что-то общее!

        При х² я вижу единичку. А при y² — двойку. У среднего же члена, 3xy, вместо тройки тоже хотелось бы единичку и двойку получить. Чтобы числа стали хоть как-то похожи друг на друга, было что с чем сгруппировать. Как из тройки сделать единичку и двойку? Расписать 3xy как 2xy+xy!

        Получится: х²+3xy+2y² = х²+2xy+xy+2y² = (х²+2xy)+(xy+2y²)«

        Верные мысли! Теперь коэффициенты в каждой группе — только единичка и двойка. Дальше всё ясно. В первых скобках выносим икс, во вторых — игрек. Будет:

        (х²+2xy)+(xy+2y²) = x(x+2y)+y(x+2y)

        О! В скобках — одинаковые выражения! Йес!!!

        x(x+2y)+y(x+2y) = (x+2y)(x+y)

        Ура! Разложили! Вот что получилось:

        х²+3xy+2y² = (x+2y)(x+y)

        Вот такой финт ушами.)

        Запоминаем секретный приёмчик:

        Если многочлен содержит нечётное число слагаемых (три, пять и т.д.), то можно попробовать разбить одно (или несколько) слагаемых на два. Так, чтобы всё сгруппировалось. И зацепкой (что и как разбивать) будут служить коэффициенты при оставшихся членах. Разбивать члены надо так, чтобы получить как можно больше одинаковых коэффициентов в примере.

        Примеры заданий

        А теперь, набравшись полезных знаний, можно и злые примеры порешать. Была у нас в начале урока четвёрка таких.

        Упростить выражение:

        

        По сути, пример этот мы уже разобрали. Незаметно для себя.) Ещё раз напоминаю: если перед нами жуткая дробь, первым делом пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.

        Ну, со знаменателем всё ясно, он никак не раскладывается. А числитель? Числитель мы уже разложили в параграфе про группировку! Вот так:

        2xy+10y–3x–15 = (x+5)(2y-3)

        Вставляем результат разложения в числитель дроби:

        

        Основное свойство дроби помните? По правилу сокращения дробей, мы имеем право разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число или выражение. Дробь от этого не изменится. Вот и делим и числитель и знаменатель на выражение (2y-3). В числителе останется (x+5), а в знаменателе — единичка. А если в знаменателе единичка, то этот знаменатель можно и вовсе не писать. Продолжаем:

        

        Окончательный результат упрощения:

        

        И все дела.) Особо хочу подчеркнуть, что сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда и в числителе и в знаменателе только умножение! Именно поэтому разложение алгебраических выражений на множители так важно для упрощения. Разумеется, если множители сверху и снизу разные, то и не сократится ничего. Всяко бывает. Но разложение на множители даёт шанс! Намёк понятен?)

        Следующий пример, с уравнением:

        Решить уравнение:

        x¹⁰—x⁹=0

        Тут и думать нечего. Выносим общий множитель x⁹ за скобки. Получится:

        x⁹(x-1)=0

        Осталось догадаться, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Что, сомневаетесь? Тогда предъявите мне два ненулевых числа, которые в произведении ноль дадут.) Не получается? То-то… Вот и приравниваем к нулю, сначала первый множитель:

        x⁹=0

        Ну и какое число в девятой степени ноль даст? Только ноль! Никакое другое… Поэтому:

        х=0

        Один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем:

        x-1=0

        x=1

        Вот вам и ответ: x₁=0; x₂=1. Два корня. Оба подходят к нашему уравнению. Переходим к следующему примеру, меняем уравнение на неравенство.

        Решить неравенство:

        x¹⁰—x⁹<0

        С неравенством возни чуть поболее будет, но первая часть решения та же самая. Слева — выражение, справа — ноль. Раскладываем левую часть на множители:

        x⁹(x-1)<0

        А дальше — стандартный алгоритм метода интервалов. Расписывать детально не буду, это тема отдельного урока. Кто знает, и так поймёт. Делаем из неравенства уравнение, решаем его и получаем те же самые два корня.

        x⁹(x-1)=0

        x₁=0; x₂=1

        Чертим числовую ось, отмечаем точками найденные корни. Неравенство строгое, соответственно обе точки будут выколотыми. Ставим знаки +/- в соответствии с исходным выражением и рисуем старую добрую «змейку». Получаем картинку:

        

        Смотрим на знак неравенства. Нас интересует минусовая область иксов. Смело пишем:

        Ответ: x ∈ (0; 1)

        Пример для старшеклассников:

        Решить уравнение:

        lg¹⁰x — lg⁹x =0

        Чем-то похоже на предыдущие примеры, правда? Совершенно верно. Та же песня! Разложение на множители.) Страшные значки lg пусть вас не смущают, базовые преобразования (а разложение на множители — именно одно из базовых преобразований) работают во всей математике! Смело выносим общий множитель lg⁹x за скобки:

        lg⁹x(lgx — 1) =0

        Дальше всё как в предыдущем примере:

        lg⁹x=0

        lgx=0

        x=1

        Это первый корень. Переходим ко второму множителю:

        lgx — 1=0

        lgx=1

        x=10

        Вот и ответ готов: x₁=1; x₂=10

        Кстати, обратите внимание на один важный момент в решении уравнений! После разложения на множители мы решаем уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравниваем к нулю отдельно. Это означает, что если у нас будет не два множителя, а три, пять, да хоть двадцать пять, то решать будем аналогично. По кусочкам.

        Например:

        x²(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=0

        Кто раскроет скобки, перемножит всё и приведёт подобные, тот навсегда зависнет на этом уравнении. Мартышкин труд.) Наблюдательный ученик сразу увидит, что слева — произведение, а справа — ноль. И начнёт поочерёдно приравнивать к нулю каждый множитель. И за 10 секунд получит (в уме!) верный ответ:

        x₁=0; x₂=-1 x₃=2; x₄=-3; x₅=4

        Красиво, правда? Такое простое и элегантное решение возможно только если левая часть разложена на множители! Вот и весь секрет.)

       Как решать нестандартные примеры? ОДЗ и прочие подводные камни.

        Ну и на десерт рассмотрим слегка нестандартный примерчик на ту же тему. Который по шаблону не решается, или решается легко, но… неправильно.

        Например, такое уравнение:

        xlgx–x+lgx–1 =0

        Что здесь необычного? Да. Это уравнение смешанного типа. Иксы стоят как внутри логарифмов, так и просто так. К сожалению, аналитически такие уравнения, как правило, не решаются вовсе. На 99%. Зато оставшемуся одному проценту самое место в этом уроке! Почему? А потому, что именно разложение на множители даёт нам шанс разделить разные типы переменных!

        В чём суть? Нужно добиться, чтобы после разложения разные типы переменных разошлись по разным множителям! Логарифмы отдельно, а иксы без логарифмов — отдельно. Вот и раскладываем. Кто освоил группировку, тот даже не заметит трудностей. Группируем, получаем:

        (xlgx-x)+(lgx-1)=0

        x(lgx-1)+(lgx-1)=0

        (lgx-1)(x+1)=0

        Вот так. Как говорится, мухи отдельно, котлеты — отдельно. Теперь слева произведение, справа — ноль. Можно приравнивать к нулю каждый множитель по порядочку. Независимо друг от друга.

        Для первых скобок, решая простейшее логарифмическое уравнение, получим:

        lgx-1=0

        lgx=1

        x=10

        Для вторых скобок получим:

        x+1=0

        x=-1

        Получили два корня. Рука уже тянется к бумаге, но… Разумеется, думать и держать в голове всю остальную математику (ОДЗ и прочие хитрые штучки) никто не отменял, да.)

        Ответ в виде:

        x₁=-1; x₂=10

        это неверный ответ! Окончательный корень — один. А именно:

        x=10

        В чём же дело? Вы правы. Дело в ОДЗ, да.) Но сначала вскрою проблемку на более глубоком уровне. Дело всё в том, что так горячо любимое всеми школьниками заклинание: «Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю» — строго говоря, неверное, да…) Точнее, неполное. Это и приводит к подобным промахам.

        А полная и строгая форма звучит вот как:

        Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом НЕ ТЕРЯЮТ СМЫСЛА.

        А в нашем примере при x=-1 множитель (х+1) обнуляется, но множитель (lgx-1) теряет смысл! Не существует логарифмов от отрицательных чисел, да…) Так что всё честно.

        Поэтому, чтобы такого не было, перед решением данного уравнения надо сразу записывать ОДЗ. А именно — аргумент логарифма, где бы он ни стоял, должен быть всегда строго больше нуля:

        x>0

        Забыли? Значит, имеются пробелы в знаниях о логарифмах. Гуляйте по ссылочке.)

        Вот теперь записанная ОДЗ сразу снимает все вопросы! Смотрим на наши иксы. Первый корень x=10 нас (и ОДЗ) вполне устраивает: десятка больше нуля. А вот второй, x=-1, никуда не годится. Минус один меньше нуля. ОДЗ — штука бескомпромиссная.

        Ответ: x=10

        Полезные советы:

        1. Если перед вами нестандартное уравнение смешанного типа, первым делом пробуем разделить разные типы переменных. Чаще всего с помощью разложения на множители.

        2. Вне зависимости от типа уравнения, прежде всего записываем ОДЗ, если это необходимо. Это убережёт от досадных и обидных ляпов в виде посторонних корней на 100%.

        Надеюсь, вы ощутили весь потенциал разложения на множители. Мощная штука, правда?

        В этом уроке мы поговорили о вынесении общего множителя за скобки и о группировке. Осталось рассмотреть формулы сокращённого умножения и разложение квадратного трёхчлена. Это — темы отдельных уроков.

Доли и дроби. Арифметические действия с дробями. Сокращение дроби. Умножение и деление дроби на натуральное число. Умножение и деление дробей. Сложение и вычитание дробей с различными знаменателями.

	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Доли и дроби. Арифметические действия с дробями. Сокращение дроби. Умножение и деление дроби на натуральное число. Умножение и деление дробей. Сложение и вычитание дробей с различными знаменателями. Поделиться:    Доли и дроби. Арифметические действия с дробями. Сокращение дроби. Умножение и деление дроби на натуральное число. Умножение и деление дробей. Сложение и вычитание дробей с различными знаменателями. Дробь: это одна или несколько долей целого Знаменатель дроби (то, что записывется под чертой): это число долей, на которое делилось целое Числитель дроби (то, что записывется над чертой): это сколько таких долей было взято Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Правила сокращения дробей при умножении. Дробь

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

• числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Действия с дробями

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

• Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
• Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части.

Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

3. Найти НОК знаменателей дробей;
4. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
5. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
6. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
7. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

8. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
9. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;

Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД — это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

А НОК — это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

НОД (20 и 30) = 10

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

Получили красивый ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

НОД для (105 и 150) равен 15

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

• обратным числа 3 является дробь
• обратным числа 4 является дробь

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

• разделить числитель на имеющийся знаменатель;
• в конкретном примере неполное частное — целое;
• и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

• целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
• полученное произведение прибавляется к числителю;
• результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

• две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
• нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
• подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
• в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
• если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

• перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
• найти произведение числителей;
• найти произведение знаменателей;
• записать получившийся результат;
• максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

• записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
• найти произведение, несмотря на запятую;
• в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

• правильные;
• неправильные;
• смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Действия с дробями | LAMPA

Как же теперь привести дроби 27frac{2}{7}72​ и 34frac{3}{4}43​ к знаменателю 282828?

Вспоминаем, что если умножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Например, 15frac{1}{5}51​ и 210frac{2}{10}102​ — это одно и тоже число.

То есть нужно домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получился общий знаменатель дробей (в случае дробей 27frac{2}{7}72​ и 34frac{3}{4}43​ — число 282828).

Числитель и знаменатель дроби 27frac{2}{7}72​ нужно умножить на 444:

27=2⋅47⋅4=828frac{2}{7}=frac{2cdot 4}{7cdot 4}=frac{8}{28}72​=7⋅42⋅4​=288​,

— а числитель и знаменатель 34frac{3}{4}43​ — на 777:

34=3⋅74⋅7=2128frac{3}{4}=frac{3cdot 7}{4cdot 7}=frac{21}{28}43​=4⋅73⋅7​=2821​.

Теперь можно без труда сложить получившиеся дроби: 828+2128=2928=1128frac{8}{28}+frac{21}{28}=frac{29}{28}=1 frac{1}{28}288​+2821​=2829​=1281​.

Общая формула, которой можно пользоваться для сложения дробей: ab+cd=ad+bcbdfrac{a}{b}+frac{c}{d}=frac{ad+bc}{bd}ba​+dc​=bdad+bc​

Пользуясь этой формулой, мы получим, что 13+16=1⋅6+3⋅13⋅6=918frac{1}{3}+frac{1}{6}=frac{1cdot 6+3cdot 1}{3cdot 6}=frac{9}{18}31​+61​=3⋅61⋅6+3⋅1​=189​. Как мы видим, эту дробь можно сократить на 999. Получится 12frac{1}{2}21​.

Наименьший общий знаменатель

Можно ли сразу получить дробь, которую не надо было бы сокращать, то есть дробь с наименьшим возможным знаменателем?

Да, можно! Для этого вместо перемножения знаменателей необходимо вычислить их . То есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Наименьшее общее кратное чисел bbb и ddd обозначается НОК(b,d)text{НОК}(b,d)НОК(b,d).

Например:

НОК(3,6)=6text{НОК}(3,6)=6НОК(3,6)=6

НОК(10,15)=30text{НОК}(10,15)=30НОК(10,15)=30. 2cdot 5=902⋅32⋅5=90.

Репетитор по математике — подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, экзаменам по математике в школе и вузе

Наконец-то школа позади, наступило лето! Три месяца круглосуточного отдыха  без длинных нудных уроков и домашних заданий. Без скучных учебников и надоевших формул, задач и теорем.  Как хорошо – никакой учебы!

Конечно, есть школьники, которые используют время на каникулах не только для отдыха, но и для саморазвития: готовятся  в профильных лагерях к предметным олимпиадам, учат иностранные языки в различных языковых школах, самостоятельно или с репетиторами начинают подготовку к ЕГЭ. Таких ребят сейчас становится всё больше. Но пока они чаще встречают не поддержку, а удивление или откровенное неодобрение: так нельзя,  лето – это святое. Надо отдыхать, набираться сил! Учеба подождет.

Однако через три месяца наши отдохнувшие, загоревшие, выросшие дети вернутся за парты.  И тут обнаружится, что все знания, которые с таким трудом добывались в течение учебного года, легким дуновением летнего ветерка унесло в неведомые дали. Такое бывает каждый год, и каждый год мы  недоумеваем: как так, только сентябрь, а ребенок уже отстал по всем предметам?!

Но не терять же лето?  Отдыхать – когда?

Давайте подумаем!  Отдых – это смена деятельности, а потому непрерывный отдых тоже утомителен. Значит, занятия летом – отдыху не помеха, а, скорее, подспорье. Надо только выбрать нужные занятия и правильный темп подготовки. Ведь по разным данным, школьники, которые не прекращают занятия летом, в следующем классе показывают на 12-25% более высокую успеваемость по предмету, нежели их тотально отдыхавшие товарищи. И эта успеваемость достигается не увеличением затраченного на учебу времени, а именно той «форой», которую обеспечивает обучение на каникулах.

Математика летом

Когда речь заходит пользе летних занятий математикой, большинство вспоминает о подготовке к ЕГЭ. И это вполне понятно: математика, пожалуй, один из самых сложных предметов. Только лишь за последний учебный год освоить объем материала, требующийся для успешной сдачи профильного экзамена, просто невозможно. А уровень, который считается «успехом», год от года растет. Вместе с ростом проходных баллов в вузы, принимающие результаты профильного ЕГЭ.

Поэтому школьникам, планирующим поступать на фундаментальные (и престижные) специальности технических и экономических вузов определять свою «индивидуальную образовательную траекторию» нужно как можно раньше. И, конечно, эффективный план подготовки должен строиться с учетом летних занятий.

Но от занятий на каникулах выигрывают не только старшеклассники, готовящиеся к важным экзаменам, – «летняя математика» принесет пользу  ученикам любых классов. Почему?

Считается, что математика не забывается. Забыть, если долго не пользуешься,  можно лексику и синтаксис иностранного или даже родного  языка, но не алгоритмы сложения и умножения дробей или теорему Пифагора. К сожалению, как показывает практика, это не так. И после каникул многие, уже хорошо освоенные,  математические навыки становятся для ребят «чужими»: четвероклассники теряют алгоритмы умножения в столбик и деления уголочком, семиклассники – логику арифметических действий с отрицательными числами и вынесения за скобки общих множителей, девятиклассники –  решение неравенств и тригонометрические функции. Отведенных на повторение двух недель не хватает, программа идет вперед, а потому каждый учебный год ребенок начинает с довольно сильного стресса.

А ведь чтобы избежать такого неприятного начала учебы, не надо летом заниматься математикой каждый день, как это традиционно происходит с сентября по май. Сейчас наш ученик свободен от школьной  нагрузки, а потому каникулы – именно то время, когда можно малыми средствами и усилиями достичь очень многого.  Одного-двух занятий в неделю вполне хватит, чтобы не только поддержать достигнутый за год уровень, но и существенно его расширить. Более того, летние занятия очень помогают мотивированным школьникам без экстремальных усилий и не в ущерб остальным предметам углубить свои знания математики до олимпиадного уровня.

Сегодня всё больше и больше преподавателей математики работают дистанционно, с использованием различных интерактивных онлайн-досок. А потому общение с репетитором вовсе не предполагает обязательного присутствия в городе: для совмещения летнего отдыха и занятий ученику достаточно иметь ноутбук или планшет, стабильный Интернет  и, конечно, мотивацию.

Все мы знаем, что наши дети быстрее всего растут летом. Свежий воздух, солнце, витамины делают свое дело, и заказанная весной на весь класс школьная форма к осени уже половине класса безнадежно мала. Но мало кто из родителей подозревает, что летом мы может ускорить не только физический, но умственный рост ребенка.  Если к перечисленным выше «природным» факторам добавим еще и умеренную интеллектуальную нагрузку.

Хорошего вам лета! И не забывайте о занятиях математикой!

Умножение дробей, деление дробей

Умножение обыкновенных дробей

Определение 1

Умножение дробей рассматривается как действие нахождения дроби от дроби.

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $frac{1}{3}$ и $frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $frac{3}{7}$ и $frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

[frac{3}{7}cdot frac{5}{11}=frac{3cdot 5}{7cdot 11}=frac{15}{77}]

Ответ: $frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $frac{3}{8}$ и $frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

[frac{3}{8}cdot frac{1}{9}=frac{3cdot 1}{8cdot 9}=frac{3}{72}]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

[frac{3}{72}=frac{3:3}{72:3}=frac{1}{24}]

Краткое решение:

[frac{3}{8}cdot frac{1}{9}=frac{3cdot 1}{8cdot 9}=frac{3}{72}=frac{1}{24}]

Ответ: $frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $frac{6}{75}$ и $frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

[frac{6}{75}cdot frac{15}{24}=frac{6cdot 15}{75cdot 24}]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

[frac{6cdot 15}{75cdot 24}=frac{2cdot 3cdot 3cdot 5}{3cdot 5cdot 5cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3}=frac{1}{5cdot 2cdot 2}=frac{1}{20}]

Ответ: $frac{1}{20}.$

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, $n$ — натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

[frac{3}{17}cdot 4=frac{3cdot 4}{17}=frac{12}{17}]

Ответ: $frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

[frac{7}{15}cdot 3=frac{7cdot 3}{15}=frac{21}{15}]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

[frac{21}{15}=frac{21:3}{15:3}=frac{7}{5}]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

[frac{7}{5}=1frac{2}{5}]

Краткое решение:

[frac{7}{15}cdot 3=frac{7cdot 3}{15}=frac{21}{15}=frac{7}{5}=1frac{2}{5}]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

[frac{7}{15}cdot 3=frac{7cdot 3}{15}=frac{7cdot 3}{3cdot 5}=frac{7}{5}=1frac{2}{5}]

Ответ: $1frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей:

При делении обыкновенной дроби $frac{a}{b}$ на дробь $frac{c}{d}$ необходимо делимое умножить на число, которое является обратным делителю:

Пример 6

Выполнить деление дробей $frac{7}{4}$ и $frac{3}{5}$.

Решение.

Числом, обратным делителю $frac{3}{5}$, является дробь $frac{5}{3}$. Воспользуемся правилом деления обыкновенных дробей:

[frac{7}{4}:frac{3}{5}=frac{7}{4}cdot frac{5}{3}=frac{7cdot 5}{4cdot 3}=frac{35}{12}]

Ответ: $frac{35}{12}. $

Результат деления дробей необходимо проверять на сократимость дроби и на возможность выделения целой части из неправильной дроби.

Пример 7

Выполнить деление дробей $frac{8}{15}:frac{12}{35}$.

Решение.

Применим правило деления дробей:

[frac{8}{15}:frac{12}{35}=frac{8}{15}cdot frac{35}{12}=frac{8cdot 35}{15cdot 12}]

Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

[frac{8cdot 35}{15cdot 12}=frac{2cdot 2cdot 2cdot 5cdot 7}{3cdot 5cdot 2cdot 2cdot 3}=frac{2cdot 7}{3cdot 3}=frac{14}{9}]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

[frac{14}{9}=1frac{5}{9}]

Ответ: $1frac{5}{9}.$

Умножение дробей и значение слова «от» . Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений

Складывать и вычитать дроби бывает неудобно, но, к счастью, с умножением и делением все обстоит гораздо проще.

Умножение дробей часто скрывается за словом «от». Если вы говорите «три четверти от двенадцати», на самом деле вы имеете в виду 3/4 ? 12. При умножении целого числа на дробь нужно выполнить две операции: умножить число на числитель и разделить на знаменатель. Вот как это будет выглядеть для 3/4 ? 12.

Чтобы перемножить две дроби, нужно просто перемножить их верхние и нижние части.

Предположим, вы каждые субботу и воскресенье по 7 часов наблюдаете за птицами. Какая это будет часть от целой недели? Суббота и воскресенье составляют 2/7 недели, а поскольку в сутках 24 часа, вы тратите 7/24 от них, пытаясь выследить пеструю камышовку или хохлатого зяблика. Получается выражение

Наверное, вы заметили, что 14 и 168 делятся на 14, что даст в результате 1/12. А не лучше ли вообще не связываться с такими большими числами? При умножении дробей всегда стоит поискать возможность их по ходу дела сократить. Самое оптимальное – найти одно и то же число в числителе и знаменателе дробей, потому что тогда эти числа взаимно уничтожаются.

Вернемся к выражению

Взгляните на две семерки: вверху дроби и внизу. Подсчитав верхнюю и нижнюю части дроби, мы в итоге придем туда, откуда начали, то есть 14/168. Вместо этого зачеркнем обе семерки и заменим их единицами. Давайте посмотрим, что еще можно сделать.

Итак, теперь вы знаете, что тратите двенадцатую часть недели на наблюдения за птицами. Это соответствует одной минуте из каждых 12 минут вашей жизни или же целому месяцу в год! (Если вы начнете высчитывать дроби для всех своих регулярных занятий, например для хобби или поездок на работу, результаты могут вас шокировать. К примеру, большинство людей проводят в ванной комнате около 10 дней в году.)

Есть одна старая математическая головоломка, которую время от времени перепечатывают в газетах. Сколько будет 9/10 ? 8/9 ? 7/8 ? 6/7 ? 5/6 ? 4/5 ? 3/4 ? 2/3 ? 1/2? Тот, кто решает это опубликовать, наверняка сидит в своем кабинете, поглаживая белую кошку, и демонически хохочет, предвкушая, как читатели засядут за вычисления. Однако не тут-то было: эти числа взаимно уничтожаются, и в итоге остается 1/10.

Пожалуйста, объясните как делятся, умножаются и сокращаются дроби.

Обыкновенные дроби:
Для начала поговорим о «строении» обыкновенных дробей. Возьмем для примера дробь . Сама дробь показывает, что мы делим целое(единицу) на 7 частей и берем две. 2 — числитель, 7 — знаменатель, а черточка обозначает деление.
Сокращение:
Вообще, у обыкновенных дробей есть основное свойство — при делении или умножении числителя и знаменателя на одно и тоже число дробь не изменится(ну визуально изменится). Для примера возьмем . Разделим 1 на 2(вспоминаем, что черточка обозначает деление). Получится 0,5. А теперь умножим числитель и знаменатель, предположим, на 3. Получится . Разделите 3 на 6. Получится тоже 0,5. Понятно? Это пригодится в изучении обыкновенных дробей.
Приступим к сокращению.
Оно применяется, тогда, когда можно сделать дробь с максимально наименьшим числителем и знаменателем. Но в дроби не должно быть десятичных дробей(0,5 или 0,6, например, то есть цифр с запятыми, и да, это только при сокращении, бывают пропорции с десятичными дробями в обыкновенных). То есть возьмем . Можно ли ее сократить? Есть ли общие делители у 2 и 7? Или они взаимно простые? Конечно, они взаимно простые. Значит и сократить нельзя. То есть для сокращении обыкновенных дробей нужны делители знаменателя и числителя.  — сократите. Получилось? Думаем над общими делителями. 6 и 15 делятся на 3. Делим. Получится 2/5. Ну а дальше делителей нет. Значит все. Думаю, насчет сокращения все понятно.
Умножение обыкновенных дробей
Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Если же умножаем на целое число или целое число на дробь, то умножаем целое на числитель, а знаменатель оставляем. И не забываем сокращать результат. Также можно делать интересную вещь. Представим умножение . Можно умножать числитель на числитель и знаменатель на знаменатель сразу. НО,почему бы не сократить 6 и 2, 10 и 20. Это делать можно. Можно сокращать числа, как дроби, если одно число в числителе, другое в знаменателе. То есть можно получить 3 и 1,  1 и 2. Получим . А дальше легко. 3*2=6. 1*1=1. Получим результат 6/1. Или 6(да, еще один пункт про сокращение. Просто разделите числитель на знаменатель. Получите  6. И вообще, если знаменатель равен 1, его можно выкидывать). Предположим умножение на целое число. Пусть будет . Тут можно сократить 4 и 2(можно сокращать целые числа и числители). Получим 1/5 *2. Умножаем числитель на целое, знаменатель оставляем. 2/5. Если встретилось число по типу  — это смешанное число. Нужно из него получить дробь. Умножаем знаменатель(9( на целое(2) и прибавляем числитель(2). Получим . 
Деление обыкновенных дробей
Есть понятие обратных дробей. Это перевернутая дробь. То есть на место знаменателя стает значение числителя, а на место числителя значение знаменателя. То есть у дроби обратной будет . У числа 2 обратным будет (ведь 2 — это ).Если смешанное число, то переводим в дробь(выше описывал). Чтобы делить дроби нужно делитель сделать обратной дробью, заменить знак деления на знак умножения и умножать. Приведем пример . Обратное число двух — 1/2. Заменяем деление на умножение. Получим . Умножаем. 1*1=1, 3*2=6. Получим 1/6. Или приведем пример . Да, есть соблазн сократить 45 и 45. Но делать это пока нельзя. На данном этапе вообще сокращать нельзя. Сначала нужно преобразовать деление в умножение. Получим . Теперь сокращаем. Можно сократить 81 и 45(делятся на 9) и 35 и 45(делятся на 5). Сокращаем. Получаем . Сократить нельзя? Можно. 9/9 — 1. Получаем 7/5 умножить на 1. Получаем 7/5. Но эту дробь можно перевести в смешанное число. Сколько раз 5 помещается в 7? один раз. Значит тут есть целое(1). Вычитаем теперь это целое, то есть 5/5 из 7/5. Получаем 2/5. Значит ответ в нашем делении — . А тут даже можно перевести в неправильную дробь) Разделите 2 на 5. Получим 0,4. И в правду, 2/5=0,4. Значит можно и ответить 1,4. Но переводить в десятичную дробь совсем не обязательно.
P.s в моих объяснениях есть числа по типу 2/1 и 3/6 — это те же самые дроби, просто в интернете их пишут так, т.е вышеприведенные дроби равносильны /
Надеюсь, что теперь уж точно все понятно, и что эти 40 минут я потерял не просто так(хотя сейчас на знаниях в это время суток мало вопросов для меня)

Упростите дроби перед их умножением

На этом уроке 5-го класса я объясняю, как упростить дроби перед их умножением. Это чрезвычайно полезный метод. Это значительно упрощает умножение дробей, потому что умножаемые числа после упрощения становятся меньше.

1. Упростите дроби. Писать
упрощенный числитель и знаменатель над и под старыми.

2. Упростите одно или
обе дроби перед умножением. Используйте эквивалентные дроби. Посмотрите на пример.

а. 3 6 10 5 × 1 2 14 7 = 3 × 1 5 × 7 = 3 35

Вы также можете упростить «крест-накрест». Посмотрите на этот пример: → Мы упрощаем 3 и 6, записывая вместо них 1 и 2. Думайте об этом как о дробь 3/6 упрощена до 1/2, но 3 и 6 расположены напротив друг друга.

Почему разрешены упростить таким образом? Сравните вышеуказанную проблему с этой: 7 9 × 3 6 . (Это почти то же самое, не правда ли?) Наверняка вы можете видеть, что в этой задаче мы могли бы перед умножением упростите 3/6 до 1/2. И эти две задачи умножения по сути та же проблема , потому что они оба приводят к одному и тому же выражению и одному и тому же ответу: первое становится 7 × 3 6 × 9 = 21 54 , а также второй становится 7 × 3 9 × 6 = 21 54 (без упрощения).Следовательно, поскольку вы можете упростите 3/6 в 1/2 в одной задаче, вы можете сделать то же самое и в другом.

3. Упростите «крест-накрест», прежде чем умножать.

Можно даже упростите крест-накрест несколько раз перед умножением.

Сначала упростим 3 а также 6 в 1 и 2.

Затем упростим 5 и 15 в 1 и 3.

4. Прежде чем умножать, упрощайте.

5. Упрощайте и умножайте.

6.Игрушечный блок имеет высоту 3/8 дюйма. Какова высота стопки из 8 штук?

Стопка из 20 штук?

7. Сандра покупает 3/4 кг мяса каждую неделю. Сколько мяса она покупает в
год?

8. На следующее утро после дня рождения Сэма приготовили 12/20 праздничных торта.
оставил. Он съедает 2/3 того, что осталось.
Когда вы умножаете эти две дроби, каков ваш ответ?
значит или тебе сказать?

Для умножения трех или более дробей применяются те же принципы.Вы умножаете все числители и все знаменатели, чтобы получить числитель и знаменатель для ответа. Пример. Мы можем многое упростить перед умножением на Эта проблема: 14 25 × 10 9 × 5 6
1.Упростим 10 и 25 в 2 и 5 (разделив на 5).	2. Упростите 14 и 6 в 7 и 3.	= 14 27 3. Наконец, упростите 5 и 5, оставив 1 и 1.

9. Умножьте три дроби. Упростите перед умножением.

10. а. Нарисуйте стержневую модель для этой ситуации. Мэтью платит 1/5 своего
зарплата в налогах.
Из того, что осталось, он использует 1/4 для
покупать продукты.

г. Предположим, что зарплата Мэтью составляет 2450 долларов.
Посчитайте, сколько он использует для
продукты.

Эпилог: Что произойдет, если не упростить до умножения ? Сравните две задачи справа → Джек сделал все принадлежащий упрощение до умножение. Тина упрощенная после умножения. Оба они получили правильный ответ. Упрощение перед умножением не НЕ измените окончательный ответ — это просто упрощает умножить , потому что цифры меньше !

7 35 × 6 8 = 42 280 = 21 140 = 3 20 Тина умножает первой и получает 42/280. Наконец, она упрощает свой ответ за два шага , сначала до 21/140, а затем до 3/20.

1 7 35 5 × 3 6 8 4 = 3 20 Джек упрощает перед умножением.

---

Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Fractions 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

---

Перекрестное сокращение и как это сделать — Руководство по Bubbly Primes

Перекрестное сокращение — это ярлык, который можно использовать, чтобы упростить умножение дробей. Иногда вам нужно упростить дроби после выполнения с ними арифметических операций.Кросс-аннулирование — это упрощение, которое можно сделать раньше. Это замечательно, потому что упрощение до означает, что когда вы действительно умножаете, у вас будут меньшие числа, и с меньшими числами легче работать.

Вы это уловили? Перекрестное сокращение упрощает дроби.

Но для какой операции можно использовать кросс-отмену? Умножение дробей .

В математике мы используем слово операция для чего-то простого, что вы делаете с числом.Наиболее распространенными примерами операций являются сложение, вычитание, умножение и деление (есть и другие, но не будем сейчас вдаваться в подробности).

Перекрестное сокращение и деление

Помимо умножения, перекрестное сокращение может использоваться для упрощения вычислений при делении дробей. Это потому, что вы всегда можете преобразовать задачу деления на дробь в задачу умножения дроби. Просто возьмите величину, обратную делителю. Взятие , обратного дроби, означает просто поменять местами числитель и знаменатель (поместите верхнюю часть снизу, а нижнюю часть сверху).Делитель — это число, на которое вы делите.

Как сделать перекрестную отмену?

Систематическую перекрестную отмену можно отменять, но есть и быстрые клавиши. Вот систематический способ перекрестного сокращения:

1. Если задача деления преобразуется в умножение, сначала перепишите ее, преобразовав делитель в обратную величину.
2. Найдите разложение на простые множители числителя и знаменателя обеих дробей.
3. Если какой-либо из факторов не был в простейшей форме, выполните упрощение сейчас.
4. Отмените все множители, найденные как в числителе, так и в противоположном знаменателе. Фактически, именно потому, что эти факторы расположены по диагонали друг от друга, мы называем это взаимной отменой. Если присутствует несколько копий какого-либо фактора, обработайте их, удалив только то количество копий, которое присутствует в противоположном месте (так же, как при упрощении дробей).
5. Повторите предыдущий шаг с другой диагональю.
6. Умножьте все множители в верхней части обеих дробей, чтобы получить числитель ответа, и умножьте все множители в нижней части обеих дробей, чтобы сформировать знаменатель ответа.

   Пошаговый пример перекрестной отмены

Вы всегда должны все это делать? Нет, не всегда. Вы заметили, где мы использовали слово систематический , чтобы описать этот пошаговый способ выполнения перекрестной отмены? Некоторые люди, вероятно, игнорировали это слово, а некоторые другие, возможно, задавались вопросом, что оно означает, и у них возникло чувство, что мы используем красивые слова, и вскоре все может перестать иметь смысл. Пожалуйста, не волнуйтесь. Под систематическим мы подразумевали то, что любой, кто сможет выполнить эти шаги, в конце получит правильный ответ.Когда вы знакомы с процессом, вы обычно можете комбинировать или пропускать шаги, использовать альтернативные методы или делать короткие пути.

Перекрестное аннулирование с помощью ярлыка GCF

Вы можете сэкономить работу, если числа относительно малы и вы можете увидеть некоторые общие факторы. В таком случае вам не нужно искать полное разложение на простые множители. Вместо этого мы обычно зачеркиваем числа по диагонали и пишем числа замены рядом с ними, удаляя наибольшие общие факторы. Вот пример того, как выглядит эта техника.

Пример использования GCF для упрощения дроби

Перекрестное сокращение и упрощение дробей

Перекрестное сокращение — это действительно специальная версия упрощения дробей. Воспользоваться этим можно только при умножении или делении дробей. Сначала стоит попрактиковаться в упрощении дробей, чтобы получить более широкую перспективу и понять, насколько это полезно. Фактически, преимущество перекрестного сокращения перед умножением и последующим упрощением состоит в том, что перед умножением числа становятся меньше и с ними легче работать.Вы получите тот же ответ, если сначала умножите, а затем упростите, но это может потребовать гораздо больше работы. Перекрестная отмена — это всего лишь ярлык, но хороший.

Как у вас получается хорошо справляться с кросс-отменой?

Чтобы добиться успеха в большинстве вещей, нужна практика. Мы создали игру Bubbly Primes с целью дать студентам много практических занятий по факторингу, чтобы они получили возможность видеть общие факторы, как в методе GCF. Это интересный способ развить навыки, которые традиционно возникают в результате много времени на рабочие листы и тесты.Мы рекомендуем вам потратить некоторое время на игру.

В чем разница между перекрестным отменой и перекрестным умножением?

Иногда студенты путают перекрестное сокращение с перекрестным умножением. Это легко сделать, потому что имена похожи, оба имеют отношение к дробям, и, более того, оба имеют отношение к умножению. Однако:

• Используйте перекрестное умножение , чтобы алгебраически манипулировать равенством, включающим дроби по обе стороны от знака равенства, обычно для поиска переменной.
• Используйте Перекрестное сокращение как метод упрощения при умножении двух дробей.

Обычно эти два метода предназначены для решения совершенно разных проблем. Вот пример каждого.

Следующая тема: Виды чисел

Об этой странице справки по математике Bubbly Primes

Обзор «

дробей: уменьшение дробей» | Purplemath

Purplemath

В дальнейшем иногда будет полезно помнить, что дроби могут указывать на деление.Например, ¹ / ₃ может означать «один, разделенный на три», а также «одна часть из трех частей». Фактически, давайте перейдем к делу; запомните это предложение: «Дроби — это деление».

Вы знаете, что любое число, разделенное само на себя, равно 1. Этот факт используется при уменьшении дробей. Если вы можете преобразовать часть заданной дроби в умноженную на 1, то вы можете игнорировать эту часть, потому что умножение на 1 ничего не меняет.

MathHelp.com

Например, вот как можно найти и использовать форму 1 для уменьшения ⁴ / ₈ :

Чтобы быть предельно ясным, цель нахождения общего множителя (в данном случае 4) состоит в том, чтобы позволить вам преобразовать часть дроби в 1.Поскольку ⁴ / ₄ = 1, то то, что я сделал выше, было следующим:

---

Предупреждение: обратите внимание, как я переключился с дроби на произведения (в числителе и знаменателе):

… произведению дробей:

Этот переключатель в порядке, пока вы умножаете:

…но это очень НЕ, если вы добавляете. Например:

Левая часть выше, представляющая собой дробь, содержащую сложение, равна ⁵ / ₆ , а правая часть выше, являясь добавкой, содержащей дроби, равна 1 ¹ / ₂ , поэтому два выражения — это совсем не одно и то же значение. Просто помните: для дробей умножение намного проще, чем сложение.А теперь вернемся к делу …

---

В дополнение к методу отмены, который я использовал выше (с розовыми единицами), вы также могли видеть одно из следующих сокращений для отмены:

Подходит любой из этих форматов. Последние два, вероятно, самые простые для домашнего задания, написанного от руки; первый легче набирать.

---

Если у вас есть обычный (научный, деловой и т. Д.) Калькулятор, который может обрабатывать дроби, вы можете ввести дробь, а затем нажать кнопку «равно», чтобы получить уменьшенную дробь. Если у вас есть графический калькулятор с командой дроби, вы можете ввести дробь как деление (потому что ⁴ / ₈ означает «четыре, разделенные на восемь»), а затем преобразовать в дробную форму. Проверьте свое руководство.

Если ваш калькулятор не может обрабатывать дроби или если знаменатель слишком велик для него, вот как вы сокращаете числа вручную.

• Преобразовать в простейшую форму.

Я возьму свой калькулятор и немного бумаги для вырезок и множу числитель (верхнее число) и знаменатель (нижнее число). Краткое сокращение для получения простого факторизации каждого из этих чисел продемонстрировано ниже в стековом делении (простыми числами) 2940:

.

Чтобы найти факторизацию, я просто считал простые множители с внешней стороны перевернутого деления.Из вышесказанного я вижу, что 2940 факторов как 2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 7.

Партнер

Затем я разложу на множители знаменатель, являющийся числом 3150:

.

Итак, 3150 множителей как 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7.

Теперь я могу уменьшить дробь, отбросив общие множители:

---

В следующем разделе рассматриваются смешанные числа и неправильные (или «вульгарные») дроби….

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/fraction.htm

Уменьшайте простые или сложные дроби с помощью пошагового решения математических задач

ПРОДУКТОВ ФРАКЦИЙ

Произведение двух дробей определяется следующим образом.

Произведение двух дробей — это дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель — произведением знаменателей данных дробей.

в символах,

Любой общий множитель, встречающийся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, может быть разделен до или после умножения.

Пример 1 Найдите произведение

Решение

Те же процедуры применяются к дробям, содержащим переменные.

Пример 2 Найдите произведение

Решение Сначала мы разделим числитель и знаменатель на общие множители, чтобы получить

.

Теперь, умножая оставшиеся множители числителей и знаменателей, получаем

.

Если к какому-либо из факторов добавлен отрицательный знак, рекомендуется действовать так, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к результату.Положительный знак прилагается, если на факторах нет отрицательных знаков или четного количества отрицательных знаков; отрицательный знак ставится, если у факторов нечетное количество отрицательных знаков.

Пример 3

Когда дроби содержат алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4 Найдите произведение.

Решение Во-первых, мы должны разложить числители и знаменатели на множители, чтобы получить

.

Теперь, разделив общие множители, получим

.

Теперь умножим оставшиеся множители числителей и знаменателей, чтобы получить

Обратите внимание, что при написании дробных ответов мы умножаем числитель и оставляем знаменатель в факторизованном виде.Очень часто в таком виде более полезны дроби.

В алгебре мы часто переписываем выражение, например, как эквивалентное выражение. Используйте ту форму, которая наиболее удобна для конкретной задачи.

Пример 5

Распространенные ошибки: помните, что мы можем разделять только общие факторы, а не общие термины! Например,

, потому что x — это термин, который нельзя разделить. Аналогично

, потому что 3 не является множителем всего числителя 3y + 2.

КОЛИЧЕСТВО ФРАКЦИЙ

При делении одной дроби на другую мы ищем число, умножение которого на делитель дает делимое. Это в точности то же самое понятие, что и деление одного целого числа на другое; a ÷ b — это число q, частное, такое, что bq = a.

Чтобы найти, ищем такое число q, что. Чтобы решить это уравнение относительно q, мы умножаем каждый член уравнения на. Таким образом,

В приведенном выше примере мы называем номер обратной величиной.В общем, дробь является обратной величиной. То есть, мы получаем обратную дробь, «инвертируя» дробь. В целом

Частное двух дробей равно произведению дивиденда на обратную величину делителя.

То есть, чтобы разделить одну дробь на другую, мы инвертируем делитель и умножаем. В символах,

Пример 1

Как и при умножении, когда дроби в частном имеют знаки, рекомендуется продолжить решение проблемы, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к решению.

Пример 2

Некоторые частные встречаются так часто, что полезно распознать эквивалентные формы напрямую. Один футляр

В целом

Пример 3

Когда дроби в частном включают алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4

СУММЫ И РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С ПОДОБНЫМИ ДЕНОМИНАТОРАМИ

Сумма двух или более арифметических или алгебраических дробей определяется следующим образом:
Сумма двух или более дробей с общими знаменателями — это дробь с одинаковым знаменателем и числителем, равная сумме числителей исходных дробей.

В целом

Пример 1

Когда используется вычитание, перед сложением полезно перейти к стандартной форме.

Пример 2

Мы должны быть особенно осторожны с биномиальными числителями. Например, мы должны переписать

, где весь числитель заключен в круглые скобки.

СУММ ДОРОЖЕК С НЕПОДХОДЯЩИМИ ЗНАМЕНИТОРАМИ

В разделе 6.3 мы добавили дроби с одинаковыми знаменателями. В этом разделе мы добавим дроби с разными знаменателями.

НАИМЕНЕЕ ОБЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

Как правило, наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) набора дробей. Иногда мы можем получить ЖК-дисплей путем осмотра. Если ЖК-дисплей не виден сразу, мы можем использовать специальную процедуру, чтобы найти его.

Чтобы найти ЖК-дисплей:

1. Полностью разложите каждый знаменатель на множители, по возможности выровняв общие множители.
2. Включите в ЖК-дисплей каждый из этих множителей, максимальное количество раз, когда он встречается в любом единственном знаменателе.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель дробей

Решение Наименьший общий знаменатель для содержит среди своих факторов множители 12, 10 и 6.

Таким образом, на ЖК-дисплее отображается 60. (Это наименьшее натуральное число, которое делится на 12, 10 и 6.)

ЖК-дисплей набора алгебраических дробей — это простейшее алгебраическое выражение, кратное каждому знаменателю в наборе.Таким образом, ЖКД дробей

, потому что это простейшее выражение, кратное каждому знаменателю.

Пример 2 Найдите ЖКИ дробей

Решение Следуя методике из Примера 1, получаем

Таким образом, ЖК-дисплей равен x ² (x + l) (x — 1).

Мы можем складывать дроби с разными знаменателями, сначала преобразовывая дроби в эквивалентные дроби с одинаковыми знаменателями, а затем складывая.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями:

1. Найдите на ЖК-дисплее набор дробей.
2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
3. Сложите дроби, используя свойство

Пример 3 Запишите суммы и как отдельные члены.

Решение В каждом случае на ЖК-дисплее отображается 10. Мы строим каждую дробь до дроби со знаменателем 10. Таким образом,

эквивалентно

, откуда получаем

Иногда знаменатели дробей являются двучленами.

Пример 4 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение На ЖК-дисплее (x + 2) (x — 1). Строим каждую дробь до дроби со знаменателем (x + 2) (x — 1), вставляя круглые скобки по мере необходимости, и получаем

Теперь, когда у нас есть одинаковые знаменатели, мы можем сложить числители, упростить и получить

Пример 5 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение Сначала мы разложим знаменатели на множители, чтобы получить ЖК-дисплей.

Теперь мы преобразовываем каждую дробь в дроби с этим знаменателем и получаем

Теперь мы можем сложить числители, упростить и получить

Распространенные ошибки Обратите внимание, что мы можем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями.Таким образом,

Кроме того, мы добавляем только числители дробей с одинаковыми знаменателями. Таким образом,

РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С НЕДОСТАТОЧНЫМИ ЗНАЧИТЕЛЯМИ

Мы вычитаем дроби с разными знаменателями аналогично сложению дробей. Однако сначала запишем каждую дробь в стандартном виде. Таким образом, любая дробь в виде

сначала записывается как

Теперь мы можем складывать дроби.

Пример 1 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей 12x. Мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь, сложив числители, получаем

Опять же, следует проявлять особую осторожность с биномиальными числителями.

Пример 2 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение сначала следует записать как

, где весь числитель заключен в круглые скобки.Затем мы получаем ЖК-дисплей 6 и строим каждую дробь до дробей со знаминателем 6, складываем числители и упрощаем.

В следующих примерах используются биномиальные знаменатели.

Пример 3 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей равен (x — l) (x + 2), и мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем результаты

Пример 4 Запишите разницу

как единый термин

Решение. Сначала разложим знаменатели на множители и запишем дроби в стандартной форме, чтобы получить

.

Мы находим ЖК-дисплей (x + 7) (x — 3) (x + 3) и строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем yield

КОМПЛЕКСНЫЕ ФРАКЦИИ

Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью.Например,

— сложные дроби. Как и простые дроби, сложные дроби представляют собой частные. Например,

В случаях, подобных уравнению (1), в котором числитель и знаменатель комплексной дроби не содержат сумм или разностей, мы можем просто инвертировать делитель и умножить. То есть

В случаях, подобных уравнению (2), в котором числитель или знаменатель комплексной дроби содержит суммы или разности, мы не можем просто инвертировать делитель и умножить.Однако мы можем использовать фундаментальный принцип дробей для упрощения сложных дробей. Фактически, мы также можем использовать фундаментальный принцип для упрощения сложных дробей приведенной выше формы (1).

Пример 1 Упростите, используя фундаментальный принцип дробей.

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в этом случае на ЖК-дисплее отображается 4. Результат — простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби.

В следующем примере показано упрощение уравнения (2) на стр. 255.

Пример 2 Упростить

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в данном случае LCD 6. Получаем

ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Чтобы решить уравнение, содержащее дроби, обычно проще всего сначала найти эквивалентное уравнение, не содержащее дробей. Мы делаем это, умножая каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель дробей.

Хотя мы можем применять изученные нами алгебраические свойства в любом порядке, следующие шаги показывают порядок, наиболее полезный при решении уравнения, когда решение неочевидно. Конечно, не всегда все шаги необходимы.

Чтобы решить уравнение:

1. Очистите дроби, если они есть, умножив каждый член уравнения на ЖК-дисплей.
2. Запишите любое выражение, содержащее круглые скобки, как выражение без скобок.
3. Объедините любые одинаковые термины в любом члене.
4. Получить все термины, содержащие переменную в одном члене, и все термины, не содержащие переменную в другом члене.
5. Разделите каждый член на коэффициент переменной, если он отличается от 1.
6. Проверьте ответ, был ли каждый член уравнения умножен на выражение, содержащее переменную.

Пример 1 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖК-дисплей 15, чтобы получить эквивалентное уравнение, не содержащее дроби.

Свойство умножения равенства (раздел 3.4) позволяет нам умножить каждый член уравнения на ненулевое значение, чтобы получить эквивалентное уравнение. Таким образом, для решения уравнения

, мы умножим каждый член на ЖКД 4 (x — 5). Отметим, что x не может равняться 5, поскольку 4 (x — 5) равно 0, если x = 5. Полное решение показано в следующем примере.

Пример 2 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖКД 4 (x — 5), чтобы получить

Применяя распределительное свойство, получаем

Решение относительно x дает

-21x = -189; х = 9

Обратите внимание, что 4 (x — 5) не равно нулю для a = 9.Таким образом, a = 9 является допустимым решением уравнения.

Когда уравнения содержат более одной переменной, иногда желательно найти одну переменную в терминах другой переменной (переменных).

Пример 3 Решите относительно a через a, b и c.

Решение Мы умножаем каждый член на LDC 3xc, чтобы получить

Теперь, разделив каждый член на 2x, мы получим

ПРИЛОЖЕНИЯ

Проблемы со словами в следующих упражнениях приводят к уравнениям с дробями.В это время вы можете просмотреть шаги, предлагаемые для решения задач со словами, и шаги, предлагаемые на странице 260, для решения уравнений, содержащих дроби.

Пример 1 Если к числу прибавить определенное число, то получится 11. Найдите число.

Решение

Шаги 1-2 Сначала мы записываем то, что хотим найти (число), в виде словосочетания. Затем мы представляем число в виде переменной.
Номер: x

Шаг 3 Эскиз не применим.

Шаг 4 Теперь мы можем написать уравнение. Помните, что «of» означает умножение.

Шаг 5 Решение уравнения дает

Шаг 6 Число 12.

Уравнения для задач, связанных с движением, иногда включают дроби. Основная идея задач движения состоит в том, что пройденное расстояние d равно произведению скорости перемещения r и времени путешествия t. Таким образом, d = rt. Мы можем решить эту формулу относительно r или t, чтобы получить:

Таблица, подобная показанной в следующем примере, полезна при решении проблем с движением.

Пример 2 Экспресс проходит 180 миль за то же время, что и грузовой поезд — 120 миль. Если экспресс идет на 20 миль в час быстрее, чем груз, найдите скорость каждого из них.

Шаги решения 1-2. Мы представляем две неизвестные величины, которые мы хотим найти, в виде словосочетаний. Затем мы представляем словосочетания в терминах одной переменной.

Скорость грузового поезда: r

Скорость экспресса: r + 20

Шаг 3 Затем мы составляем таблицу, в которой указаны расстояния, скорости и время.

Шаг 4 Поскольку времена обоих поездов одинаковы, мы можем приравнять выражения для времени, чтобы получить

Шаг 5 Теперь мы можем решить для r, сначала умножив каждый член на ЖК-дисплей r (r + 120), и мы получим

Шаг 6 Скорость грузового поезда составляет 40 миль в час, а скорость экспресса — 40 + 20, или 60 миль в час.

СООТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ

Частное двух чисел a ÷ b или иногда называют отношением и читают как «отношение a к b».»Это удобный способ сравнить два числа.

Пример 1 Выразите в виде отношения.

а. От 3 до 5 дюймов
b. От 8 до 12 метров
c. С 6 по 10

Решения

Утверждение, что два отношения равны, например

называется пропорцией и читается как «2 равно 3, как 4 равно 6» и «a соответствует b, как c соответствует d». Числа a, b, c и d называются первым, вторым, третьим и четвертым членами пропорции соответственно. Первый и четвертый члены называются крайними точками пропорции, а второй и третий члены называются средними значениями пропорции.

Пример 2 Выразите как пропорцию.

Если каждое соотношение в пропорции

умножаем на bd, получаем

Таким образом,

В любой пропорции произведение крайностей равно произведению средних.

Доля — это особый тип дробного уравнения. Приведенное выше правило получения эквивалентного уравнения без знаменателей является частным случаем нашего общего подхода.

Пример 3 Решите пропорцию.

Решение Применяя свойство (1) выше, мы получаем

КОНВЕРСИИ

Мы можем использовать пропорции для преобразования английских единиц измерения в метрические единицы и наоборот. Следующие ниже базовые отношения будут полезны при настройке соответствующих пропорций для конверсий.

1 метр (м) = 39,37 дюйма (дюйм)

1 килограмм (кг) = 2,2 фунта (фунта)

1 километр (км) = 0,62 мили (миль)

1 литр (1) = 1,06 кварты (кварты)

1 фунт (фунт) = 454 грамма (г)

1 дюйм (дюйм.) = 2,54 см (см)

При преобразовании единиц проще всего выполнить шесть описанных шагов.

Пример 4 Измените 8 дюймов на сантиметры.

Решение

Шаги 1-2 Представьте, что нужно найти (в сантиметрах), в словосочетании и в терминах переменной.
Сантиметров: x

Шаг 3 Составьте таблицу, показывающую основные отношения между дюймами и сантиметрами.

Шаг 4 Используя таблицу из шага 3, запишите соотношение дюймов к сантиметрам.

Шаг 5 Решите относительно x, приравняв произведение средних к произведению крайних значений.

8 (2,54) = 1 · x
20,32 = x

Шаг 6 Восемь дюймов равны 20,32 сантиметра.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

1. Следующие свойства используются для перезаписи произведений и частных дробей.

2. Наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей.Следующие свойства используются для перезаписи сумм и разностей дробей.

3. Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью . Мы можем упростить сложную дробь, умножив числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе.

4. Мы можем решить уравнение, содержащее дроби, получив эквивалентное уравнение, в котором решение очевидно при осмотре.Как правило, лучше всего получить эквивалентное уравнение, не содержащее дробей, путем умножения каждого члена уравнения на ЖКД дробей.

5. Частное двух чисел называется отношением ; Утверждение, что два соотношения равны, называется соотношением . В пропорции

   a и d называются крайними значениями , пропорции, а b и c называются средствами . В любой пропорции этой формы

   ad = bc

Поиск эквивалентных дробей и простейшей формы

Демонстрация

Просмотрите словарный запас и то, что учащиеся знают об эквивалентных дробях.Покажите модели эквивалентных дробей и объясните, что, хотя числители и знаменатели в дробях различаются, дроби представляют собой одинаковое количество, что означает, что они эквивалентны.

Используйте модели, чтобы показать дроби 1/2 и 2/4, или нарисуйте их для учащихся. Попросите учащихся указать, что они знают о дробях. Приведите их к выводу, что на чертеже 2/4 фигур вдвое больше, чем на чертеже 1/2, но они представляют такое же количество.

Проверьте, что числа, умноженные на единицу, равны одному и тому же числу.Попросите студентов привести несколько примеров единицы в виде дроби, например: 3/3, 4/4, 2/2. Напишите 1/2 x 2/2 = 2/4 и покажите, что числитель и знаменатель удвоены, чтобы показать новую дробь. Объясните, что это еще один способ найти эквивалентные дроби.

Умножьте числитель и знаменатель на то же число, чтобы найти эквивалентную дробь. Или разделите числитель и знаменатель на одно и то же число. Важно записывать дроби как «сложенные», а не рядом. Это поможет ученикам при умножении и делении.

Покажите несколько примеров:

3/12 x 4/4 = 12/48
3/12 (знак деления) 3/3 = 1/4
Все эти дроби эквивалентны, потому что они называют одно и то же количество: 1 / 4

После нескольких примеров предложите учащимся придумать правило для этого принципа. Они должны быть в состоянии сказать вам, что если вы умножите или разделите числитель и знаменатель на одно и то же число, новая дробь будет эквивалентна исходной дроби. Единственный раз, когда это не сработает, — это если ученики умножат на ноль.

Объясните, что иногда дроби нужно переименовывать, чтобы с ними было легче работать. Подчеркните, что дроби по-прежнему будут равны или эквивалентны, но числитель и знаменатель будут отличаться от исходной дроби.

Чтобы упростить дроби, найдите общий множитель, который равномерно разделит числитель и знаменатель. Например, покажите студентам эту дробь: 12/18

Найдите множители числителя и знаменателя. Множители 12 равны 2, 3, 4 и 6.Множители 18 — это 2, 3, 6 и 9. Общие делители — 2, 3 и 6.

Чтобы упростить дробь, разделите на 6, так как 6 является наибольшим общим делителем. Покажите учащимся, как разделить дробь: 12/18 (знак деления) 6/6 = 2/3

Объясните, что дробь имеет простейшую форму, если 1 является единственным общим делителем числителя и знаменателя. Попросите учащихся определить, является ли эта дробь простейшей формой.
2/3 — простейшая форма 12/18.

Чтобы уменьшить дробь до наименьшего значения, объясните, что учащиеся могут делить на любой общий множитель, и продолжать до тех пор, пока он не станет наименьшим, или они могут разделить на наибольший общий множитель.Например, учащиеся могут разделить дробь 12/18 на 2/2, а затем разделить на 3/3, чтобы показать дробь в простейшей форме. Или студенты могут разделить 12/18 на 6/6 и показать дробь 2/3 за один шаг.

Обсудите значение слова эквивалент и то, что делает дроби эквивалентными. Попросите студентов написать в своих дневниках, как они могут найти эквивалентные дроби. Попросите их ответить на вопрос: как узнать, что у вас есть дробь в простейшей форме?

11.1 — Упрощение алгебраических дробей

11.1 — Упрощение алгебраических дробей

11.1 — Упрощение алгебраических дробей

Некоторые определения

• Обычная дробь — это число, записанное в
  форма или a / b ,
  где a , числитель и b , знаменатель , оба являются целыми числами.
  Обычная дробь используется для описания части или части целого объекта.Обозначение означает, что мы разбиваем объект на b равные части, и у нас есть и таких частей. Часть или часть объекта, который у нас есть
  — это a / b .
• Раздел определяется в терминах умножения.
  Деление числа a на число b дает число c такое, что c умноженное на b дает a .
  Мы используем то же обозначение дроби: a / b , чтобы обозначить деление a на b , потому что когда a и b были целыми числами, тогда
  деление a / b дает обыкновенную дробь a / b .
• Алгебраическая дробь — это дробь, числитель или знаменатель которой являются алгебраическими
  выражения.
  Два примера алгебраических дробей:

  и
  .

• Рациональная алгебраическая дробь — это алгебраическая дробь,
  числитель и знаменатель являются полиномами.
  Первый пример выше — рациональная алгебраическая дробь; второй нет.
• Правильная обыкновенная дробь — обыкновенная дробь, числитель которой меньше ее
  знаменатель, и неправильная обыкновенная дробь — это тот, числитель которого больше или равен его знаменателю.Смешанная дробь — это сумма целого числа и правильной дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования
  неправильная дробь в смешанную дробь.
• Правильная алгебраическая дробь — рациональная алгебраическая дробь
  числитель которой ниже степени чем его знаменатель, а несобственная алгебраическая дробь равна единице
  числитель которого больше или равен знаменателю.
  Смешанное выражение — это сумма полинома и правильной алгебраической дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования
  несобственная алгебраическая дробь к смешанному выражению.

---

Деление на ноль

Эта операция недопустима в математике. Щелкните здесь, чтобы узнать почему.
Это означает, что в алгебраической дроби

,

x не может равняться 1 или −3, потому что эти значения x вызовут
дробь должна иметь нулевой знаменатель.

---

Приведение алгебраической дроби к младшим членам

Посмотрите на алгебру, которую мы здесь делаем:

• Начнем с дроби a / b .
• Умножаем его на 1. Это не изменит его значения.
• Мы запишем «1» как дробь d / d .
• Умножаем две дроби. Числитель новой дроби — до , знаменатель — bd .
• Конечная дробь составляет , что эквивалентно первой дроби.

Если мы пойдем в обратном направлении, мы скажем, что уменьшаем дробь до ее простейшая эквивалентная дробь или наименьшие термины .Для этого мы находим любой множитель, который содержится как в числителе, так и в знаменателе.
и вычеркнуть или вычеркнуть , например:

---

Пример: Сократите обычные дроби 10/6 и 10/5 до наименьших значений.

	Разделите числитель и знаменатель на множители. Сократить общий множитель 2.
	Разделите числитель и знаменатель на множители.Отмените общий множитель 5. Результат деления — целое число. Мы говорим, что знаменатель делит без остатка в числитель.

---

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби — одночленов , то
выполните все следующие шаги , чтобы уменьшить дробь до наименьшего значения :

---

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь
на самые низкие сроки.
Решение:

Знак — ставится либо перед результатом или перед числителем; никогда перед знаменателем. Уменьшите коэффициент 6/9 до самые низкие сроки.

---

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь
на самые низкие сроки.
Решение:

Два знака — заменены знаком +, который нам не нужно отображать.Коэффициент уменьшается до ¼. В числителе есть другие множители, поэтому цифру 1 в числителе можно не указывать. Объедините экспоненты с основанием x , используя свойства экспоненты.

---

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь
на самые низкие сроки.
Решение:

Спереди ставится знак -. Коэффициент снижается до 1/3.Идентичные множители x 3 в числителе и знаменателе отменяют. В числителе нет других факторов, поэтому на этот раз необходимо отобразить 1.

---

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь
на самые низкие сроки.
Решение:

После проведения всех упрощений знаменатель равен 1, поэтому нам не нужно его отображать.Таким образом, результатом является обычное выражение, не алгебраическая дробь.

---

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби являются полиномами , то
в дополнение к шагам, перечисленным выше,
попробуйте следующие шаги , чтобы уменьшить дробь до наименьших значений :

• Разделите на множители числитель или знаменатель, или оба сразу. Иногда это вызывает новые
  отменяющие факторы, чтобы появиться.
• Фактор a — вынести из числителя или знаменателя.
  Иногда это приводит к появлению нового отменяющего фактора.

В следующих примерах мы предполагаем, что вы уже знаете
как сделать факторинг
поэтому мы просто покажем, как использовать множители для уменьшения алгебраических дробей до
самые низкие сроки.

---

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь
на самые низкие сроки.
Решение:

Разделите числитель и знаменатель на множители. Сократить общий множитель x .

---

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь
на самые низкие сроки.
Решение:

Разложите множитель в числителе. Сократить общий множитель x — 2.

---

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь
на самые низкие сроки.

Решение: Это та же алгебраическая дробь, что и в предыдущем примере, за исключением
что знаменатель отличается знаком -.

Разложите числитель на множитель и множитель a — выход знаменателя. Сократить общий множитель x — 2. Поднесите знак — к числителю и распределите его.

---

---

Если вы нашли эту страницу в поиске в Интернете, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Сокращение уравнений умножением

176.Неизвестная величина вместо того, чтобы быть связана с известной величиной знаком + или -, может быть разделена на на , как в уравнении x / a = b.

Здесь сокращение не может быть произведено, как в предыдущих случаях, путем транспонирования. Но если оба члена будут умножены на (статья 167), уравнение станет
х = ab.

Ибо дробь вводится в знаменатель в миллиметрах путем удаления знаменателя. Это доказано свойствами дробей.(Статья 156.) Это также очевидно из шестой аксиомы.

Таким образом, x = ax / a = 3x / 3 = [(a + b) x] / (a ​​+ b) = (dx + 5x) / (d + 5). Ведь в каждом из этих случаев x умножается и делится на одно и то же количество; и это не меняет значения. Следовательно,

177. Когда неизвестная величина равна делению на известную величину, уравнение сокращается на , умножая каждой стороны на эту известную величину.

В этом случае необходимо произвести те же транспозиции, что и в предыдущих примерах.Также необходимо отметить, что каждые членов уравнения необходимо умножить. Поскольку несколько членов в каждом члене составляют составное множимое, которое должно быть умножено в соответствии со ст. 96.

Бывший. 1. Приведите уравнение x / c + a = b + d
Умножение обеих сторон на c
Произведение: x + ac = bc + cd.
И x = bc + cd — ac.

2. Приведите уравнение x / (a ​​+ b) + d = h
Умножение на a + b x + ad + bd = ah + bh.
А х = ag + bh — ad — bd.

178. Когда неизвестная величина находится в знаменателе дроби , уменьшение производится аналогичным образом, умножая уравнение на этот знаменатель.

Бывший. 3. Сократите уравнение 6 / (10 — x) + 7 = 8
Умножение на 10 — x 6 + 70 — 7x = 80 — 8x
И х = 4.

179. Хотя обычно не является необходимым , тем не менее часто бывает удобно удалить знаменатель из дроби, состоящей только из известных величин.Это может быть сделано таким же образом, как знаменатель удаляется из дроби, которая содержит неизвестную величину.

Возьмем, например, x / a = d / b + h / c
Умножение на a x = ad / b + ah / c
Умножение на b bx = ad + abh / c
Умножение на c bcx = acd + abh.

Или мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.

В том же уравнении x / a = d / b + h / c
Умножение на abc abcx / a = abcd / b + abch / c

Затем, удаляя из каждого члена букву, общую для его числителя и знаменателя (ст.142,), как и раньше, имеем bcx = acd + abh. Следовательно, 180. Уравнение можно очистить от дробей , умножив каждую сторону на все знаменатели .

При очистке уравнения дробей необходимо заметить, что знак, стоящий перед любым действием ft, означает, что все значение должно быть вычтено (статья 139), что делается путем изменения знаков всех в числителе.

Уравнение (a — d) / x = c — (3b — 2hm — 6n) / r
совпадает с ar — dr = crx -3bx + 2hmx + 6nx.

.

План урока:

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Применение разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:

a(b + c) = ab + bc

Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:

ab + bc = a(b + c)

Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

что, скорее всего, не получится посчитать в уме. Если же вынести a за скобки, то получим иную запись:

ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.

При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.

Рассмотрим полином 14ab – 63b². Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:

14ab = 7b * 2a

63b² = 7b * 9b

Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:

14ab — 63b² = 7b*2a — 7b*9b = 7b(2a-9b)

Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции – раскрытия скобки:

7b(2a — 9b) = 7b*2a — 7b*9b = 14ab — 63b²

Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму

8a³b⁴ + 12a²b⁵v + 16a⁴b³c¹⁰

Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.

Далее рассмотрим буквенную часть. В ней должны быть переменные, которые есть во ВСЕХ слагаемых. В данном случае это a и b, а переменная c общей не является, так как не входит в первое слагаемое.

Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a². У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b³:

8a³b⁴ + 12a²b⁵v + 16a⁴b³c¹⁰ = 4a²b³(2ab + 3b²c + 4a²c¹⁰)

В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b²c, 4a²c¹⁰ нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.

Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Еще один пример. Необходимо разложить выражение

5t(8y — 3x) + 2s(3x — 8y)

Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому

-(8y — 3x) = -8y + 3x = 3x — 8y

Значит, можно заменить (3x – 8y) на – (8y – 3x):

5t(8y — 3x) + 2s(3x — 8y) = 5t(8y — 3x) + 2*(-1)s(8y — 3x) = (8y — 3x)(5t — 2s)

Ответ: (8y – 3x)(5t – 2s).

Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:

(a — b) = — (b — a)

Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:

Этот прием часто используется при решении заданий.

Способ группировки

Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение

ab — 5a + bc — 5c

Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:

ab — 5a + bc — 5c = (ab — 5a) + (bc — 5c) = a(b — 5) + c(b — 5)

Теперь можно вынести выражение b – 5:

a(b — 5) + c(b — 5) = (b — 5)(a + c)

Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.

Пример. Разложим полином 6xy + ab– 2bx– 3ay.

Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:

6xy + ab — 2bx — 3ay = 6xy — 2bx + ab — 3ay = (6xy — 2bx) + (ab — 3ay) = 2x(3y — b) + a(b — 3y)

Разности 3y – b и b – 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:

(b — 3y) = — (3y — b)

Используем эту замену:

2x(3y — b) + a(b — 3y) = 2x(3y — b) — a(3y — b) = (3y — b)(2x — a)

В результате получили тождество:

6xy + ab — 2bx — 3ay = (3y – b)(2x – a)

Ответ: (3y – b)(2x – a)

Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме

x² — 3xy + xz + 2x — 6y + 2z

можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:

x² — 3xy + xz + 2x — 6y + 2z = (x² — 3xy + xz) + (2x — 6y + 2z) = x(x — 3y + z) + 2(x — 3y + z) = (x + 2)(x — 3y + z)

Теперь рассмотрим задание повышенной сложности

Пример. Разложите квадратный трехчлен x²– 8x +15.

Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:

-8x = -3x — 5x

Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:

x² — 8x + 15 = x² — 3x — 5x + 15

Сгруппируем слагаемые:

x² — 3x — 5x + 15 = (x² — 3x) + (- 5x + 15) = x(x — 3) — 5(x — 3) = (x — 5)(x — 3)

Ответ: (x– 5)(х – 3).

Конечно, догадаться о замене – 8х = – 3х – 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:

(x + a)(x + b) = x² + xa + xb + ab = x² + (a + b)x + ab

Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x²– 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:

С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= – 3 и b = – 5. Тогда

(x — 3)(x — 5) = x² * 8x + 15

в чем можно убедиться, раскрыв скобки.

Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:

x² * 8x + 15 = (2x — 6)(0.5x — 2.5)

Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:

(2x — 6)(0.5x — 2.5) = (x — 3) * 2 * (0.5x — 2.5) = (x — 3)(x — 5)

В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,

x² — x + 1

невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.

Применение разложение многочленов на множители

Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ 

Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ = 2(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ )

Обозначим сумму

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸

за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

x + 2⁹ = 2(1 + x)

Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

x + 2⁹ = 2(1 + x)

x + 2⁹ = 2 + 2x

2x — x = 2⁹ — 2

x = 512 — 2 = 510

Теперь выразим искомую нами сумму через х:

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ = x + 2⁹ = 510 + 512 = 1022

При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

Теперь вычислим значение выражения

38.4² — 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 — 29.5 * 38.4

Посчитать это напрямую достаточно сложно. Однако можно применить метод группировки:

38.4² — 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 — 29.5 * 38.4 = 38.4² — 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 — 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 — 29.5) + 61.6(38.4 — 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 — 29.5) = 8.9*100 = 890

Далее посмотрим, как можно использовать разложение полинома для доказательства делимости чисел. Пусть требуется доказать, что выражение

81⁴ — 9⁷ + 3¹²

делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

9 = 3²

81 = 9² = (3²)² = 3⁴

Зная это, произведем замену в исходном выражении:

81⁴ — 9⁷ + 3¹² = (3⁴)⁴ — (3²)⁷ + 3¹² = 3¹⁶ — 3¹⁴ + 3¹²

Вынесем 3¹²:

3¹⁶ — 3¹⁴ + 3¹² = 3¹²(3⁴ — 3² + 1) = 3¹² * (81 — 9 + 1) = 3¹² * 73

Произведение 3¹²•73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81⁴ – 9⁷ + 3¹² делится на это число.

Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

(a² + 3a)² + 2(a² + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

(a² + 3a)² + 2(a² + 3a) = (a² + 3a)(a² + 3a) + 2(a² + 3a) = (a² + 3a)(a² + 3a + 2)

Далее произведем замену 3a = 2a + a:

(a² + 3a)(a² + 3a + 2) = (a² + 3a)(a² + 2a + a + 2) = (a² + 3a)((a² + 2a) + (a + 2) = (a² + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a² + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

(x — y)(x + y) — 2x(x — y)

не является положительным числом.

Решение. Вынесем общий множитель х – у:

(x — y)(x + y) — 2x(x — y) = (x — y)(x + y — 2x) = (x — y)(y — x)

Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядком букв x и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

(x — y) = -(y — x)

Тогда можно записать:

(x — y)(y — x) = -(y — x)(y — x) = -(y — x)²

Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у – х)². Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.

Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

Пример. Решите уравнение (s – 1)(s + 1) = 0.

Решение. В левой части записано произведение мономов s – 1 и s + 1, а в правой – ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s – 1, или s + 1:

(s — 1)(s + 1) = 0

s — 1 = 0 или s + 1 = 0

s = 1 или s = -1

Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

Ответ: –1; 1.

Пример. Решите уравнение 5w² – 15w = 0.

Решение. Вынесем 5w:

5w² – 15w = 0

5w(w — 3) = 0

Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

5w = 0 или (w — 3) = 0

w = 0 или w = 3

Ответ: 0; 3.

Пример. Найдите корни уравнения k³– 8k² + 3k– 24 = 0.

Решение. Сгруппируем слагаемые:

k³– 8k² + 3k– 24 = 0

(k³– 8k²) + (3k– 24) = 0

k²(k — + 3(k — = 0

(k³ + 3)(k — = 0

k² + 3 = 0 или k — 8 = 0

k² = -3 или k = 8

Заметим, что уравнение k² = – 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

Ответ: 8.

Пример. Найдите корни уравнения

(2u — 5)(u + 3) = 7u + 21

Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

(2u — 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u — 5)(u + 3) — 7u — 21 = 0

(2u — 5)(u + 3) — 7(u + 3) = 0

(2u — 5 — 7)(u + 3) = 0

(2u — 12)(u + 3) = 0

2u — 12 = 0 или u + 3 = 0

u = 6 или u = -3

Ответ: – 3; 6.

Пример. Решите уравнение

(t² — 5t)² = 30t — 6t²

Решение:

(t² — 5t)² = 30t — 6t²

(t² — 5t)² — (30t — 6t²) = 0

(t² — 5t)(t² — 5t) + 6(t² — 5t) = 0

(t² — 5t)(t² — 5t + 6) = 0

t² — 5t = 0 или t² — 5t + 6 = 0

Далее решим по отдельности эти уравнения:

t² — 5t = 0

t(t — 5) = 0

t = 0 или t — 5 = 0

t = 0 или t = 5

Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену – 5t = – 2t – 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

t² — 5t + 6 = 0

t² — 2t — 3t + 6 = 0

t(t — 2) — 3(t — 2) = 0

(t — 3)(t — 2) = 0

T — 3 = 0 или t — 2 = 0

t = 3 или t = 2

В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.

Ответ: 0, 2, 3, 5

Содержание:

Разложение многочленов на множители — операция, об-I ратная умножению многочленов. Как вы уже знаете, решая разные задачи, иногда умножают два или более чисел, а иногда — раскладывают данное число на множители. Подобные задачи возникают и при преобразовании целых алгебраических выражений. В этой главе вы узнаете о:

• вынесении общего множителя за скобки;
• способе группировки;
• формулах сокращённого умножения;
• применении разных способов разложения многочленов на множители.

Вынесение общего множителя за скобки

Вы уже умеете раскладывать на множители натуральные числа. Например,

На множители раскладывают и многочлены. Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену. Например, многочлен

Один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим его.

Каждый член многочлена ах + ау имеет общий множитель а. На основании распределительного закона умножения Это означает, что данный многочлен ах + ау разложен на два множителя:

Другие примеры:

Чтобы убедиться, правильно ли разложен многочлен на множители, нужно выполнить умножение полученных множителей. Если всё верно, то в результате должен получиться данный многочлен.

Иногда приходится раскладывать на множители и выражения, имеющие общий многочленный множитель. Например, в выражении общий множитель b — с. Его также можно выносить за скобки:

Один и тот же многочлен можно разложить на множители по-разному. Например,

Как правило, стараются вынести за скобки такой общий множитель, чтобы в скобках осталось простейшее выражение. Поэтому чаще всего в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов всех членов данного многочлена или их модулей. Но не всегда. Все зависит от того, с какой целью раскладывают на множители многочлен.

Пусть, например, надо найти значение выражения при условии, когда

Чтобы использовать условие, это упражнение можно решить так:

Здесь вынесено за скобки не , а тогда в скобках имеем выражение, значение которого известно из условия.

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

или

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

Пример:

Докажите, что число делится на 20.

Доказательство:

Последнее произведение делится на 20, поэтому делится на 20 и данная сумма.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

поэтому данное уравнение равносильно уравнению Произведение двух чисел равно нулю тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю.

Значит, отсюда х = 0, или 5х — 1 = 0, отсюда х = 0,2.

Ответ. Уравнение имеет два корня: 0 и 0,2.

Способ группировки

Разложим на множители многочлен Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель Вынесем из первой группы за скобки общий множитель а, из второй — общий множитель х, получим выражение Слагаемые этого выражения имеют общий множитель b + с, вынесем его за скобки, получим выражение

Указанные преобразования можно записать цепочкой:

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом группировки.

Замечание. Раскладывая на множители представленный выше многочлен, можно сгруппировать его члены иначе:

Получили такой же результат.

Разложим на множители многочлен

Записывать сумму а + с в виде 1 (а + с) необязательно, но сначала, чтобы не допускать ошибок, можно писать и так.

Чтобы воспользоваться способом группировки, иногда приходится один член данного многочлена представлять в виде суммы или разности одночленов. Чтобы разложить на множители трёхчлен • запишем одночлен

Подобные преобразования также можно выполнять, используя тождества.

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Ответ.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Корнем первого уравнения является у = 1,5, а второе уравнение корней не имеет, так как

Ответ. у = 1,5.

Квадрат двучлена

Решая различные задачи, часто приходится умножать двучлены вида Чтобы в таких случаях можно было сразу написать ответ, полезно запомнить тождества, которые называют формулами сокращённого умножения. Рассмотрим некоторые из них.

Умножим двучлен

Следовательно,

Квадрат двучлена равен квадрату первого его члена плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго члена.

Доказанное равенство — тождество, его называют формулой квадрата двучлена. Пользуясь ею, можно сразу записать:

Промежуточные преобразования желательно выполнять устно, тем самым сокращается запись:

По формуле квадрата двучлена можно возводить в квадрат любые двучлены, в том числе

Запомните формулу

Формулы квадрата двучлена используют и в «обратном направлении»:

Формулу часто называют формулой квадрата суммы двух выражений, — квадрата разности двух выражений.

Для положительных чисел а и b формулу

можно доказать геометрически, как показано на рисунке 44. Так её доказывали ещё древние греки. Ведь площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей квадратов а также прямоугольников ab и ab.

Существуют и другие формулы сокращённого умножения:

Пример:

Возведите в квадрат двучлен

Решение:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Пример:

Представьте в виде многочлена выражение:

Решение:

Пример:

Представьте выражение в виде степени двучлена:

Решение:

• Заказать решение задач по высшей математике

Разность квадратов

Умножим сумму переменных а и b на их разность.

Значит,

Это равенство — тождество. Словами его читают так:

Произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений.

Пользуясь доказанной формулой, можно сразу записать:

Левую и правую части доказанной формулы можно поменять местами. Получим формулу разности квадратов двух выражений:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Пример:

Формула разности квадратов очень удобна для разложения многочленов на множители.

Для положительных чисел а и b формулу можно проиллюстрировать геометрически (рис. 46). Но это тождество верно не только для положительных чисел, но и для любых других чисел и выражений.

Истинность формулы разности квадратов следует из правила умножения многочленов, а это правило — из законов действий сложения и умножения. Законы сложения и умножения чисел — это своеобразные аксиомы, следствиями которых являются алгебраические тождества.

Пример:

Напишите разность квадратов и квадрат разности выражений

Решение:

— разность квадратов; — квадрат разности данных выражений.

Пример:

Запишите в виде произведения двух двучленов выражение:

Решение:

Пример:

Представьте в виде двучлена выражение:

Решение:

.

Используя формулу разности квадратов, промежуточные вычисления и преобразования можно выполнять устно, а записывать лишь конечный результат.

Использование формул сокращённого умножения

С помощью формул сокращённого умножения некоторые многочлены можно разложить на множители. Например, двучлен можно представить в виде произведения по формуле разности квадратов:

Примеры:

Трёхчлены раскладывают на множители по формуле квадрата двучлена:

Примеры:

Полученные, выражения можно разложить на множители и записать так:

Многочлен можно разложить на множители по формуле куба двучлена:

Раскладывать на множители можно не только многочлены, но и некоторые другие целые выражения.

Например, — не многочлены, но и их можно представить в виде произведений многочленов:

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Значит, данное уравнение равносильно такому:

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда это число равно 0. А х — 2 = 0, когда х = 2.

Ответ. х = 2.

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Разность и сумма кубов

Выполним умножение многочленов

Следовательно, при любых значениях а и b

Трёхчлен называют неполным квадратом суммы выражений а и b (от он отличается только коэффициентом среднего члена). Поэтому доказанную формулу словами читают так:

разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Выполним умножение многочленов

Следовательно,

Трёхчлен называют неполным квадратом разности выражений а и b. Поэтому полученную формулу читаю так:

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

С помощью доказанных формул можно раскладывать на множители многочлены, являющиеся разностями или суммами кубов.

Примеры:

Формулу «разность кубов» для положительных значений а и b можно проиллюстрировать геометрически, как показано на рисунке 49.

Если умножить на а — b выражения то получим формулы:

Можно доказать, что для каждого натурального значения n истинна формула:

Формулы «разность квадратов» и «разность кубов» — простейшие случаи этой общей формулы.

Пример:

Разложите на множители двучлен:

Решение:

Пример:

Найдите произведение многочленов: •

Решение:

Первый способ. По формуле суммы кубов:

Второй способ. По правилу умножения многочленов:

Применение разных способов разложения многочленов на множители

Чтобы разложить многочлен на множители, иногда приходится применять несколько способов.

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

Сначала за скобки вынесен общий множитель а, потом выражение в скобках разложено на множители по формуле разности квадратов.

Пример:

Разложите на множители выражение

Решение:

Здесь применены способ группировки, вынесение общего множителя за скобки и формула суммы кубов.

Чтобы разложить на множители более сложные многочлены, приходится применять несколько известных способов или искусственные приёмы.

В этом случае можно использовать такое правило-ориентир:

1. Вынести общий множитель (если он есть) за скобки.
2. Проверить, не является ли выражение в скобках разностью квадратов, разностью или суммой кубов.
3. Если это трёхчлен, то проверить, не является ли он квадратом двучлена.
4. Если многочлен содержит больше трёх членов, то надо попробовать группировать их и к каждой группе применить п. 1—3.

Иногда удаётся разложить многочлен на множители, прибавляя и вычитая из него одно и то же выражение.

Пример:

Разложите на множители двучлен

Решение:

Прибавим к данному двучлену выражение

Пример:

Разложите на множители выражение

Решение:

Пример:

Представьте многочлен в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение:

Пример:

Докажите, что число делится на 31.

Доказательство:

Последнее произведение делится на 31, поэтому делится на 31 и равное ему данное числовое выражение.

Исторические сведения:

Наибольший вклад в развитие алгебраической символики внёс известный французский математик Ф. Виет, которого называли «отцом алгебры ». Он часто использовал буквенные обозначения. Вместо писал соответственно N,Q,C — первые буквы латинских слов Numerus (число), Quadratus (квадрат), Cubus (куб). Уравнение Ф. Виет записывал так:

Степени чисел продолжительное время не имели специальных обозначений, четвёртую степень числа а записывали в виде произведения аааа. Позднее такое произведение начали записывать . Записи предложил Р. Декарт.

Формулы сокращённого умножения древним китайским и греческим математикам были известны за много веков до начала нашей эры. Записывали их тогда не с помощью букв, а словами и доказывали геометрически (только для положительных чисел). Пользуясь рисунком, объясняли, что для любых чисел а и b площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей двух квадратов со сторонами а и b к двух прямоугольников со сторонами а, b. Итак, Подобным способом обосновали и другие равенства, которые. мы теперь называем формулами сокращённого умножения.

В учебнике рассмотрены простейшие формулы сокращённого умножения.

Формулы квадрата и куба двучлена — простейшие случаи общей формулы бинома Ньютона:

Напомню:

Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену.

Простейшие способы разложения многочленов на множители:

• вынесение общего множителя за скобки;
• способ группировки;
• использование формул сокращённого умножения.

Примеры:

Формулы сокращённого умножения

Разложение многочленов на множители — это преобразование, обратное умножению многочленов. Схематично эти две операции можно изобразить, например, так.

Термины и понятия

Под разложением в математике понимается операция, которую выполняют для превращения сложного неудобного для вычисления примера в простой. В учебниках и литературе такое преобразование выражений называется тождественным, то есть без изменения сути задания.

Из слова «множители» можно понять, что в превращении используется умножение. Зная, как разложить полином на простые числа, можно быстро решать задачи на действия с корнями и сложными дробями. Например, выражение (3*h*y + 9*y — 8*h — 24) * (3*h — после упрощения примет вид: h + 3 — и быстро решается в уме.

В математике все алгебраические выражения могут быть:

1. Одночленными. Это уравнения, состоящие из чисел, натуральных степеней и не содержащие никаких других арифметических действий, кроме умножения. Числовой множитель выражения называют коэффициентом.
2. Многочленными. Включающими в себя сумму нескольких одночленов. Если выражение, кроме произведения, не содержит другие арифметические операции, такие как деление, возведение в степень, его называют целым.

Числа часто записывают в так называемом стандартном виде. Например, 296,8 = 2,968 * 102. То есть используется формула приведения: a * 10r, где 1≤а<10, а r — целое число, обозначающее порядок.

Каноническим правилом является следующее: любое простое число можно представить как произведение его составляющих. Так, 12 можно представить как 6 х 2, в свою очередь, 6 — как 3 х 2. Таким образом, будет верной запись: 12 = 3 х 2 х 2. На этом принципе построено упрощение любого выражения. Простые цифры 3, 2, 2 и являются множителями, на которые раскладывают пример.

Существуют пять способов преобразования многочленов (полиномов):

• вынесение общего коэффициента для каждого члена за скобку;
• трансформация по формулам сокращённого умножения;
• способ группирования;
• нахождение и выделения полного квадрата;
• разложение на простые множители.

Какой способ использовать, зависит от вида многочлена. Универсального метода, подходящего к любому решению, не существует. Поэтому для решения задачи нужно правильно определить, какой метод применять лучше всего, особенно это важно для чайников.

Простое разложение

На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:

1176 | 2 (1176 / 2 = 588).

588 | 2 (588 / 2 = 294).

294 | 2 (294 / 2 = 147).

147 | 2 (147 / 3 = 49).

49 | 2 (49 / 7 = 7).

7 | 2 (7 / 7 = 1).

1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.

Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:

• 7140 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 17 = 2 2 • 3 • 5 • 7 • 17;
• 5544 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 • 11 = 2 3 • 32 • 7 • 11;
• 4104 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 19 = 2 3 • 33 • 19;
• 546 = 2 • 3 • 7 • 13;
• 510 = 2 • 3 • 5 • 17;
• 495 = 3 • 3 • 5 • 11 = 3 2 • 5 • 11;
• 224 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7 = 2 5 • 7;
• 208 = 2 • 2 • 2 • 2 • 13 = 2 4 • 13;
• 156 = 2 • 2 • 3 • 13 = 2 2 • 3 • 13;
• 126 = 2 • 3 • 3 • 7 = 2 • 3 2 • 7;
• 118 = 2 • 59.

Используя метод, можно представить любое число как произведение простых множителей, но с условием, что изначально оно будет кратным двум или трём. В ином же случае простые множители подобрать не получится, как, например, для числа 247, которое можно заменить произведением чисел 13 и 19.

Вынесение коэффициента

Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.

Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:

• для численного выражения — найти число, на которое можно будет разделить без остатка любой коэффициент одночлена;
• для выражения с неизвестным — определить неопределённое число, повторяющееся в каждом одночлене, и вынести его за скобку в наименьшей степени;
• рассчитать многочлен, стоящий в скобках.

Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.

Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.

Формулы умножения

Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:

1. Разность двух членов, стоящих во второй степени, прямо пропорциональна произведению разности этих членов на их сумму. Например, 16 2 — 3 2 = (16 — 3) * (16 + 3) = 247 или 9 * h 2 — 4 * e 2 * h 2 = (3 * h — 2 * e * h) * (3 * h — 2 * e * h).
2. Квадрат суммы двух членов можно разложить на квадрат первого элемента и удвоенное произведение его на второй элемент, прибавив квадрат второго члена. Используя это правило, можно быстро находить квадрат числа без использования калькулятора. Например, 114 2 = (100 +14) = 100 2 + 2 * 100 * 14 + 14 2 = 10000 + 2800 + 196 = 12966.
3. Квадрат разности двух членов равняется квадрату первого члена с вычетом из него двойного произведения первого на второй с добавлением квадрата второго члена. В этом правиле используют обыкновенное раскрытие скобок. Например, (6 — 3) 2 = 6 2 — 2 * 6 * 3 + 3 2 = (3 — 6) 2 = 9 .
4. Кубическая сумма двух выражений определяется кубом первого члена с прибавлением к нему утроенного произведения исходного числа в степени два на второй член, плюс увеличенное в три раза произведение исходного числа на квадрат второго с прибавлением этого элемента в третьей степени. Например, (2h+7e) 3 = (2 * h) 3 + 3 * 2 * h 2 * 7* e + 3 * 2h * (7 * e) 2 + (7 * e) 3.
5. Куб разности находится вычитанием из исходного числа утроенного произведения первого члена, возведённого во вторую степень, с прибавлением утроенного произведения исходного члена на второй в степени два минус его куб. Например, (4 * h − 2 * e) 3 = (4 * h) 3 − 3 * (4 * h) 2 * 2 * e + 3 * 4 * h * (2 * e) 2 − (2 * e) 3 .
6. Сумма кубов находится как произведение суммы членов на неполный квадрат разности: (5 * h) 3 + 8 3 = (5 * h + * ((5 * h) 2 − 5 * h * 8 + 8 2). Неполным квадратом называют выражение: (h 2 — h * e + e 2).
7. Разность кубов равна выражению, полученному перемножением разности двух чисел на неполный квадрат суммы: h3− e3 = (h − e) * ((h 2 +h) * (e + e 2)).

Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.

Метод группировки

Пожалуй, самый распространённый способ разложения на множители. Его удобно применять для упрощения квадратных уравнений без поиска корней. Разложение этим методом выполняют в следующей последовательности действий:

• выбирают повторяющиеся неизвестные и записывают друг за другом одночлены с одинаковыми множителями;
• в каждой группе находят одинаковый множитель и переносят его за скобку;
• находят общий полином и отделяют его скобками.

Выполнять группировку можно по-разному, но в итоге обязательно должен остаться общий многочлен. Например, выражение 48 * h * e 2 + 32 * h * q — 15 * e 2 — 10 * q2 возможно решить двумя способами.

1. Изучив выражение, можно заметить, что во всех членах уравнения повторяются две неизвестные. Выписав их друг за другом, а затем вынеся общий множитель за скобку, можно будет записать: 48 * h * e2 + 15 * e2 + 32 * h * q2 − 1 0 * q2 − 10 * q2 = 3 * e2 (16 * h − 5) + 2 q2 (16 * h — 5) = (16 * h − 5) * (3 * e2 + 2 * q2).
2. Во втором способе можно использовать то, что в первых одночленах повторяется неизвестная h. Вынеся её за скобку, получают следующее упрощение: 48 * r * z2 + 32 * r * y2 − 15 * z2 − 10 * y2 = 16 * h * (3 * e2 + 2 q2) − 5 (3 * e2 + 2 q2) = (3 * e2 + 2 * q2) * (16 * h − 5).

Для того чтобы вынести многочлен за скобку, может понадобиться инвертировать все знаки. Следует помнить, что при выносе минуса у всех одночленов, оставшихся под скобкой, знак изменится на противоположный.

Выделение квадрата

По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:

1. k2 + 2 * k * e + e2 = (k + e)2.
2. k2 — 2 * k * e + e2 = (k — e)2.

Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).

Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.

Неприводимые множители

Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.

Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.

Для рассматриваемого примера дискриминант квадратного уравнения будет равняться: Д = 25 — 4*2 (-3) = 49. Отсюда p1 = (5 + 7)/4 = 3, p2 = (5 — 7)/4 = -½. Подставив полученные корни в формулу, можно запись: 2 * (p — 3) * (p + ½).

Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.

Использование онлайн-калькуляторов

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.

Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.

Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.