Равносторонний как правильно пишется

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Свойства равноберенного треугольника:

4. Планиметрия Читать 0 мин.

5. По трем пропорциональным сторонам:

Свойства

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

• Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

r = 3 6 a >>a>

• Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

R = 3 3 a >>a>

• Периметр правильного треугольника:

P = 3 a = 3 3 R = 6 3 r >R=6>r>

• Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:

h = m = l = 3 2 a >>a>

• Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:

S = 3 4 a 2 = 3 3 4 R 2 = 3 3 r 2 = 3 36 P 2 >>a^=>>>R^=3>r^=>>P^>

• Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:

R = 2 r

• Правильными треугольниками можно замостить плоскость.

• В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.

• Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

r = 3 6 a >>a>

• Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

R = 3 3 a >>a>

• Периметр правильного треугольника:

P = 3 a = 3 3 R = 6 3 r >R=6>r>

• Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:

h = m = l = 3 2 a >>a>

• Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:

S = 3 4 a 2 = 3 3 4 R 2 = 3 3 r 2 = 3 36 P 2 >>a^=>>>R^=3>r^=>>P^>

• Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:

R = 2 r

• Правильными треугольниками можно замостить плоскость.

• В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.

• Для равностороннего треугольника T группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов : трёх поворотов на углы 0, 2π ⁄₃ и 4π ⁄₃ вокруг точки O , а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).
• На описанной окружности произвольного треугольника A B C существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника A B C , причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
• Равносторонний треугольник является одновременно и равноугольным треугольником, то есть у него равны все внутренние углы.
• Равносторонний треугольник является частными случаем равнобедренного треугольника, а именно: дважды равнобедренным треугольником.

Основные факты о треугольниках

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от (0^circ) до (180^circ) включительно.

Угол (alpha) называется острым, если (0^circ , прямым – если (alpha=90^circ) , тупым – если (90^circ , и развернутым – если (alpha=180^circ) .

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Теорема

Смежные углы (alpha) и (beta) в сумме дают (180^circ) .

Вертикальные углы равны: (alpha=gamma) .

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ) .

Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом (90^circ) .

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) накрест лежащие углы равны: (angle 1=angle 2) , то такие прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) сумма односторонних углов (angle 1) и (angle 3) равна (180^circ) , то такие прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) соответственные углы равны: (angle 1=angle 4) , то такие прямые параллельны.

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна (180^circ) .

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна (180^circ) .

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник (ABC) и покажем, что (angle A + angle B + angle C = 180^circ) .

Проведём через вершину (B) прямую (a) , параллельную стороне (AC) .

Углы (1) и (4) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (a) и (AC) секущей (AB) , а углы (3) и (5) – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей (BC) . Поэтому [begin &angle 4 = angle 1, angle 5 = angle 3. qquad qquad qquad (1) end]

Очевидно, сумма углов (4, 2) и (5) равна развёрнутому углу с вершиной (B) , то есть (angle 4 + angle 2 + angle 5 = 180^circ) . Отсюда, учитывая равенства ((1)) , получаем: (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) .

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: (angle BCD=angle BAC+angle ABC) .

Доказательство

Угол (4) – внешний угол треугольника, смежный с углом (3) . Так как (angle 4 + angle 3 = 180^circ) , а по теореме о сумме углов треугольника (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) , то (angle 4 = angle 1 + angle 2) , что и требовалось доказать.

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона – основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть (ABC) – равнобедренный треугольник, (AB = BC) , (BD) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники (ABD) и (BCD) : (AB = BC) , (angle ABD = angle CBD) , (BD) – общая. Таким образом, (triangle ABD = triangle BCD) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что (AD = DC) , следовательно, (BD) – медиана.

Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а (AB = BC) , следовательно, [begin &angle ADB = angle CDB, qquad qquad qquad (2) end] но (angle ADB + angle CDB = angle ADC) – развёрнутый, следовательно, (angle ADB + angle CDB = 180^circ) , откуда при учёте ((2)) : (angle ADB = 90^circ = angle CDB) , то есть (BD) – высота.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Проведем биссектрису (BD) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда (triangle ABD=triangle CBD) по первому признаку, следовательно, (angle A=angle C) .

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ) .

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла (30^circ) , равен половине гипотенузы.

Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла (30^circ) .

Подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ, как правило, начинается с повторения базовой теории по планиметрии, в том числе и по теме «Треугольники». Знакомство учащихся с этим разделом геометрии начинается еще в средней школе. Неудивительно, что потребность в повторении основных правил и теории по теме «Треугольник» возникает у многих выпускников. При этом решать планиметрические задачи обязательно должны уметь все учащиеся. Подобные задания включены как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями, в том числе и на вычисление вертикальных углов треугольника, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Замечание

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

• Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

• Дан Δ ABC.
• Из точки В проведем высоту BD.
• Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD.Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
• Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
• В Δ ABDи ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD(из Теоремы 1).
• АВ = ВС — боковые стороны равны.
• Стороны АD = СD, т.к. точка Dотрезок делит пополам.
• Следовательно Δ ABD =ΔBCD.
• Биссектриса, высота и медиана это один отрезок – BD

Вывод:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

• Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

• Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
• Пусть Δ A₁B₁C₂ = Δ ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁. По предположению вершины C₁ и C₂ не совпадают. Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Δ A₁C₁C₂ и Δ B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. A₁D и B₁D имеют разные точки A₁ и B₁, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
• Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Равносторонний треугольник: все правила

Основные понятия.

Треугольник – это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.

Отрезки называются сторонами, а точки – вершинами.

Любая сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.

a – b
Медиана треугольника.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.3).

Длину медианы можно вычислить по формуле:

2b 2 + 2c 2 – a 2
m_a 2 = ——————
4
где m_a – медиана, проведенная к стороне а.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

где m_c – медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.6)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника.

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис.4).

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.5).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.7).

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Две другие стороны называются катетами.

Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны (рис.8).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны (рис.9).

Свойства равностороннего треугольника:

1) все углы равны 60º;

2) медианы, биссектрисы и высоты совпадают;

3) медианы, биссектрисы и высоты соединяют вершины с серединами противолежащих сторон.

Замечательные свойства треугольников

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.6). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3.

2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.6). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2.

3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.4). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5.

4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.7): m_c = с/2.

5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.3)

6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности.

Признаки равенства треугольников.

Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Неравенство треугольника.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Площадь треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

ah
S = ——
2

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла треугольника.

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.

Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.

Правила:

Катет, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α.

Катет, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α.

Катет, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α.

Основные тригонометрические тождества:

sin α
1) tg α = ——
cos α

2) sin 2 α + cos 2 α = 1

1
3) 1 + tg 2 α = ——
cos 2 α

1 1
4) 1 + —— = ——
tg 2 α sin 2 α

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.

где m_c – медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.6)

Основные элементы треугольника ABC

Основные элементы треугольника ABC

Вершины– точки A, B, и C;

Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;

Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.

Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника (2, стр. 534).

Высоты, медианы, биссектрисы и средние линии треугольника

Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы и средние линии.

Высота

Высоты треугольника – это перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны.

Для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:

1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);

2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, провести отрезок из точки к этой прямой, составляющий с ней угол 90 градусов.

Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты (см. рис. 2).

Свойства высот треугольника

1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.

2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

3. Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.

4. Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Медиана

Медианы(от лат. mediana– «средняя») – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон (см. рис. 3).

Для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1) найти середину стороны;

2)соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжеститреугольника.

Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектрисами(от лат. bis – дважды» и seko – рассекаю) называют заключенные внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы (см. рис. 4).

Для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:

1) построить луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части (биссектрису угла);

2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3) выделить отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

3. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

4. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.

5. Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.

6. Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

7. Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

Средняя линия

Средние линии – это отрезки, соединяющие середины двух сторон.

Для построения средней линии необходимо выполнить следующие действия:

1) найти середины двух сторон треугольника;

2) соединить середины сторон отрезком (см. рис.5).

Три средние линии треугольника образуют «вписанный» в него треугольник, называемый серединным. Его площадь в четыре раза меньше площади данного треугольника (см. рис.6).

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Существует две классификации треугольников: по углам (см. рис. 7) и сторонам (см. рис. (2, стр. 534).

Классификация по углам

Определение. Треугольник называется остроугольным, если все три его

угла — острые, то есть меньше 90°.

Определение. Треугольник называется тупоугольным, если один из его

углов — тупой, то есть больше 90°.

Определение. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Классификация по сторонам

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Определение. Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное, вообще говоря, неверно(см. рис. 9).

B — длина третей стороны,

α и β — соответствующие углы,

Свойства

Признаки

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Определение. Правильный треугольник или равносторонний треугольник — правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны равны между собой, и все углы равны 60° (или π / 3) (см. рис. 10).

t — сторона правильного треугольника,

R — радиус описанной окружности,

r — радиус вписанной окружности.

Свойства

1. Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.

2. Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Свойства

1. Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).

2. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.

3. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.

4. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.

5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Геометрическая формулировка. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a 2 + b 2 = c 2 .

Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;

2. по двум катетам;

3. по катету и острому углу;

4. по гипотенузе и острому углу.

ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Первый признак

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (см. рис. 15).

Второй признак

Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами в этих треугольниках, равны (см. рис. 16).

Третий признак

Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника (см. рис. 17).

Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.

Итак, это треугольник с одной стороны.

Загадки треугольника

С другой стороны треугольник это – тайный оккультный знак, встречающийся во многих цивилизациях. Три угла, три грани – магическое число 3. Не удивительно, что треугольник можно найти на тайных письменах, символах, пентаграммах. И совсем не удивительно, что самые загадочные места и строения могут быть связаны тоже с треугольниками. Например, египетские пирамиды (в Египте треугольник символизировал триаду духовной воли, любви-интуиции и высшего разума человека, то есть его личность и душу.) Или звезда Давида (еврейский символ, образованный наложением двух треугольников). А еще Бермудский треугольник.

Платон утверждал, что вообще вся “Поверхность состоит из треугольников”.
На самом деле треугольники используются везде и всюду. Уже со времён палеолита и неолита в древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника. Первобытные люди покрывали сферические сосуды сетью круглых равносторонних треугольников. Символическое изображение треугольника есть в архитектуре и строительстве (пирамиды и др.), во фрагментах одежды и украшениях. Вожди племен североамериканских индейцев носили на груди символ власти:
равносторонний треугольник. В Африке женщины туарегов также украшали себя большими пластинами из равносторонних треугольников.

Один из самых загадочных и интересных треугольников – “Бермудский треугольник”.Еще это место называют аномальной зоной.

На самом деле это место, которое традиционно считается самым ужасным, самым жутким местом планеты. Здесь бесследно исчезало множество кораблей и самолетов – большинство из них после 1945 года. Здесь погибло более тысячи человек. Однако при поисках не удалось обнаружить ни одного трупа или обломка.

Над океаном плыл рассвет.

Светлело небо, голубея.

Фелюга* шла к Бермудам, нет

Таинственней загадки, злее.

Проникнув в эпицентр Бермуд,

мы видим розу из тумана.

В ней тени кораблей плывут,

“Мэри Селест” без капитана.

Ворота в рай иль ад, не знаем,

но мы войдем туда сейчас.

Сиянье ширится, сгораем.

Не поминайте лихом нас.

Бермудский треугольник не имеет четких границ, нельзя найти на карте его точное обозначение. Разные ученые определяют его местоположение на свое усмотрение. Самое распространенное его определение – это область в Атлантическом океане между Бермудами, Пуэрто-Рико и Майами. Общая площадь – 1 млн. квадратных километров. Однако название этой области тоже условное, поэтому название “Бермудский треугольник” не является географическим.

Древние говорили, что Земля поделена на правильные треугольники, а Платон заявлял, что “Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи”, т.е. 12 пентаграмм.

В свою очередь, каждая пентаграмма делится на треугольники большие и треугольники помельче. Таким образом, поверхность Земли предстает в виде в пересечении вершин треугольников, в которых образуются “энергетические узлы”. Эта идея разработана русскими исследователями Н. Гончаровым, В. Морозовым и В. в соответствии с которой цивилизации развивались в “энергетических узлах”. В пересечении вершин треугольников образуются особенно богатые запасы полезных ископаемых, в некоторых “узлах” порой исчезают материальные предметы (Бермудский треугольник).

Стихи о треугольнике

О, треугольник, как ты прекрасен.

Как красив и богат,

Ибо ты имеешь три стороны.

Три угла, три вершины.

Ты один можешь быть:

И равнобедренным, и равносторонним,

…По тебе судят теоремы,

Тебе посвятили три признака равенства.

Ведь, чтобы доказать, что ты равен,

Нужно приложить силы.

Ибо даже медиана, проведенная

К основанию равнобедренного треугольника

Является высотой и биссектрисой.

И не каждый знает, что в треугольнике

Медианы, высоты, биссектрисы

Пересекаются в одной точке.

И что бы мы знали без Великого треугольника!

Ибо даже стол не может стоять на двух ножках.

Ода треугольнику в стихах.

Вы всем известны,

Без вас не обойтись нигде,

Вы так нужны везде.

Вы – Геометрические фигуры,

“Треугольник, треугольник”.

Самый лучший из фигур,

Ты родился из трех точек

И прекрасных трех прямых.

Но не думайте, ребята,

Треугольник не простой…

Он бывает и прямой,

О медиане и …

Медиана – она мышка Яна,

Зацепившись хвостом за вершину,

Спустилась к основанию

Прямо в середину!

Высота стоит столбом – вертикально.

Она измерит даже дом капитально.

Биссектриса – почему так назвали, не пойму…

Потому что, потому

Она ходит по углам

И делит угол пополам.

Биссектриса – это киска,

Которая ловит мышку по углам,

И делит угол пополам!

Бросит вещи по углам и

Стороны делит пополам

В треугольнике она стоит

Прямо – как всегда.

С высоты глядит на нас:

“С медианой ты не путай,

Есть ведь разница у нас”.

Медиана – как лиана,

Только разница одна –

Из вершины в середину

Не промахнется никогда.

Ода признакам треугольников

О, треугольники, вы так прекрасны,

Три признака ваши для нас не сложны.

Вот первый из них:

Если две стороны и угол между ними

Одного треугольника равны

Двум сторонам и углу между ними другого треугольника,

То такие треугольники равны.

А теперь будьте умны…

Приставьте числительные одна и два

К словам “сторона” и “угла”

И пред ваши очи вмиг

Второй признак подбежит.

А у третьего признака нет углов,

А только три стороны равны.

Третий признак легче всех.

Ну, а вы, мной ободрены,

Додумайте его непременно.

Вы отроки – други, запомните ныне

Сии признаки равенства треугольников.

Основные элементы треугольника ABC

Вершины– точки A, B, и C;

Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;

Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.

Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника (2, стр. 534).

“С медианой ты не путай,

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

4 Корнеев В.Ф.:

Нравится. Нравится и всё. Равносторонний т-к является частным случаем равнобадренного.

Вячеслав Reply:
Октябрь 19th, 2014 at 21:13

«По-разному» или «по разному»?

• Как правильно пишется?
• В каких случаях пишут «по-разному»
• Морфемный разбор слова «по-разному»
• Примеры предложений
• Раздельное написание «по разному»
• Примеры предложений
• Синонимы слова «по-разному»
• Неправильное написание слов «по-разному» и «по разному»

Раздельное и слитное написание, а также написание через дефис — правила, которые могут стать настоящим камнем преткновения не только для школьников, но и для взрослых. Например, даже тот, кто в школе имел оценку «пять» по русскому языку, может не знать, как правильно писать: «по-разному» или «по разному». На самом деле, правило очень простое и не имеет исключений.

Раздельное и слитное написание, а также написание через дефис — правила, которые могут стать настоящим камнем преткновения не только для школьников, но и для взрослых. Например, даже тот, кто в школе имел оценку «пять» по русскому языку, может не знать, как правильно писать: «по-разному» или «по разному». На самом деле, правило очень простое и не имеет исключений.

По разному как пишется правильно — слитно или раздельно?

Как правильно писать слово по-разному — слитно или раздельно, или через дефис — этот важный вопрос фактически маркер логических рассуждений в русском языке. Русский язык — универсальный инструмент передачи мыслей, чувств и эмоций. Но чтобы собеседник правильно понял сказанное, необходимо в совершенстве владеть этим инструментом.

Рассмотрим как пишется слово по разному. Может писаться несколькими способами. Если попробовать написать в телефоне по разному или по разному через дефис, гаджет не подчеркнет слово и не предложит заменить. Допускается два разных написания. Но это не значит, что слово означает одно и то же вне зависимости от своего написания.

По-разному или по разному?

Все люди очень разные. Это касается не только внешности, пола, возраста, но и характеров, и почерков. Да и пишут все не одинаково. Даже в рамках какого-то одного стиля – разговорного или делового – все изъясняются по-разному. Но как бы ни различались между собой респонденты, грамматика русского языка одна для всех. Поэтому писать, разумеется, можно по-разному, но лучше всего – грамотно. Вот, кстати, как правильно пишется: по разному или по-разному? Давайте разберёмся.

Все люди очень разные. Это касается не только внешности, пола, возраста, но и характеров, и почерков. Да и пишут все не одинаково. Даже в рамках какого-то одного стиля – разговорного или делового – все изъясняются по-разному. Но как бы ни различались между собой респонденты, грамматика русского языка одна для всех. Поэтому писать, разумеется, можно по-разному, но лучше всего – грамотно. Вот, кстати, как правильно пишется: по разному или по-разному? Давайте разберёмся.

Поиск ответа

Всего найдено: 25

Здравствуйте. Скажите, пожалуйста, как объяснить иностранцу, почему глаголы с одинаковыми ударными окончаниями “читать” и “писать” спрягаются по разному .

Ответ справочной службы русского языка

В этих глаголах –ать – не окончания. Гласный А – это гласный основы инфинитива глагола. При этом следует знать, что существует ограниченное количество вариантов глагольных основ (инфинитива и настоящего времени), на них и следует ориентироваться при объяснении спряжения в русском языке носителям иностранных языков.

Здравствуйте, Дорогая команда сайта «Грамота.ру»! Я нашла ответ на часть моего вопроса, но поймите это моя дипломная работа, поэтому мне очень нужен Ваш ответ. У меня тема диплома Особенности работы журналиста в «горячих точках». В кавычки это понятие внёс Вуз. У меня вопрос следующий: я в своей работе в итоге пишу по разному это понятие, т.к. прочитала , что оно пишется без кавычек. Но как я понимаю, я могу писать на своё усмотрение ? В общем, мне не нужно всё менять и убирать везде кавычки ? Завит же от контекста правильно ? У меня вредный председатель, я должна знать, что ему ответить, если придерётся! Спасибо, жду поскорее Вашего ответа! 21 го уже защита PS писала с телефона, думаю есть ошибки)

Ответ справочной службы русского языка

Сочетание горячая точка пишется без кавычек. Однако и употребление кавычек не будет ошибочным, если кавычки используются последовательно.

Можно ли начинать предложение с так как (Так как различные обучающие модули могут выглядеть и работать совершенно по разному )

Ответ справочной службы русского языка

Не совсем понятно, каким образом писать слово демо(-)сервис С одной стороны, написание “демо” с дефисом позволяет четко выделить слова от тех, которые пишутся слитно, например: демократия, демонстрация и т.д. И в этом случае рассматриваемое слово демо(-)сервис будет восприниматься как сочетание как “демонстративный сервис” или ,к примеру, для “демонстрационная программ” “демо(-)программа” С другой стороны, на сайте грамота.ру уважаемые люди доказывают, что писать необходимо слитно и ссылаются на правила. С третьей стороны, даже на сайте грамота.ру слова “демосервис” нет в словарях, а проверка орфографии слова “демосервис” например в поисковом сервисе Яндекс отвечает на неправильное написание. Как быть? Считаю, что если этого слова нет в словаре, трактовать написание можно по разному . В ответе на вопрос прошу дать самую полную информацию.

Ответ справочной службы русского языка

Нормативной рекомендации нет, однако предпочтительно слитное написание (ср.: демоверсия – демонстрационная версия).

Здравствуйте! Подскажите, как правильно пишется люля-кебаб из рублеНой/рублеННой баранины? Перерыла весь инет и все что можно, но везде пишут по разному . Спасибо!

Ответ справочной службы русского языка

Правильно с одной н: люля-кебаб из рубленой баранины.

Добрый день, уважаемая “Грамота”! Большое спасибо за ответы, очень выручаете в сложных вопросах. Подскажите, как пишется “его величество” (случай, футбол, возраст и пр. – то есть не как титул): в ответе 243301 рекомендуется со строчных, в ответе 258707 – с заглавной. И еще маленький вопрос: в словарях по разному склоняется слово “гоголь-моголь” – где-то обе части, где-то только вторая – как верно?

Ответ справочной службы русского языка

В практике письма наблюдается разнобой, но всё-таки справочные пособия рекомендуют писать Его Величество с прописных только при официальном титуловании. В переносном употреблении корректно строчными: его величество случай, его величество возраст, ее величество вечная мерзлота и т. д. Ответ на вопрос № 258707 исправлен.

Большинство словарей рекомендуют склонять только вторую часть: гоголь-моголя, гоголь-моголю и т. д. Напишем главному редактору «Большого толкового словаря» С. А. Кузнецову.

Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, какого рода и как правильно применительно к бумажным денежным купюрам БАНКНОТ или БАНКНОТА? Дело в том, что встречаются оба варианта, в том числе официальные письма ЦБ или профильные справочники пишут по разному .
С уважением,

Ответ справочной службы русского языка

Оба варианта правильны в единственном числе: банкнот (мужской род) и банкнота (женский род).

Подскажите, слово “БИСЕР” является многозначным или однозначным? (в разных словарях написано по разному )

Ответ справочной службы русского языка

Это слово можно считать многозначным.

В Руководящем документе РД-11-05-2007 “Порядок ведения общего и (или) специального журнала учета выполнения работ при строительстве, реконструкции, капитальном ремонте объектов капитального строительства в общих положениях п. 4 указано – Общие и (или) специальные журналы работ (далее – журналы работ) подлежат передаче застройщиком или заказчиком заблаговременно, но не позднее чем за семь рабочих дней . и т.д.
Фразу “Общие и (или) специальные журналы работ” можно трактовать совершенно по разному –
1. Общие и специальные журналы подлежат передаче застройщиком или заказчиком .
2. Общие или специальные журналы работ .
3. Общие и, если есть желание заказчика или застройщика или специалиста Ростехнадзора либо другого лица, то и специальные журналы работ .

Правильно ли сформулирована вышеуказанная фраза в нормативном документе? Прошу разъяснить данную ситуацию.

Ответ справочной службы русского языка

Этот вопрос следует адресовать юристам, не лингвистам.

На сайте http://www.gnivc.ru/inf_provision/classifiers_reference/kladr/ (а также на сайте почты)
улицы Пеше-Стрелецкая, Конно-Стрелецкая, Средне-Московская, Мало-Московская пишется через ДЕФИС.
А в комментарии новости (http://www.moe-online.ru/news/view/245162.html) от
> (гость)
сегодня 11:46
Улица Пешестрелецкая пишется слитно. Как же задолбала неграмотность СМИ! Такое впечатление, что журналисты – выпускники ПТУ. KatyaS
сегодня 15:15
а что написано в паспортах людей,которые живут на Пешестрелецкой?через дефис? sshsecurity (гость)
сегодня 15:30
По разному бывает Маломосковская , но в Вашем городе может быть принято дефисное написание этого названия. Лучше всего уточнить, как писать эти названия, в городской администрации.

Если же пытаться ответить на вопрос, как должны быть написаны такие названия (без учета сложившейся традиции), то, видимо, следует вспомнить общие правила правописания сложных прилагательных. Слитно пишутся прилагательные, образованные из основ слов, отношение между которыми носит подчинительный характер (железнодорожный от железная дорога, станкостроительный от строить станки и т. д.). Пишутся через дефис прилагательные, образованные из основ слов, обозначающих равноправные понятия (англо-русский от английский и русский, научно-технический от наука и техника и т. д.). По общему правилу прилагательные, образованные от сочетаний пешие стрельцы, конные стрельцы (подчинение), должны писаться слитно: пешестрелецкий, коннострелецкий. Первые части сложных слов мало. и средне. по общему правилу тоже пишутся слитно. Поэтому более логично слитное написание всех перечисленных Вами названий. Но это, повторяем, без учета сложившейся в городе традиции, а ее, конечно же, надо учитывать.

Как правильно: “С Днем Рождения”, “С Днем Рождением”, “С Днем Рожденья”. А то пишут по разному ?

Ответ справочной службы русского языка

Правильно: с днем рождения; в разговорной речи и поэтических текстах допустимо: с днем рожденья.

Здравствуйте, возникла дилемма. Как правильно писать: долженость или должность так как в разных местах написано по разному и понять стало очень сложно.

Ответ справочной службы русского языка

Орфографически верно: должен, должность.

Здравствуйте!У меня возник спор с другом по поводу составленного им сложного предложения.Воспользоваться имеющимися у вас средствами для того,чтобы разобраться самой,в данном случае невозможно,так как мы с другом оказывается по разному понимаем и применяем некоторые правила,требуется оценка третьего независимого лица,являющегося специалистом в этой сфере.
Вот его вариант предложения:
“7 июля на территории лагеря наместник Инкерманского Монастыря святого Климента игумен Вениамин и духовенство Спасо-Преображенского скита отслужили Божественную литургию под открытым небом в честь праздника Рождества Иоанна Предтечи.”
Я же предлагаю скомпоновать части предложения по другому:
“7 июля,в честь праздника Рождества Иоанна Предтечи,на территории лагеря,под открытым небом,наместник Инкерманского монастыря святого Климента игумен Вениамин и представители духовенства Спасо-Преображенского скита отслужили Божественную Литургию.”
Какой вариант составлен более грамотно?
Спасибо!
С уважением,Екатерина.

Ответ справочной службы русского языка

Первый вариант кажется нам более “читабельным”. Но еще лучше было бы разбить это предложение на две самостоятельных фразы.

на какой слог правильно ставить ударение в фамилии Корепанов? знаю что в разных регионах произносят по разному

Ответ справочной службы русского языка

Правил постановки ударения в фамилиях не существует. Место ударения определяет носитель фамилии.

Добрый день!
Как правильно употреблять слово название города Лабытнанги?
Слышал что не склоняется, но в разных статьях употребляется по разному .
Говорить Лабытнангов во всех случаях будет ошибкой или есть исключения?
Например:
1. Уехать из Лабытнангов (Лабытнаног).
2. Девушка из Лабытнангов (Лабытнаног).
3. Проезжал недалеко от Лабытнангов (Лабытнаног).
4. Заместитель главы Лабытнангов (Лабытнаног).
5. Кандидат в сити-менеджеры Лабытнангов (Лабытнаног).
6. жители города – лабытнангцы.
Заранее спасибо.

Ответ справочной службы русского языка

Ответ справочной службы русского языка

“По-разному” или “по разному”, как правильно пишется?

Давали по-разному. Парильщики знали свою публику, кто сколько дает, и по-разному старались мыть и тереть.

Как пишется слово?

Наречие «по-разному» нужно через дефис – по-разному.

Сочетание предлога «по» с прилагательным «разный» в форме дательного падежа единственного числа пишется раздельно – по разному.

Из-за этого при написании слова возникают трудности

1. 1. Марина Казакова 549
2. 2. Герман Советский 277
3. 3. Мария Мылтасова 257
4. 4. Алиса Островская 203
5. 5. Вадим Логинов 199
6. 6. Максим Егоров 119
7. 7. Владимир Семёнов 113
8. 8. Никита Харламов 106
9. 9. Диана Мухаметшина 93
10. 10. Данил Липинский 85

1. 1. Ramzan Ramzan 5,749
2. 2. Iren Guseva 4,925
3. 3. Александра Люханчикова 3,122
4. 4. Мухаммад Амонов 3,069
5. 5. admin 2,479
6. 6. Гузель Миннуллина 2,331
7. 7. Анастасия Гудяева 2,212
8. 8. Алёна Кошкаровская 1,886
9. 9. Елизавета Пякина 1,772
10. 10. Виктория Нойманн 1,738