Рассказ о натуральных числах 5 класс

Натуральные числа и десятичная запись числа

Чтобы сосчитать некоторое количество предметов, используются числа, которые называют натуральными.

С помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое натуральное число. (подобным образом мы используем буквы алфавита, чтобы записать слова)

Такую запись числа называют десятичной ‒ десять единиц каждого разряда состав­ляют одну единицу следующего старшего разряда.  

Натуральный ряд

Если натуральные числа записать в порядке возрастания, то получится ряд натуральных чисел  ‒  натуральный ряд.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

Каждое число в этом ряду меньше последующего на единицу. Наи­меньшее число среди натуральных чисел — это 1, а наибольшего числа нет.

Многозначные числа

Натуральное число называют однозначным, если его запись состоит из одного знака — одной цифры.

Например, числа 3, 7, 9 — однозначные.

Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.

Например, числа 25, 44, 65, 80 — двузначные.

Числа 100, 543, 888  — трёхзначные:

Числа 2000, 6791, 1060 — четырёхзначные и т. д.

Двузначные, трехзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. —  это многозначные числа.

Классы и разряды

Прочитать записи однозначных, двузначных и трехзначных чисел (например: 7, 54, 976) затруднений не вызывает.

Чтобы прочесть многозначное натуральное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.

Эти группы называют классами.

Три первые цифры спра­ва ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.

Место, занимаемое цифрой в записи числа, назы­вают разрядом.

Если считать справа налево, то первое место в за­писи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.

Например, в числе 5034 имеем 4 единицы разряда единиц, 3 единицы разряда десятков, 0 единиц раз­ряда сотен и 5 единиц разряда тысяч.

Можно также сказать, что в классе единиц 34 единицы.

Названия некоторых больших чисел

1 тысяча (1 тыс.) – 1 000 (тысяча)

1 миллион (1 млн) – 1 000 000 (тысяча тысяч)

1 миллиард (1 млрд) – 1 000 000 000  (тысяча миллионов)

1 триллион (1 трлн) – 1 000 000 000 000 (тысяча миллиардов)

Рассмотрим  число 6 000 126 754.

Его читают: 6 миллиардов 126 тысяч семьсот пятьдесят четыре.

В классе миллионов во всех разрядах стоят нули. Поэтому при чтении числа 6 000 126 754 не произносят название этого класса.

Примеры прочтения чисел:

а) Число 200 700 читается так: двести тысяч семьсот;

б) Число 6 000 008 читается так: шесть  миллионов восемь;

в) Число 14 000 002 000 читается так: четырнадцать миллиардов две тысячи.

Значение цифры в записи числа

Значение цифры зависит от её позиции (места) в записи числа.

Например, в записи числа 56 978 цифра 8 означает 8 единиц, так как она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц);

В записи числа 42 389 цифра 8 означает 8 десятков, так как она стоит на предпоследнем месте в записи числа (в разряде десятков);

В записи числа 5 300 847 цифра 8 означает 8 сотен, так как она стоит на третьем месте от конца в записи числа (в разряде сотен).

Число 0 и цифра 0

Число 0 натуральным не является.

Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль» (что означает ‒ «ни одного»).

(Например, счёт 1 : 0 хоккейного матча говорит о том, что вторая команда не забила ни одной шайбы в ворота противника.)

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему «Натуральные числа» автором была поставлена цель, выяснить, как сформировалось у людей первое представление о натуральных числах и как оно изменялось с развитием науки математики, дается обоснование определениям «натуральные числа» и «системы счисления».

Подробнее о работе:

В ученическом проекте по математике «Натуральные числа» автором была изучена теория о появлении натуральных чисел, их роли в науке и обыденной жизни, рассматривает существующие системы счисления и возможные математические действия над натуральными числами, характеризует простые и составные числа.

Учебная исследовательская работа по математике на тему «Натуральные числа» подробно описывает свойства сложения и вычитания, умножения и деления натуральных чисел, описывает занимательные факты о натуральных числах. В исследовательской работе автор приводит решение задач и примеров с натуральными числами на каждое математическое действие и выдвинутые гипотезы.

Оглавление

Введение
1. Натуральные числа.
1.1. Причины возникновения натуральных чисел.
1.2. Системы счисления.
2. Действия над натуральными числами и их свойства.
2.1. Свойства сложения и вычитания.
2.2. Умножение натуральных чисел и его свойства.
2.3. Делимость натуральных чисел и его свойства.
2.4. Простые и составные числа.
3. Занимательные факты о натуральных числах.
Заключение
Список использованной литературы

Введение

Для счета предметов используются числа 1,2,3,4,5 и т.д. Такие числа подходят для подсчета яблок в вазе, грузовиков в гараже, учебников в классе. Кроме того, они используются для измерения величин: длины, площади, массы, времени, скорости. Но числа появляются не только тогда, когда мы считаем предметы или единицы измерения. Подсчитывать приходиться и многое другое: количество рейсов самолетов между городами, уроков математики в учебном году, глав в книге и т.д.

Для таких чисел используют специальное название – натуральные числа.

В рамках школьной программы история математики изучается поверхностно. Мы мало знаем о происхождении тех или иных терминах и математических понятиях. Понятие натуральных чисел не имеет чёткого и безупречного определения, но математики долгое время опираются на него при определении других важных понятий. Кажется, что человеку всегда приходилось складывать, вычитать, умножать и делить, т.е. числа всегда сопровождали человека по жизни. Но как появились первые натуральные числа, почему они возникли, и какую роль играют в жизни человека?

На эти вопросы я попыталась ответить в своей работе.

Я поставила перед собой цели:

1. Выяснить, как сформировалась у людей первое представление о натуральных числах, как оно изменялось с развитием науки математики.
2. Изучить необычные и ранее неизвестные факты о натуральных числах.
3. Изучить теоретический материал по теме работы.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Ознакомиться с литературой о натуральных числах.
2. Обобщить полученные знания в своей работе.

Объект: натуральные числа.

Предмет: математические действия с натуральными числами.

Причины возникновения натуральных чисел

Натуральные числа – это первая числовая система, с которой встречается человек в своей жизни. Простейший вид чисел — натуральные числа — исторически возник из потребностей счета: одна лодка, два человека, три дерева и т.д.

Лишь на достаточно высоком интеллектуальном уровне было осознано, что у конкретных предметных групп «два камня», «две птицы» и «две руки» есть нечто общее: «два». Абстрактные, отвлеченные числа позволяли сравнивать количество предметов в разных группах, что имело важное значение при обменных операциях типа «раковина за орех».

Число — важнейшее понятие математики. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело тот вид, который в настоящий момент признается удовлетворительным для большинства математиков. Однако в соответствующих формулировках используется профессиональный язык такого высокого уровня, что попытка передать их точный смысл «простыми и понятными словами» безнадежна. Приходится довольствоваться лишь общими описаниями.

Числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9, использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называют натуральными.

Системы счисления

Развитие счета шло параллельно с изменением в психологическом восприятии понятия «много». Вначале было «один, два, много» или «один, два, три, много», но постепенно граница отодвигалась, формировался натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4 и т.д.

Пальцы на руках установили первый предел счёта: десять. Принцип группировки по десять позволял охватывать все большие количества предметов, объединяя их в новые единицы счета: десять десятков — сотня, десять сотен — тысяча, дальше десяти тысяч обыденный разум не заглядывал. Так сформировалась десятичная система счисления.

Она позволяла с помощью небольшого количества слов называть все встречающиеся числа: например, триста шестьдесят пять — это три сотни и шесть десятков и пять единиц. Не у всех народов десяток стал основным числом счета: одни осознали в качестве первой границы пять (пальцы одной руки), другие — двадцать (все пальцы на руках и на ногах), в Вавилоне употреблялась система с загадочным основанием шестьдесят, в согласии с ней мы до сих пор делим окружность на триста шестьдесят градусов и измеряем время: в часе — шестьдесят минут, в минуте — шестьдесят секунд. Но в конце концов десятичный принцип стал общепризнанным.

С появлением письменности возникла проблема записи чисел. Древние греки и евреи применяли алфавитную систему нумерации: числа от единицы до девяти, а затем все десятки и сотни обозначались буквами в порядке алфавита, над которыми ставилась черта.

Создатели славянского письма перенесли этот прием на новую почву: знаки кириллицы, соответствовавшие греческим буквам, получили те же числовые значения (но алфавитный порядок при этом нарушился), сверху ставилось титло. Таким образом, приходилось запоминать 27 (проверьте) числовых знаков — цифр.

Числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 – эти числа называются арабскими.

В древности числа записывали палочками: II- один, IIIII — пять, IIIIIIIIII- десять и т.п. Но это было неудобно, и люди искали и находились другие, каждый раз все более современные способы записи чисел. В Западной Европе вплоть до XVIII века в официальных документах применялась римская буквенная нумерация.

Числа записывали при помощи букв латинского алфавита: I-1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000. Число также записывалось в виде последовательности цифр, но из эстетических соображений запрещалось четырехкратное повторение одной и той же цифры. Так что числа 4, 9, 40, 90, 400, 900 обозначались соответственно как IV, IX, XL, XC, CD, CM,- меньшая по значению цифра оказывалась левее большей (но часовщики упорно писали на циферблатах IIII, чтобы не путать с шестеркой VI).

В настоящее время римские цифры обычно применяются при нумерации глав и разделов книги, месяцев года, для обозначения дат, в порядковых номеров, значительных событий, годовщины. Примеры: 31.XII, Сонет CCLXIX.

Любое натуральное число в десятичной системе записывают с помощью цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Например, запись 2457 означает, что 2-цифра тысяч, 4- цифра сотен, 5- цифра десятков, 7-цифра единиц; то есть 2457 = 2*1000+4*100+5*10+7. Вообще, если, а – цифра единиц, b – цифра сотен, с – цифра десятков, d – цифра единиц, то имеем а*1000+b*100+с*10+d.

Сначала математические операции «обыгрываются» на реальных предметах и тем самым формируют у людей представление о натуральных числах, как о числах, употребляющихся для счёта. Строгое определение натуральных чисел производиться аксиоматически.

В основе любой аксиоматики натуральных чисел лежит, по сути, одно присущее им свойство – «следовать за».

1. Единица – натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число.
3. Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом.
4. Совокупность натуральных чисел, содержащая число 1, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа. Множество натуральных чисел обозначается N:N ={1, 2, 3… n:.. }

Множество натуральных чисел имеет наименьший элемент – 1, но неограниченно сверху.

В наше время почти все народы пользуются счётом десятками, сотнями, тысячами, то есть десятичной системой счисления. В ней значение цифры зависит от позиции, которое оно занимает в записи числа. Поэтому такую систему счисления называют позиционной. В тёплых странах Африки и Америки, где люди ходили босыми, для счёта применялись не только пальцы рук, но и пальцы ног.

Получался счёт двадцатками. Позиционная система записи чисел арабскими цифрами получила широкое распространение в Европе со второй половины XV века. Она оказалась значительно удобнее и проще римской нумерации, которая позиционной не является. С помощью позиционной системы легко записываются как малые, так и большие числа.

Значение цифры зависит от её места в записи числа. Например, цифра 6 означает:

• 6 единиц, если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц).
• 6 десятков, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков).
• 6 сотен, если она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен).

Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль». Это число означает, ни одного. Счёт 0:10 волейбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в сетку противника. Нуль не относят к натуральным числам.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами. Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т. д.

Миллион – это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.

Миллиард – это 1000 миллионов. Его записывают 1 млр или 1 000 000 000. Чтобы прочитать число, называют слева по очереди число единиц каждого класса и добавляют название класса. Не произносят название класса единиц, а также класса, все три цифры которого – нули.

Немало различных способов записи чисел было создано людьми. В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком «-» (титло), который писали над буквой. Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв – десятки, а последние 9 букв – сотни. Число 10 тысяч называли словами «тьма» (и теперь мы говорим: народу – тьма тьмущая).

Современная достаточно простая и удобная десятичная система записи чисел была заимствована европейцами у арабов, которые в свою очередь переняли у индусов. Поэтому цифры, которыми мы считаем, пользуемся, европейцы называют «арабскими», а арабы – «индейскими». Эта система была введена в Европе примерно в 1120 году английским учёным – путешественником Аделардом.

К 1600 году она была принята в большинстве стран мира. Русские названия чисел тесно связаны с десятичной системой счисления. Например, пятнадцать означает «пять на десять», пятьдесят – «пять десятков», а пятьсот – «пять сотен».

Действия над натуральными числами и их свойства

Свойства сложения и вычитания. Для натуральных чисел определены операции сложения и умножения, причём сумма и произведение являются также натуральными числами. Натуральные числа можно

складывать

. Числа, которые складывают, называются

слагаемыми.

Число, получающееся при сложении этих чисел, называется их суммой. Сложить числа 2+5 – значит прибавить к числу 2 5раз единицу. Получим 2+5=2+1+1+1+1+1=3+1+3=7, короче 2+5=7.

Если м,n – натуральные числа, то р = m+n – тоже натуральное число, м и n – слагаемые, р – сумма, р = mn – тоже натуральное число, м,n – множители, р – произведение.

Справедливы следующие свойства сложения натуральных чисел:

Переместительное свойство – это когда сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых.

Например: 2+8=10, 8+2=10; а+b=b+а.

Сочетательное свойство – это когда нужно прибавить к числу сумму 2х чисел. Надо сначала прибавить I слагаемое, а потом к полученной сумме – второе слагаемое.

Например: 2+(5+3)=2+8=10

(2+5)+3=7+3=10

(а+b)+с=d+(b+с)=(а+с)+b.

Натуральные числа также можно вычитать. Вычитание – это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Число, из которого вычитают называется уменьшаемым, а число, которое вычитают – вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

При вычитании 10-2=8, число 10 – уменьшаемое, 2 – вычитаемое, 8 – разность. При действиях с натуральными числами уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Разность 2х чисел, показывает, на сколько первое число больше второго, или на сколько второе число меньше первого.

Свойства вычитания

1. Свойство вычитания суммы из числа.

Чтобы вычесть сумму из числа, надо вычесть из числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое.

Например: (6+3)-2=9-2=7

6+(3-2)=6+1=7

(6-2)+3=4+3=2.

2. Свойство вычитания числа из суммы.

Чтобы из суммы вычесть число, надо вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

Вычитаемое число должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равно ему. Это свойство называют свойством вычитания числа из суммы.

3. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.

Например: 6-0=6

6+0=6.

4. Если из числа вычесть это число, получится нуль.

Например: 6-6=0.

Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении, называют значением этого выражения. При решении задач записывают действия, а потом их выполняют. Полученные записи называют числовыми выражениями.

Например: 980+(980+50)=2010, 2010 – значение этого выражения.

Выражение, содержащее буквы, называют буквенным выражением. Числа, которыми заменяют букву, называют значениями этой буквы.

Буквенная запись свойств сложения и вычитания

Свойства сложения и вычитания можно записать с помощью букв.

1. Переместительное свойство сложения записывается так: а+b=b+а. В этом равенстве буквы а и в могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

2. Сочетательное свойство сложения записывается так: а+(b+с)=а+b+с=а+b+с. Здесь, а, в, с – любые натуральные числа или нуль.

3. Свойство нуля при сложении записывается так: а+0=0+а=а. Здесь буква а может иметь любое значение.

4. Свойство вычитания суммы из числа записывается так: а-(b+с)=а-b-с. Здесь b+с<а или b+с=а.

5. Свойство вычитания числа из суммы записывается так: (а+b)-с=а+(b-с), если с<b, или с=b. (а+b)-с=(а-с)+b, если с<а или с=а.

6. Свойство нуля при вычитании записывается так: а-0=а, а-а=0. Здесь а может принимать любые натуральные значения и значение 0.

Умножение натуральных чисел и его свойства

Умножить число m на натуральное число n, значит найти сумму nслагаемых, каждое из которых равно m. Выражение m*n и значение этого выражения называют произведением чисел mи n. Числа m и n называют множителями. Произведения 7*4 и 4*7 равны одному и тому же числу.

1. Произведение 2х чисел не изменяется при перестановке множителей. Это свойство умножения называют переместительным. Например:

(5*3)*2=15*2 и 5*(3*2)=5*6. Одно и тоже значение 30. Значит 5*(3*2)=(5*3)*2.

2. Чтобы умножить число на произведение 2х чисел, надо сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель. Это свойство умножения называется сочетательным. d*(b*с)=(а*b)*с, 2*(3*с)=(2*3)*с. Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1*n=n. Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому равенство верно 0*n=0. Перед буквенным множителем обычно знак умножения не пишется, вместо 2*х пишут 2х.

Опускают знак умножения и перед скобками 2*(а+b) пишется 2(а+b). Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняется по порядку слева направо.

Делимость натуральных чисел и его свойства

Деление – это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей, находят другой множитель. 32:2=16. Число, которое делят называют делимым. Число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным. Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

Ни одно число нельзя делить на нуль.

• При деление любого числа на 1 получается это же число.
• При деление числа на это же число получается единица.
• При делении нуля на число получается нуль.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Например: х:8=13

х=13*8=104, х – произведение множителей 8 и 13.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель, 42:х=6 42 – произведение множителей 6 и х, то есть 6х=42.

Деление одного натурального числа на другое нацело не всегда возможно, 22:4=5(2). Число 22 здесь делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное, и 2 остаток. Остаток всегда меньше делителя 2<4. Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка. Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток. Например: 22=(5*4)+2.

При делении m:n=k говорят, что m – делимое, n– делитель, k– частное число m называют также кратным числа n, а число n– делителем числа m. Если m – кратное числа n, то существует натуральное число k такое, что m=kn.

1. Чтобы найти наибольший делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем.

2. Пусть даны числа 72 и 96. Выпишем все делители числа 72: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72. Выпишем все делители числа 96: 1,2,3,4,6,8,12,24. Среди выписанных чисел есть одинаковые: 1,2,3,4,6,8,12,24. Все эти числа называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшим среди них – наибольшим общим делителем.

Например: Найти Д (3780, 7056)

Решение

3780=22*33*5*7

7056=24*32*72

Тогда Д (3780, 7056)=22*32*7, взяты простые множители, которые входят и в разложение числа 3780, и в разложение числа 7056.

Итак, Д(3780 и 7056)=252.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем.

Например. Пусть даны числа 12 и 18.

Кратные 12: 12,24,36,48,60,72.

Кратные 18: 18, 36,54,72.

Среди выписанных чисел есть одинаковые: 36,72. Все эти числа называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них число – 36 – называют наименьшим общим кратным чисел 12, 18.

Например: k(3780, 7056)

Решением имеем 3780=22*33*5*7

7056=24*32*72

Тогда k(3780, 7056)=24*32*72, то есть взяты все простые множители, которые входят в разложения хотя бы одного из чисел 3780 и 7056. Итак, k(3780,7056)=105840. Наименьшее общее кратное 2х взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

3. Например, найти Д (148,60,72). Разложим на простые множители каждого из данных чисел: 48=24 *3, 60=22*3*5, 72=23*32. Значит Д(48,60,72)=22*3. Получим: Д(48,60,72)=12.

Простые и составные числа

Простым называется натуральное число, не имеющее других делителей, кроме 1 и себя самого. Остальные натуральные числа, за исключением 1, называются составными. Натуральное число 1 не является ни простым, ни составным числом. Представление натурального числа n в виде произведения натуральных чисел n=b*с называется разложением на множители.

Для простых чисел – это разложение состоит только из самого числа. Если натуральное число составное, то можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей. 19=1*19 При разложении чисел на простые множители используются признаки делимости и применяется запись столбиком, при котором делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывается под делимым. Так, для числа 360 эта запись будет выглядеть следующим образом:

Это и есть основная теорема арифметики.

Из чисел с помощью знаков, арифметических действий и скобок составляют числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получится число, которое называют значением выражения.

В некоторых случаях, не производя деления натурального числа m на натуральное число n можно ответить на вопрос: выполнимо деление m на n без остатка или нет? Ответ на этот вопрос можно получить с помощью различных признаков делимости:

Теорема 1. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число (теорема о делимости суммы). Не следует, однако, думать, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое – то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37+19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4. Заметим, однако, что если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Теорема 2. Если в произведении один из множителей хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число (теорема о делимости произведения). Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение 105*48*93*54 делится на 5, так как 105 делится на 5.

Теорема 3. Натуральное число делится на 2 тогда, и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 или равна нулю (признак делимости на 2). Числа, делящие на 2, называются честными и составляют множество честных натуральных чисел.

Теорема 4. Натуральное число делится на 5 тогда, и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5 (признак делимости на 5).

Теорема 5.Натуральное число делится на 19 тогда, и только тогда, когда его последняя цифра 0 (признак делимости на 10).

Теорема 6. Натуральное число, содержащее не менее 3х цифр, делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа (признак делимости на 4). Например, число 15436 делится на 4, так как число 36 делится на 4. Число 372506 не делится на 4, так как 06, то есть 6 не делится на 4.

Теорема 7. Натуральное число делится на 3 тогда, и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например, число 2742 делится на 3, так как делится на 3 сумм цифр этого числа 2+7+4+2=15. Число 17941 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 22, а 22 не делится на 3.

Теорема 8. Натуральное число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9 (признак делимости на 9).

Занимательные факты о натуральных числах

Кроме ознакомления с теоретическим материалом моей задачей было подобрать занимательные факты из истории математики по решению древними учёными тех или иных задач с натуральными числами.

— Итак , я выяснила, что алфавитные системы нумерации позволяли легко обращаться с числами первой тысячи, а при помощи дополнительных знаков — в пределах десяти тысяч ( например, это было последнее число, имевшее у греков свое имя — мириада).

Классическая древность и не сталкивалась с необходимостью заглядывать дальше этой границы в каких-либо реальных или теоретических ситуациях. Неопределенные библейские выражения типа «тысячи тысяч», «тьма тем» (Дан. 7,10), «легион» (Лук. 8,30) или обыденное «как песчинок» отодвигали числовой горизонт в некоторую загадочную даль, невыразимую в конкретных количествах.

Но вскоре я обнаружила интересный факт: в заметке «Псаммит» (т.е. исчисление песка) Архимед показал, как можно систематически строить и называть сколь угодно большие числа. В частности, размещая в маковом зерне 10 000 (мириада) песчинок, он находит, что во Вселенной (шар диаметром в мириаду диаметров Земли) поместилось бы (в наших обозначениях) не более чем 1063 песчинок.

Любопытно, что современные подсчеты количества атомов в видимой Вселенной приводят к числу 1067 (всего в мириаду раз больше). Великий Архимед убедил, что он в состоянии указать некоторые числа, превосходящие число песчинок в объеме всей Вселенной. Но воображение его остановилось на жутком образе мира, утонувшего в пыли. Точно так же и безвестный служитель «цыфирной науки» ограничил полет своей терминологической фантазии колодой, устояв перед соблазном рассмотреть, скажем, «легион колод».

Математики не хотели изобретать большие числа свыше количества их, необходимого для тех или иных конкретных нужд. Натуральный ряд мыслился лишь потенциально бесконечным, т.е. неограниченно продолжаемым, а не существующим актуально, в качестве завершенного объекта. Таким образом, создавались все новые натуральные числа, а не открываем их, как острова в безбрежном океане.

На противоположной точке зрения стоял святой Августин (354-430), обличавший своих оппонентов в том, что они считают «будто бесконечность превышает знание Господне». С конца прошлого века математики постепенно склонялись к признанию бесконечных множеств как актуально существующих — независимо от того, описан ли как-нибудь способ их образования.

В современной математической практике эта точка зрения возобладала, но не все ее разделяют, и теоретические дискуссии об актуальной и потенциальной бесконечности продолжаются (а как вы воспринимаете натуральный ряд?)

— В 1955 году английский математик Скьюз показал, что существует натуральное число x, обладающее некоторым важным свойством (детали здесь несущественны), и что оно не превосходит величины 101010964. Число 101010964 в настоящий момент является наибольшим натуральным числом, использованным для какой-либо практической цели.

Его полная запись представила бы собой единицу с количеством нулей, заполняющим многие тома. И архимедово число песчинок, и число атомов во Вселенной, и даже «великое славянское число» колода не сопоставимы с этим монстром, обозначающим сегодняшнюю границу потенциально бесконечного натурального ряда.

— Главная книга христианского мира Библия в полной мере отражает ту роль, которую играли разнообразные вычисления в жизни наших далеких предков. В пятой главе книги «Бытие» указываются потомки Адама от Сифа до Ноя. Стандартная конструкция этой главы имеет следующий вид: «25 Мафусаил жил сто восемьдесят семь лет, и родил Ламеха. 26 По рождении Ламеха, Мафусаил жил семьсот восемьдесят два года, и родил сынов и дочерей. 27 Всех же дней Мафусаила было девятьсот шестьдесят девять лет; и он умер.» Согласимся, что арифметические примеры типа 187+782=969 никак нельзя считать тривиальными для времени создания Библии.

В главе 11 «Бытия» после рассказа о крушении Вавилонской башни приводится список потомков Сима, старшего сына Ноя, однако здесь общая схема дается в усеченном виде: «24 Нахор жил двадцать девять лет, и родил Фарру. 25 По рождении Фарры, Нахор жил сто девятнадцать лет, и родил сынов и дочерей. Финальный возраст Нахора не указывается, интересующемуся придется искать сумму 29+119.

— В книге «Числа» (название говорит само за себя) приводятся статистические сведения о числе всех сынов Израилевых, годных для войны, во всех коленах, о распределении воинов каждого колена по станам. Здесь уже приходится иметь дело с величинами вроде 46 500, 59 300, 64 400, а общее количество всех военнообязанных достигает 603 550 при первом обследовании (глава 1) и 601 730 при втором (глава 26). В главе 31 (стихи 26-47) рассматривается сложный пример деления военной добычи. Он не вполне завершен и мог бы послужить предметом интересных обсуждений.

Разнообразные подсчеты и измерения проводятся в книгах Иисуса Навина (глава 21), 1-й Паралипоменон (главы 12, 15), Ездры (главы 1, 2, 8), Неемии (глава 7), Иеремии (глава 52), Иезекииля (глава 40). Наибольшее конкретное число указывается во второй книге Царств (глава 24): 800 000. И, конечно, нельзя не упомянуть об Откровении святого Иоанна Богослова (Апокалипсис), где в заключительном стихе главы 13 указывается «число зверя»: 666 (или римскими цифрами: DCLXVI — шесть разных цифр в правильном порядке! Кроме того, 666 — это сумма первых 36 натуральных чисел).

В различные исторические периоды пытливые умы, применяя реальные или изобретенные к случаю алфавитные нумерации, пытались разоблачить тех или иных деятелей путем «расшифровки» их имен и титулов так, чтобы получилось роковое число. Вот и Пьер Безухов («Война и мир», т.3, часть 1, глава XIX), приписав числовые значения буквам французского алфавита, нашел, что L’empereur Napoleon дает 666 «и что поэтому Наполеон и есть тот зверь, о котором предсказано в Апокалипсисе».

Несмотря на некоторые погрешности (пропуск буквы j в алфавите, арифметическая ошибка, исправляя которую, приходится писать Le empereur), апокалиптические вычисления Пьера, троекратно приводящие к числу 666, изумляют.

Заключение

Вот и закончилось моё исследование на тему «Натуральные числа». Готовя своё исследование, я узнала много нового и интересного о числах, о высказываниях математиков, учёных, живущих в разные века и время.

Эта тема очень обширная и писать можно о числах бесконечно. Чем глубже проникаем в изучение математики, тем больше находим интересных и полезных для себя сведений об этой науке и теме «Натуральные числа».

Математика, скорее всего, никогда не достигла бы такой великой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения проблем, которые сегодня воспринимаются нами как истина. Как часто новые методы, новая техника или алгоритм, возникшие при решении, казалось бы, частных задач, приводили науку на новый, более высокий уровень развития!

Без знаний по математики, без знания о натуральных числах, о счёте чисел, мы не смогли бы добиться больших успехов в технике, изобретении, научных открытиях и создании сложных вычислений.

Я буду постоянно следить за литературой о математике, о новых событиях в науке, а также изучать историю математики, работы выдающихся математиков.

Не слишком ли много внимания я уделила начальным шагам в математику? Ответом на это мог бы послужить известный афоризм немецкого математика Леопольда Кронекера (1823-1891): «Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человеческих»…

Список литературы

1. Большая школьная энциклопедия г. Москва 2004г. «Русское энциклопедическое творчество».
2. Справочник школьника г. Москва 2004г. Авторы: В.А.Гусев и А.Г.Мордкович.
3. Математика – учебник для общеобразовательных учреждений г. Москва 2003г. Авторы: А. Мордкович. Из – во Мнемозина
4. Математика. Г. Москва 1992 г. Авторы: И.