1.Введение
Гуманитарные науки…
только тогда будут
удовлетворять человеческую мысль, когда
в движении
своём они встретятся с точными науками и
пойдут с ними рядом…
А. П. Чехов
Обзор литературы
показал, что знания по математике нужны не только математикам, но и писателям и
поэтам.
В
художественных произведениях можно заметить «руку математика».
На страницах книг содержится много загадок, а иногда автор
дает и отгадку.
Авторы, используя в
своих произведениях математические данные, не просто дают готовые знания и
выдают математические секреты, а предлагают читателю подумать и дают «пищу» для
размышления. А разве книга не должна давать читателю пищу для ума?
Любая книга откроет
свои тайны тому человеку, кто умеет смотреть и видеть, тому, кто умеет
удивляться и воспринимать новое, тому, кто умеет сам добывать знания и отвечать
на интересующие его вопросы.
Сочетать несочетаемое —
привычная работа нашего воображения, когда мы ищем объяснение непонятному.
Человек воспринимает,
познаёт и воссоздаёт мир двумя противоположными способами — рассудочным и
образным, рациональным и эмоциональным, «мыслью и сердцем»[3]. Это
приводит к условному делению большинства людей на «физиков» и «лириков».
Часто можно услышать такую фразу: «Ой,
да что эта математика! Сухая наука. Выучил формулу — и решай задачи! Не то, что
литература. Вот где красота и гармония». Да, так говорят многие. Но они
забывают о том, что именно математика подарила нам такие слова как гармония,
симметрия, пропорция.
Школьник, которому приходится видеть
математику только в учебнике, неожиданно встречаясь с математическими
вкраплениями в произведениях великих русских художников слова — Пушкина,
Лермонтова, Чехова, воспримет их литературные творения с особым интересом. И,
скорее всего, покоренный этой красотой, увидит математику так, как видим её мы
– авторы этой работы.
Математические задачи ставят перед читателями авторы
некоторых романов, повестей, рассказов, как правило, между — делом зачастую
сами не обращая на это внимания. А сами авторы часто рассматривают
математическую задачу как деталь, фон, эпизод своего повествования.
Хорошее воображение –
это качество, необходимое в равной мере и математику, и поэту. Великий
французский просветитель Вольтер как-то сказал: «В голове у Архимеда было
гораздо больше воображения, чем в голове у Гомера»[13]. Мы решили
выяснить, как писатели применяют математику в своих произведениях и насколько
расчеты, производимые ими, достоверны.
Цель исследования
— поиск математических задач в художественной литературе. По возможности их
решение и объяснение.
Задачи:
1.
Выбрать математические задачи из известных литературных
произведений.
2.
Провести исследования задач, предложенные авторами произведений.
3.
Сделать выводы о правильности решения задач.
4.
Вызвать интерес к изучению предмета «математика» у учащихся,
имеющих гуманитарный склад ума.
Объекты исследования:
роман Жуль Верна «Таинственный остров», книга Джонатана Свифта «Гулливер
в стране лилипутов», рассказ Л.Н.Толстого «Сказ о догадливой вороне»,
произведение А.С. Пушкина «Скупой рыцарь».
Предмет исследования:
задачи из данных литературных произведений.
Гипотеза
исследования: Предположим,
что авторы литературных произведений, используя математические данные,
проводили расчеты правильно.
Методы исследования:
1. Теоретический;
2. Метод
сопоставления;
3. Экспериментальный;
4. Аналитический.
Актуальность
выбранной темы — увидеть за словом число, за сюжетом — формулу и
доказать, что художественная литература существует не только
для литераторов, как и математика не только для
математиков.
Жизнь человека и
общества постоянно требует сложных решений, выходящих за рамки любой профессии,
любого специализированного образа мысли.
Наша исследовательская
работа лишний раз подтверждает знаменитую истину, что математика не признаёт
упрощенного подхода, основанного на фантазии и неправдоподобности, и является
«царицей всех наук»[2].
В своём исследовании мы
хотим подтвердить наше предположение о том, что многие поэты и писатели
всё-таки являются математиками в душе и многим математикам свойственны
поэтические таланты.
2.1. Герои Жуль Верна
Известный роман Жюля
Верна «Таинственный остров» содержит не только интересный, захватывающий сюжет,
но и достаточно много математических рассуждений.
В этом романе картинно описан один из способов измерения
высоких предметов.
– Сегодня нам надо
измерить высоту площадки Дальнего Вида, – сказал инженер.– Вам понадобится для
этого инструмент? – спросил Герберт.– Нет, не понадобится. Мы будем действовать
несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу. Взяв прямой
шест, футов 12 длиной, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим
ростом, который был ему хорошо известен. Герберт же нёс за ним отвес: просто
камень, привязанный к концу верёвки.
Не доходя футов 500 до
гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в
песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он
отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной
прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно
пометил колышком.– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта,
поднимаясь с земли. Да. – Помнишь свойства подобных треугольников?– Их сходные
стороны пропорциональны.– …Если мы измерим два расстояния: расстояние от
колышка до основания шеста и расстояние от колышка до основания стены, то, зная
высоту шеста, сможем вычислить четвёртый, неизвестный член пропорции, т. е.
высоту стены.
Оба горизонтальных
расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам. По
окончании измерений инженер составил следующую запись:
15 : 500 = 10 : х;
15 х = 5000;
Х=5000 : 15 = 333,3.
Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.
Результаты вычислений действительно
правильные.
2.2. Математика Гулливера
Автор «Гулливера в
стране лилипутов» Джонатан Свифт с большой осмотрительностью избежал опасности
запутаться в математических отношениях. В стране лилипутов футу соответствовал
дюйм, а в стране великанов, наоборот, дюйму – фут. Другими словами, у лилипутов
все люди, все вещи, все произведения природы в 12 раз меньше нормальных, у
великанов – во столько же раз больше. Эти, на первый взгляд, простые отношения
сильно усложнялись, когда приходилось решать следующие вопросы:
В стране лилипутов футу соответствовал дюйм.
1 фут = 12 дюймов
1 фут = 30,48 см
1 дюйм = 2,3 см
По мнению Гулливера,
все расчеты необходимо проводить в отношении 1:12.
Из
этой книги мы выбрали несколько задач.
«Математики
его величества определили мой рост и найдя, что я в 12 раз выше лилипута,
вычислили, что объём моего тела равен объёму 1728 тел лилипутов». Гулливер
верит, что задача решена правильно. Проверим это.
Он правильно рассчитал,
что раз лилипут ростом меньше Гулливера в 12 раз, то объём его тела меньше в 12
* 12 * 12 = 1728 раз. Следовательно, для насыщения тела Гулливера нужно в 1728
раз больше пищи, чем для лилипута. Правильно рассчитал Свифт и количество
материала на костюм Гулливеру. Поверхность его тела больше, чем у лилипута, в
12 * 12 = 144
раза; во столько же раз нужно ему больше
материала. Надобность производить подобные расчёты возникала у Свифта чуть не
на каждой странице.
«Средний рост
лилипутов немного выше 6 дюймов. Этому росту соответствует величина всех
животных и растений: так, например, лошади и быки там не выше 4 или 5 дюймов, а
овцы полутора дюймов; гуси равняются нашему воробью. Мелкие же животные, птицы
и насекомые были для нашего глаза почти не видимы» .
«Самые
огромные деревья в Лилипутии не превышают 7 футов: я имею в виду деревья в
большом королевском парке, верхушки которых я едва мог достать рукой. Вся
остальная растительность имеет соответствующие размеры; но я представляю читателю
произвести расчеты самому».
Мы
произвели необходимые вычисления и получили:
6*2,3=13,8 см – это приблизительный рост лилипута
5*2,3=11,5 см – рост лошади
4*2,3=9,2 см – рост быка
1,5*2,3=3,45 см – рост овцы
7*30,48=213,36 см – высота самых высоких деревьев.
Округлим результаты до
целых величин и вычислим возможные размеры в реальном мире.
12*12=144 см=1 м 44 см – рост лошади
12*9=108 см = 1 м 8 см – рост быка
12*3 = 236 см – рост овцы.
12*213 = 2566 см = 25 м 66 см – высота самого высокого
дерева.
Мы составили сводную таблицу размеров
некоторых животных и деревьев.
| Название объекта | Размер в стране | Расчетный размер, см | Размер реальном см | в мире, | |
| Лошадь | 11,5 | 144 | 128-198 | ||
| Бык | 9,2 | 108 | 104-132 | ||
| Гусь | 5 | 60 | 20-30 | ||
| Овца | 3,45 | 36 | 30-70 | ||
| Дерево, высокое | самое | 213,36 | 2566 | 12800 | |
Выбранное
отношение соответствует действительности, поэтому и эти
расчеты автор Гулливера выполнил
правильно. Единственное несоответствие размеров и существующей
действительности, которое мы заметили, это то, что гусь у лилипутов получился
выше овцы.
2.3. Задача о догадливой вороне
Недавно мы прочитали забавный
рассказ Л.Н.Толстого о догадливой вороне, основанный на старинной легенде.
Этот старинный легенда повествует о вороне, страдавшей от жажды и нашедшей
кувшин с водой. Воды в кувшине было мало, клювом ее не достать, но
ворона будто бы сообразила, как пособить горю: она стала кидать в кувшин
камешки. В результате этой уловки уровень воды поднялся до краев кувшина, и
ворона могла напиться.[13]
I. Теоретический способ решения задачи
Не обсуждая того, могла ли ворона
проявить подобную сообразительность, мы заинтересовались этим случаем с
геометрической стороны. Легенда дает повод рассмотреть следующую задачу:
Сколько воды должно было быть
в кувшине первоначально, чтобы ворона могла напиться?
Мы решили рассмотреть три случая:
Удалось ли бы вороне напиться,
если вода в кувшине налита была меньше половины, до половины, больше половины?
Решение
Разбор задачи убеждает, что способ,
примененный вороной, приводит к цели не при всяком первоначальном уровне воды в
кувшине.
Ради упрощения примем, что кувшин имеет
форму прямоугольной призмы, а камешки представляют собой шарики одинаковой
величины. Легко сообразить, что вода поднимается над уровнем камешков лишь в
том случае, если первоначальный запас воды имеет больший объем, чем все промежутки
между камешками: тогда вода заполнит промежутки и выступит поверх камешков.
Можно вычислить, какой объем занимают эти промежутки. Проще всего выполнить
расчет при таком расположении каменных шариков, когда центр каждого лежит на
одной отвесной прямой с центрами верхнего и нижнего шариков. Пусть диаметр
шарика d и, следовательно, объем его
V
,
а объем описанного около него
кубика V2= 
.
Разность их объемов:
V
есть
объем незаполненной части кубика, а отношение
0,48 (
)
означает, что незаполненная часть каждого
кубика составляет 0,48 его объема. Такую же долю составляет и сумма всех
объемов пустот от объема кувшина. Таким образом, объемы пустот и шариков
равны ( 0,48=0,48) и вода не выступает на поверхности.
Мало что изменяется, если кувшин имеет
не форму параллелепипеда, а камешки не шарообразны.
Во всех случаях можно утверждать, что
если первоначально вода в кувшине налита была ниже половины, вороне не удалось
бы набрасыванием камешков поднять воду до краев.
II.
Экспериментальная часть
Мы провели эксперимент: взяли мерный цилиндр и
камешки гравия.
Наливала в цилиндр воду, рассматривая все три
случая.
Результаты измерений были занесены в таблицу.
| Первоначальный уровень воды | Объем воды наполнения камнями, см3 | до кувшина | Уровень воды после наполнения кувшина |
| ниже половины | 40 | Ниже камней | |
| половина | 50 | Выше на 2см | |
| выше половины | 80 | Выше на 5см | |
III.
Выводы по эксперименту: если вода стояла ниже
половины высоты кувшина или вода занимала половину высоты кувшина, — вороне
не удалось бы напиться; если вода стояла выше половины высоты кувшина, —
ворона бы напилась.
Результаты эксперимента подтверждают
теоретическое решение задачи. Будь ворона посильнее, — настолько, чтобы
утрясти камешки в кувшине и добиться их плотного сложения, — ей удалось бы
поднять воду более чем в два раза выше первоначального уровня. Но ей это не
под силу сделать.
Мы проверили, если брать очень мелкие
камни, то вода поднимается выше. В реальных условиях рыхлое
расположение камешков допустимо. К тому же кувшины обычно раздуты в средней
части; это должно так же уменьшить высоту подъема воды, и подкрепляет
правильность вывода(от формы сосуда и высоты воды в кувшине зависит решение
проблемы: смогла ли ворона напиться воды?).
Однако в литературных
произведениях математические рассуждения не всегда бывают верными.
2.4. Задача о «Гордом холме»
Существует старинная легенда восточных
народов, рассказанная А.С.Пушкиным в Скупом рыцаре».
Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу,
И гордый холм возвысился – и царь
Мог с вышины с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.
[12]
Таким образом, можно сформулировать
математическую модель данной задачи:
Какую высоту будет иметь куча
песка, насыпанная горстями людей из древнего войска?
На какое расстояние увеличится
дальность горизонта, если находится на вершине этого кургана?
По экспериментальным данным среднее значение одной
горсти песка у одного взрослого мужчины может быть равным 156 см3.
| № | Объем горсти песка, см3 | Среднее значение, см3 |
| 1 | 190 | 156 |
| 2 | 148 | |
| 3 | 152 | |
| 4 | 134 |
Старинные армии были не так многочисленны, как
современные. Рассмотрим большое войско, состоящее из 100 000 человек.
Поэтому по моим расчетам объем такого холма мог быть: 
см3 =
15,6м3.
Высота холма при заданных условиях будет
составлять высоту конуса. Угол откоса ≤ 450, иначе земля начнет
осыпаться. Возьмем угол откоса максимальный в 450.
Если даже каждый воин принес не горсть земли, а
пригоршню, то и тогда по результатам эксперимента её средний объем равен 284
см3.
| № | Объем пригоршни песка, см3 | Среднее значение, см3 |
| 1 | 290 | 284 |
| 2 | 210 | |
| 3 | 325 | |
| 4 | 310 |
А объем холма: 
28400000см3=28,4м3.
Высота такого холма немного отличается от предыдущего и
будет:
3,005м.
Надо обладать очень богатым воображением,
чтобы земляную кучу высотой в 3 метра назвать «гордым холмом». Сделав расчет
для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.
У великого полководца Атиллы было
самое многочисленное войско, какое знал древний мир. Историки оценивают это
войско в 700 000человек. Если бы эти воины участвовали в насыпании холма, то
куча была бы выше. Объем такой кучи был бы в 7 раз больше рассчитанной, а
высота холма превышала вычисленную высоту в 
раза. Она равнялась бы
3
1,9 =
5,7 м.
Наверное, курган таких размеров не
удовлетворил бы честолюбие Атиллы. А.С. Пушкин делает ошибку, говоря о
далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма».
Полчища Атиллы не смогли воздвигнуть холм
выше 5,7м. теперь можно завершить расчеты, определив, насколько холм этот
расширял горизонт наблюдателя, поместившегося на его вершине.
Глаз такого зрителя возвышался бы над
почвой на 5,7+1,5=7,2, т.е. на 7 метров, и следовательно, дальность горизонта
была ровно бы 8,8 км. Это всего на 4 км больше того, что можно
видеть, стоя на ровной земле, а наблюдать море можно, если находишься на его
берегу.
Это легенда, в которой при кажущемся
правдоподобии нет и зерна правды. Доказано геометрически, что если бы
какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы
обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча
земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый
холм».
Математика неисчерпаема
и многогранна, одного покоряет ее логическая стройность, другого – абстрактный
метод, третий ценит в ней величайшую полезность. Единство особенности
математики – это так же ее особенность, которая составляет ее красоту.
В нашей
исследовательской работе раскрыты факты счастливого соединения художественного
и математического таланта, наблюдаемого у некоторых людей. Читая художественные
произведения, мы встречали в них элементы математики.
Через поиск и решение
математических задач в литературных произведениях и сравнение полученных
решений с авторскими, мы, проверили, действительно ли расчеты сделаны верно.
Для этого:
—
была изучена научная и научно-популярная литература, исследующая
связь литературы и математики, представляющая решение задач в литературных
произведениях;
—
были подобраны для исследования отрывки из художественных
произведений, в которых рассматривались или были представлены различные математические
задачи или ситуации, связанные с этой наукой;
—
выполнено решение подобранных задач;
—
проведено сопоставление полученных в данном исследовании решений
задач с решениями, представленными авторами литературных произведений;
Подводя итог, можно с
уверенностью сказать, что математика и
литература – это вечные науки. С древнейших времен известно, что математика
учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать. Кто занимается
математикой, тот развивает свой ум и внимание, воспитывает волю и
настойчивость. А эти качества нужны всем без исключения: и врачу, и артисту, и
художнику, и писателю. Не менее важна и литература, позволяющая человеку
выражать свои мысли, чувства, эмоции. Только в тесной взаимосвязи этих наук человек
будет чувствовать себя спокойно, уверенно, комфортно в этом огромном мире
загадок.
Наша гипотеза о том,
что авторы литературных произведений, используя математические данные, проводили
расчеты правильно, частично подтвердилась. Например, Джонатан Свифт проводил
расчеты в книге «Путешествие Гулливера в Лилипутию» правильно, найдено одно не
соответствие: гусь получился выше овцы.
Разбор задачи о
догадливой вороне убеждает, что способ, примененный вороной, приводит к цели не
при всяком первоначальном уровне воды в кувшине.
А.С. Пушкин делает ошибку, говоря о
далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма».
1. Гаусс
Карл Фридрих. Сборник статей, М., 1956.
2. Депман
И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики М., «Просвещение» 1989
С. 191
3. Ж.Верн.
Таинственный остров
4. Козлов
С.Софья Васильевна Ковалевская: приложение «Математика» к газете «Первое сентября»
[Текст] / — 2009. -№18.-С. 2-3.
5. Перельман,
Я. И. Занимательная арифметика. [Текст] / Я. И. Перельман. — Русанова, 1994.
6. Перельман,
Я. И. Задачи и головоломки-м.:АСТ, 2008.-157с..
7. Пушкин
А.С. Сочинения в 3-х томах, Санкт-Петебург:Золотой век, Диамант,1997
8. Пушкин
А. С. Поли. собр. соч.: В 17 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 19391959.
9. Пушкин
А.С. Руслан и Людмила. М., 1993,с.12
10. Пушкин А. С. Сказка о царе
Салтане
11. Пушкин А.С. Скупой рыцарь.
Собр. Соч. Т. №3, М., 1969. – С. 353.
12. Л.Н.Толстой «Сказ о
догадливой вороне».
13. И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева
. Наглядная геометрия. 5-6 классы.М.: Дрофа, 2005.-189.